311　方程的根与函数的零点

1、第三章 函数的应用3.1 函数与方程 方程的根与函数的零点【选题明细表】知识点、方法题号求函数的零点及零点区间1,2,3,4,5,11判断函数零点个数6,7,10函数零点的应用8,9,12,131.函数y=4x-2的零点是(D)(A)2 (B)(-2,0) (C)(,0) (D)解析:令y=4x-2=0,得x=.所以函数y=4x-2的零点为.故选D.2.函数f(x)=lg(x-1)的零点是(C)(A)1 (B)(0,2) (C)2 (D)(2,0)解析:由f(x)=0,即lg(x-1)=0,解得x=2.故选C.3.下列图象表示的函数中没有零点的是(A)解析:因为B,C,D项函数的图象均与x轴有

2、交点,所以函数均有零点,A项的图象与x轴没有交点,故函数没有零点,故选A.4.函数f(x)=x+log2x的零点所在区间为(A)(A),(B),(C)0,(D),1解析:因为f()=+log2<0,f()=+log2>0,所以f()·f()<0,故函数f(x)=x+log2x的零点所在区间为,.故选A.5.函数f(x)=ax2+2ax+c(a0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是(B)(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由根与系数的关系得方程f(x)=0的两根x1,x2满足x1+x2=-=-2,所以方程的另一个根为1.故选B.6.函数f(x)=的零点个

3、数是 . 解析:当x0时,令x2-2=0,解得x=-(正根舍去),所以在(-,0上有一个零点.当x>0时,f(x)在(0,+)上是增函数.又因为f(2)=-2+ln 2<0,f(3)=ln 3>0,f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内有一个零点.综上,函数f(x)的零点个数为2.答案:27.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是 . 解析:(数形结合法)因为a>0,所以a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如图所示,所以y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.即方程|x2-2x

4、|=a2+1(a>0)有两个解.答案:28.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.解:令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.依题意得或即或解得-<m<0.即m的取值范围是(-,0).9.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是(A)(A)(0,1 (B)0,1) (C)(0,1) (D)(-,1)解析:作出函数f(x)的图象如图所示,若直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则0<a1.10.函数f(x)=2x+x2-3的零点个数是(C)(A)

5、0(B)1(C)2(D)3解析:函数f(x)=2x+x2-3的零点个数,即函数y=2x与函数y=3-x2的图象的交点的个数.数形结合可得,函数y=2x与函数y=3-x2交点个数 为2.11.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)> 0,则下列说法正确的是(C)(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上

6、一定有零点解析:根据零点存在性定理,由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图所示.故选C.12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x.(1)求f(x)的解析式,并画出f(x)的图象;(2)设g(x)=f(x)-k,利用图象讨论:当实数k为何值时,函数g(x)有一个零点?两个零点?三个零点?解:(1)当x0时,f(x)=x2-2x.设x<0,可得-x>0,则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,因为函数f(

7、x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=-x2-2x,所以f(x)=函数的图象如图所示.(2)由g(x)=f(x)-k=0,可得f(x)=k,结合函数的图象可知,当k<-1或k>1时,y=k与y=f(x)的图象有一个交点,即 g(x)=f(x)-k有一个零点;当k=-1或k=1时,y=k与y=f(x)的图象有两个交点,即g(x)=f(x)-k有两个零点;当-1<k<1时,y=k与y=f(x)的图象有三个交点,即g(x)=f(x)-k有三个零点.13.(1)已知f(x)=+m是奇函数,求常数m的值;(2)画出函数y=|3x-1|的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有两解?解:(1)因为3x-10,所以x0,故函数定义域为x|x0,因为f(x)是奇函数,有f(-1)=-f(1),得+m=-m,解得m=1.(2)y=|3x-1|的图象如图所示,当k<0时,直线y=k