数列考点预测

1、数列考点预测数列是高中数学重要内容，是高考命题的热点.纵观近几年的高考试题，对等差和等比数列的概念、通项公式、性质、前项和公式，对增长率、分期付款等数列实际应用题多以客观题和中低档解答题为主，对数列与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等相结合的综合题的考查多属于中高档题，甚至是压轴题.那么在2016年的备考中，哪些考点值得我们关注呢？一、等差数列与等比数列【考情分析】（1）以客观题考查对基本概念、性质、通项及前项和公式的掌握情况，主要是低档题，有时也命制有一定深度的中档题，与其他知识交汇命题也是这一部分的一个显著特征；（2）以大题形式考查综合运用数列知识解决问题的能力.【考题预测】【预测题

2、1.1】(1)在等差数列中，其前项和为，若则的值为( )ABCD.(2)已知数列是各项均为正数的等比数列，则 .【解析】(1)根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，由已知可得,由知公差故选B(2)在等比数列中，即所以所以【说明】在等差（比）数列中，五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个解这类问题时，一般是转化为首项和公差(公比)这两个基本量的有关运算在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法【预测题1.2】已知数列的前项和为，且满足(1)求证：是等差数列；(2)求数列的通项公式【解析】(1)证明：由得所以，又故是首项为2，公差为2的等差数列(2)

3、由(1)知，故所以【说明】(1)判断和证明数列是等差（比）数列的三种方法：定义法、通项公式法和中项公式法，其中对定义法的考查最常见；(2)应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起【预测题1.3】已知等差数列的公差为且(1)求数列的通项公式与前项和；(2)将数列的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项，记的前项和为，若存在，使对任意，总有恒成立，求实数的取值范围【解析】数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解(1)由得从而.(2)由题意知设等比数列的公比为，则，随增加而递减，为递增数列，得又，故若存在，使对任意总有则，得

4、即实数的取值范围为【说明】解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解.二、数列的通项与求和问题【考情分析】从全国卷来看，由于三角和数列问题在解答题中轮换命题，若考查数列解答题，则以数列的通项与求和为核心地位来考查，题目难度不大高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想【考题预测】【预测题2.1】已知等比数列中，首项，公比，且(1)求数列的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的通项公式和前项和.【解析】(

5、1)即公比又首项数列的通项公式为(2)是首项为1，公差为2的等差数列，即数列的通项公式为【说明】一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减这种求和方法叫分组转化法求和法【预测题2.2】设数列的前项和为，已知(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和.求证：【解析】(1)当时，得即又当时，式也成立，即.(2)证明：故成立，【说明】本题数列求和采用了错位相减法错位相减法适用于求数列的前项和，其中为等差数列，为等比数列所谓“错位”，就是要找“同类项”相减要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数，为保证结果正确，

6、可对得到的和取，2进行验证【预测题2.3】设数列的前项和为(1)求数列的通项公式；(2)设是数列的前项和，求使对所有的恒成立的整数的取值集合【解析】(1)依题意，故当时，两式相减得即故为等比数列，且(2)即是等差数列.当时，取最小值依题意有解得故所求整数的取值集合为【说明】(1)本题数列求和采用的是裂项相消法，它的基本思想就是把通项分拆成的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列的通项公式，使之符合裂项相消的条件(2)常化的裂项公式；三、数列的综合应用 【考情分析】在高考中，数列的综合应用主要包含三类问题：数列与函数的综合、数列与不等式的综合和数列的实际应

7、用数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题数列的实际应用主要涉及三种模型：等差模型、等比模型与递推数列模型，难度中等【考题预测】【预测题3.1】已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：【解析】(1)设数列的公差为由已知得即，解得(2)证明：，得又又综上所述， 【说明】解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明

8、题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了【预测题3.2】已知二次函数的图像过点，且，数列满足且(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和，且满足为正整数），求的最小值【解析】(1)，由题意知，则数列满足又由叠加法可得，化简可得当时，也符合，(2)又(为正整数）所以的最小值为2【说明】数列与函数的综合一般体现在两个方面：(1)以数列的特征量等为坐标的点在函数图像上，可以得到数列的递推关系；(2)数列的项或前项和可以看作关于的函数，

9、然后利用函数的性质求解数列问题.数列与函数的综合问题的求解策略：(1)函数条件的转化，即直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的自变量换为即可；(2)数列向函数的转化，即可将数列中的问题转化为函数问题，但要注意函数定义域【预测题3.3】为了净化空气，严控雾霾，滨海市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入辆(1)求经过年，该市被更换的公交车总数(2)试问当时，该市7年内公交车能否完成全部更换？【

10、解析】(1)设分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量依题意，得是首项为128，公比为的等比数列，是首项为400，公差为的等差数列所以的前项和的前项和所以经过年，该市被更换的公交车总数为：(2)若计划7年内完成全部更换，则所以即，所以.又所以的最小值为147.所以当时，该市7年内公交车可以完成全部更换 【说明】解数列应用题的建模思路：从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：四、数列的创新应用【考情分析】创新，历来是高考命题的主旋律，新课标教材中对“推理与证明”的考查，往往将数列作为载体，试题具有一定的创新性，以小题为主，难度较大【预测题4.1】已知“整数对”按如下规律排成一列：则第2016个“整数对”是 【解析】依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知第组整数对的和为，且每组共有个整数时，这样的前组一共有个整数，注意到，因此第2016个整数对处于第