不定积分解法总结

1、不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况需要使用微分法的逆运算一一积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。1 1 换元积分法换元积分

2、法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。1 1.当出现Va2x2,Jx2-a2形式时，一般使用x=asint,x=asect,x=atant三种代换形式。dxxa2x2dxa2x2=atantfsect=Insect+tant+C=Inx+，a2+x2+C2 2.当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。sinxdt=:;x2tsintdt=-2tcoSt-coStdt)三3cost2sintC=2xcos,x2sin.xC但当根号内出现高次哥时可能保留根号,dx1.x二-tx、-x12-1t1比

3、121t6t11-tdt12-r.1-t一dt126.1-tdt12-1arcsinx上c63 3.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。x使用万目匕代换t-tan,x/2tan12,3对于万能代换法有些同学可能觉得形式和计算麻烦而排斥使用，但是万能代换可以把三角函数直接转变为有理函数形式，其后可以直接参照有理函数的积分法。这不失为解题的一种好方法。2 2 不定积分中三角函数的处理不定积分的计算中三角函数出现的次数较多，然而有些形式类似的题目的解法却大相径庭。在这里我们有必要对含有三角函数的不定积分的解法进行总结。除了之前提到的万能代换的方法，我们可以对被积函数进行适当的变形和

4、转换。因此，我们对被积函数中的三角函数的变形和转换与三角函数的降次进行归纳和总结。1 1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。12sinxdxdt221t21t12dt23/4t1/2dt2arctan3三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用被积函数一sin122xcos一dx上下同乘sinx变形为x1sinxcosxdxcosxdcosx=_IT27TI1-cosx1cosx令u=cosx,则为udu/111一(二(一1-u1u21u41u41-u111cosxInc21cosx41-cosxln2,2x12tan一一-sec24、222 2.只有

5、三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意sinx+cosx=1的使用。sinxcosx,dxsinxcosx1：-sinx-cosx(sinx+cosxf-1sinxcosxdxsinx-cosx-dx而sin(x+n/4)_212lntanxn-0,设方程ax2+bx+c=0两个实根为a,P,令Max2+bx+c=t(x-c),可使上述积分有理化。2如果A0,则万程ax+bx+c=0没有实根，令Max2+bx+c=Jaxt,可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设Vax2+bx+c=xtJc,至于采用哪种替换，具体问题具体分析。注意到：16t2et2t3etyiV2V3t_2t3ett-2t3ett-2t3et1-2t2ett1-2t2ett1-2