计算方法习题答案

1、 解 ：f (x = x, 9 xdx 1 2 3 2 52 × 26 = , = x 2 |9 1= 3 3 3 f (3 = 1.73205, f (4 = 2.00000, f (5 = 2.23607, f (1 = 1.00000, f (2 = 1.41421, f (6 = 2.44949, f (7 = 2.64575, f (8 = 2.82843, f (9 = 3.00000, 2 T4 (f = f (1 + 2 × (f (3 + f (5 + f (7 + f (9 = 17.22774 2 2 2 S4 (f = × f (1 + 4

2、f (2 + f (3 + × f (3 + 4f (4 + f (5 6 6 2 2 + × f (5 + 4f (6 + f (7 + × f (7 + 4f (8 + f (9 = 17.33209. 6 6 9 1 xdx T4 (f = xdx S4 (f = 52 17.22774 = 0.10559 · · · 3 52 17.3209 = 0.00124 · · · 3 所以T4 (f 有2位有效数字，S4 (f 有4位有效数字。 8 7. 利用积分 2 8 2 w. ww 1 , 2x

3、I (f = 2 解： 1 1 dx = ln x|8 2 = ln 2, 记 2x 2 f (x = 将区间2, 8n等分，记h = 案 网 82 ，用复化梯形公式Tn (f 计算I (f ，则有 n I (f Tn (f = h2 f ( , 12 (2, 8. 后 1 因为f (x = x2 , f (x = x3 , 所以 2 答 当 3 1 × 105 时有 2 8n 2 |I (f Tn (f | 课 |I (f Tn (f | 1 1 6 3 h2 × 3 = × ( 2 = 2 , 12 2 12 × 8 n 8n 1 3 ×

4、105 , 2 8n 2 解得 n 3 × 105 = 273.861. 4 1 所以取274个节点可使误差的绝对值不超过 × 105 。 2 26 kh 8 1 过 × 105 。 2 1 dx计算ln 2时，若采用复化梯形公式，问应取多少节点才能使其误差绝对值不超 2x da w. f (xdx. co 1 m 9 8 8. 用龙贝格方法计算 这2种方法的优缺点。 2 1 1 dx，要求误差不超过 × 105 。就本题所取节点个数与上题结果比较，体会 2x 2 注 ：通过逐次二分步长的方法求出T1 , T2 , T4 , T8 , T16 ，其他的值

5、均由它们的线性组合得到. T2n 1 = Tn + h 2 n1 f (xi+1/2 , i=0 1 I T2n (T2n Tn , 3 解 ：记f (x = 6 T1 = f (2 + f (8 = 0.9375, 2 1 T2 = T1 + 6f (5 = 0.76875, 2 1 S1 = (4T2 T1 = 0.7125, 3 1 T4 = T2 + 3 × f (3.5 + f (6.5 = 0.714045329, 2 1 S2 = (4T4 T2 = 0.695810438, 3 1 C1 = (16S2 S1 = 0.694697801, 15 1 T8 = T4 +

6、 1.5 × f (2.75 + f (4.25 + f (5.75 + f (7.25 = 0.698563124, 2 1 S4 = (4T8 T4 = 0.693402389, 3 1 (S4 S2 = 1.608 × 104 , 15 1 C2 = (16S4 S2 = 0.693241852, 15 1 (C2 C1 = 2.311 × 105 , 63 1 R1 = (64C2 C1 = 0.693218742, 63 课 后 答 案 网 ww w. 27 kh 1 , 2x da w. xi + xi+1 1 ba , xi+1/2 = a + (i

7、 + h = , n 2 2 1 1 Sn = (4T2n Tn , I S2n (S2n Sn , 3 15 1 1 Cn = (16S2n Sn , I C2n (C2n Cn , 15 63 1 1 Rn = (64C2n Cn , I R2n (R2n Rn , 63 255 因为外推算法是建立在Tn , Sn , Cn , Rn 均是建立在精确计算的基础上的，因此在计算过程中的每一步要 尽可能保留足够多的有效位数才能获得理想的结果。 其中h = co m 1 T16 = T8 + 0.75 × f (2.375 + f (3.125 + f (3.875 + f (4.62

8、5 + f (5.375 + f (6.125 + f (6.875 + 2 f (7.625 = 0.694515424, 1 S8 = (4T16 T8 = 0.69316619, 3 1 (S8 S4 = 1.575 × 105 , 15 1 (16S8 S4 = 0.693150444, 15 1 (C4 C2 = 1.451 × 106 , 63 由I C4 1 (C4 C2 ，知 63 |I C4 | 因而C4 为满足精度要求的近似值。 1 × 105 , 2 R2 = 由|I R2 | | 1 (64C4 C2 = 0.693148993, 63 1

9、 (R2 R1 = 2.737 × 107 , 255 课 后 答 案 网 ww 注 ： 用复化梯形公式计算要达到同样精度需要274个节点，计算C4 或R2 仅用到17个节点上的函数值， 计算量大大减少。 w. 28 kh 1 1 (R2 R1 | × 106 ，因此R2 为满足精度要求的近似值。结论：ln 2 0.69315。 255 2 da w. co m 上机安排 共三次上机时间，分别安排在第9，12，14周，即4.14，5.5，5.19，一二节课，尚贤楼419。 1. 分别用二分法、牛顿法、割线法求方程x3 x2 1 = 0在1.5附近的根。 2. 分别用列主元消

10、去法，LU分解法，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求以下方程组的解。 =6 2x1 x2 +10x3 10x x +2x3 = 11 1 2 8x2 x3 +3x4 = 11 x +3x2 x3 +11x4 = 25 1 3. 按下列数据 x y 0.30 0.42 0.50 0.58 0.66 0.72 y 3.8 1.50 26.0 33.0 课 后 答 案 网 ww w. 29 试用形如y = a0 + a1 x + a2 x2 的抛物线进行最小二乘拟合。 9 1 xdx，使其相邻两次计算误差绝对值不超过 × 105 。 5. 分别用复化梯形公式按5位小数计算积分