相似三角形证明题解法之添加辅助线

1、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找 到等量关系。主要的辅助线有以下几种：、作平行线例1.如图， ABC的AB边和AC边上各取一点 D和E,且使AD = AE，DE延长线与BC延长线相交于F,求证:BFCFBDCE证明：过点C作CG/FD交AB于G小结：本题关键在于AD = AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证 明线段相等的方法：相似、成比例。例2.如图， ABC中，ABvAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F,证明：AB DF=A

2、C EF分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来 证明0欲证AB QF二AC EF，需证 空 二兰，而这四条线段所在的两个三角形显然AC DF不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形, 需添加平行线。方法一：过E作EM/AB，交BC于点M，则 EMCABC （两角对应相等，两三角形相似）EMABECAbEC 即 EM aalec-EMEC同理可得：EM DBFEFDFEMBD，又 BD 二 EC，EMECEM （电为中间比），BD BDABACEFDF， AB DF = AC EF方法二：如图，过D作DN/EC交BC于NBDABDN即BD

3、 A AB DN （比例的基本性质）ABACBDDN同理厶ECF DNF ,ECDNEFDF，而BD =EC （已知）DD嚼（DC为中间比），ABACEF.AB DF 二 AC EF二、作垂线3.如图从 _ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F,求证：AB AE AD AF 二 AC2。FfD CMN /AB E证明：过B作BM丄AC于M，过D作DN丄AC于N 二.：ABMACEAM ABAEACAB AE 二 AC AM (1)AN AD又：ADN -ACF-AD AAC AN (2)(1) + (2) AB AE AD AF = AC AM AC AN =AC

4、(AM AN)又.：ADN 二. BCM 二 AN=CM2AB AE AD AF 二 AC (AM CM ) = AC三、作延长线例5.如图，在梯形 ABCD中，AD / BC,若/ BCD的平分线CH丄AB于点H,BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求 HBC的面积。分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为 相似三角形的面积比而加以解决。解：延长BA、CD交于点Pv CH 丄 AB，CD 平分/ BCDCB=CP,且 BH=PHv BH=3AH PA: AB=1 : 2 PA: PB=1: 3 AD / BC PADs PBC-Sa pad : Spbc

5、= 1 : PBC SSA PAD = S四边形 AHCD - 2 :7 S四边形AHCD = 21=6_ 1 _-SAH B C= 2SAPBC = 27例6.如图，Rt ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG_AB于G，求证：FG2=CFBF解析：欲证式即 皀=圧 由“三点定形” ， BFG与厶CFG会相似吗?BF FG显然不可能。（因为 BFG为Rt）,但由E为CD的中点，.可设法构造一个与 BFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于HFG FHED EC.FG EDFHEC又 ED=EC 二FG=FH又易证 Rt CFHs RtA G

6、FBCF FH FG FH=CF BFFG BF2 FG=FH 二 FG2=CF BF四、作中线例7如图，：ABC中，AB丄AC ,AE丄BC于E, D在AC边上，若BD=DC=EC=1 , 求AC。解：取BC的中点M，连AM t AB丄AC二AM=CM 二/仁/ C又BD=DCDBC DCB1 =/C "DBCMAC s .BBCMC AC1又 DC=1 MC= BCDCBC2“ MC BC1 2ACBC2(1)DC2又Rt AEC s Rt BAC又tEC=12 AC =CE BC = BC(2)1由(1) (2)得，ACAC42小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似

7、，取 BC中点M，构造. MAC与 DBC相似是解题关键综合练习题1、在厶ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证：EFX BC=AC X DF2、ABC 中， ACB=90，AC=BC，P 是 AB 上一点，Q 是 PC 上一点（不是 中点），MN 过 Q 且 MN 丄CP，交 AC、BC 于 M、N，求证：PA: P CM : CN。3、.如图，=ABC 中，AB 二 AC, BD_AC，那么 BC2 = 2CA CD 吗？试说明 理由？（用三种解法）3、3、1、证明:过D作DG BC交AB于G,则仏DFG和叱EFB相似，罟=罟：归AD，DG D

8、FAD 一 EF由DG / BC可得 ADG和厶ACB相似,DG ADBC ACDG BCAD AC由得，DF浇:EFx BC=AC x DF3、3、2、证明: 过P作PE丄AC于E，PF丄CB于F,贝U CEPF为矩形二PF/ECA"B=45二 Rt AEPs Rt PFB 二 AP : PB 二 PE : PF v EC=PFPA _ PEPB PFPC (1)在 ECP和 CNM 中: CP丄MN 于 Q3、QCN QNC =90 又 v QCN QCM =90 二 MCQ = CNQRt PEC s Rt MCNEP ECCM CNEP CM即-（2）由（1）（2）得3、PA

9、 CMPB CN3、方法一：如图（1）,设BC中点为E,连接AE图（1）AB = AC1JH AE丄BCn NAEC =NBDC =90BE =CE戶也BDC zAAECZC=ZCBC CD BC CE 二 AC CDBC2 =2CA CDAC CE1CE =BC2 丿方法二：如图（2）,在DA上截取DE=DC图（2）在厶BED与厶BCD中,BD 丄 CE= NBDE =NBDC =90DE =DC?= BEDwKBCDn NBEC = NCBD = BDAB 二 AC= ABC "CAC BC 2ABC ：BCEBC - AC EC =2AC CDBC EC方法三：如图（3）,过B作BE