教学设计(连续性x

1、教 学 设 计科目：高等数学基础教 师 姓 名张素红授课班级14机电大授课形式启发式和讲练结合授 课 日 期2014 年10月10日 第8周授课时数2授课章节内容第一章 极限与连续第六节 函数的连续性(一)教材分析教 学重 点函数连续的定义及判断教 学 难 点函数连续性质的利用。教学目标知 识目 标通过对本节的学习，理解函数的连续性定义，知道连续函数的特点与性质技 能目 标通过对本节的学习，使同学理解为了解决有关实际问题，我们往往将生活中一些离散的问题变成连续问题，以便用数学解析情 感目 标通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的

2、良好思维品质。 教学步骤教 学 过 程教 师 活 动学 生 活 动教学方法及时间分配【导入】【讲解新课】【课堂小结】一复习导入函数的连续性是函数的重要性质，是进一步研究函数的微积分的基础，几何表现为一条连续不断的曲线-引入新课题二.讲授新内容课题 函数的连续性提出问题：函数在一点的连续性，只考虑这一点的函数值能解决问题吗？实验法、讨论法以及讲练结合的教学方1.函数连续的定义30分钟2.函数连续的第二定义20分钟3.连续函数的运算及闭区间上连续函数的性质40分钟4.小结与练习30分钟5.布置作业5分钟提 问 要 点1函数连续定义1、定义2；2.最大值和最小值。作 业 布 置P 习题1-6的1题。

3、教 学 反 思学生的直观观察能力比较强，但理解能力和表达能力有待提高。一复习导入函数的连续性是函数的重要性质，是进一步研究函数的微积分的基础，几何表现为一条连续不断的曲线-引入新课题二.讲授新内容课题 函数的连续性1.连续函数的定义1先介绍增量：变量由初值变到终值，终值与初值的差称为的增量，记为，即；可正、可负、也可为零，这些取决于与的大小。 我们称为自变量在点的增量，记为，即或；相应函数值差，称为函数在点的增量，记为，即，即或，。设在的某邻域内有定义，若当时，有，即，或，就称在点连续。2.连续函数的定义2设在的某邻域内有定义，若，就称函数在 点处连续注 1：在点连续，不仅要求在点有意义，提出

4、问题：函数在一点的连续性，只考虑这一点的函数值能解决问题吗？有关增量的概念，增量一定为正的吗？函数连续的三个要素它说明了在自变量的某一个变化过程中，函数的变化与它的极限值之间的接近程度存在，而且要，即极限值等于函数值。若，就称在点右连续3.左右连续定理：在点连续在点既左连续，又右连续。4.区间上连续如果在区间上的每一点处都连续，就称在上连续；并称为上的连续函数；若包含端点，那么在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续5.(连续函数的四则运算法则)：若均在连续，则及（要求）都在连续6. 设函数在点连续，且，函数在点连续，那么，复合函数在点处连续。结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的8

5、.闭区间上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理定义:定义在区间I上，有（或）则称是在区间I上的最大值（或最小值）（2）介值定理设在闭区间上连续，且在这个区间的端点取不同的函数值及，那么对于A和B之间的任意一个数画图表示左连续和右连续复合函数的定义画图找出最值C，在开区间内至少存在一个点，使。三.小结与练习理解连续函数的定义及意义，利用函数的连续性可以计算部分函数的极限问：1）函数在点处连续和该点处的极限有什么联系和区别？ 极限在点处可无定义 如： 连续在点必有定义，且。 2）函数在点处有极限，则在这点必连续吗？ 不一定，如：在处有极限，但在处无定义，所以在处不连续。3）函数在处连续，则在该点

6、处必有极限吗？是。连续的第二个条件为极限存在。4）在处有定义，则函数在该点必连续吗？能否总结出函数定义、极限、连续三者之间的联系？教 学 设 计科目：高等数学基础教 师 姓 名张素红授课班级14机电大授课形式启发式和讲练结合授 课 日 期2014 年10月15日 第10周授课时数2授课章节内容第一章 极限与连续第五节 函数的连续性（二）教材分析教 学重 点函数间断点的判断方法和初等函数的连续性。教 学 难 点函数间断点的判断方法和初等函数的连续性。教学目标知 识目 标通过对本节的学习，理解函数间断点的判断方法技 能目 标通过对本节的学习，使同学理解为了解决有关实际问题，我们往往将生活中一些离散

7、的问题变成连续问题，以便用数学解析情 感目 标通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。 教学步骤教 学 过 程教 师 活 动学 生 活 动教学方法及时间分配【导入】【讲解新课】【课堂小结】一 复习导入对，当自变量从变到，称叫自变量的增量，而叫函数的增量定义 设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量也趋于零，那么就称函数在点连续 提出问题：同学们能否知道不连续的图像特点有哪些类型？实验法、讨论法以及讲练结合的教学方1.函数间断点的定义40分钟2.函数间断点的分类45分钟3.小结与练习3

8、0分钟4.布置作业5分钟提 问 要 点1函数的不连续反映在函数图象上有什么特点？ 作 业 布 置P 习题1-6的1题。教 学 反 思学生的直观观察能力比较强，但理解能力和表达能力有待提高。一复习导入函数的不连续反映在函数图象上有什么特点？-引入新课题二.讲授新内容课题 函数的间断点定义 如果函数在处不连续，则称点为的一个间断点根据连续的定义，有下列三种情况之一的点即为函数的间断点：（1）在点处，无定义；（2）在点处，的极限不存在； 它的另一等价定义是：设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即，那么就称函数在点连续下面给出左连续及右连续的概念如果存在且等于

9、，即，就说函数在点左连续如果存在且等于，即，就说函数在点右连续在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线设函数在点的某去心邻域内有定义在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：分组回答连续的定义？分组总结在什么情况下不连续1在没有定义；2虽在有定义，但不存在；3虽在有定义，且存在，但；则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类： 在连续 在间断，极限为2 在间断，极限为2 在间断，左极

10、限为2，右极限为1 通过图像进行演练在间断，极限不存在像这样在点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的称作第一类间断的可补间断，此时只要令，则在函数就变成连续的了；被称作第一类间断中的跳跃间断被称作第二类间断，其中也称作无穷间断，而称作震荡间断就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，但左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点显然是第二类间断点例1确定a、b使在处连续解：在处连续能否总结出函数定义、极

11、限、连续三者之间的联系？科目：高等数学基础教师姓名张素红授课班级14机电大授课形式讲授法授课日期2014年 月 日 第 周授课时数2授课章节内容第一章 习题课教学目的熟练掌握极限的概念、无穷小量与无穷大量的概念、极限运算法则、两个重要极限及函数连续的概念；掌握函数间断点的判断方法和初等函数的连续性；理解无穷小量的比较尤其是等价无穷小概念教学重点极限的概念、无穷小量与无穷大量的概念、极限运算法则、两个重要极限及函数连续的概念；函数间断点的判断方法和初等函数的连续性教学难点极限的概念、无穷小量与无穷大量的概念、极限运算法则、两个重要极限及函数连续的概念；函数间断点的判断方法和初等函数的连续性。德育

12、渗透 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质。教学过程1、复习引入：2、讲解新课：3、讲解范例：4、课堂练习：5、小结：6、课后作业：教学内容与时间安排：第一章的知识点1、归纳求极限的方法 2、两个重要极限的应用 3、连续函数的概念及函数在某点或某区间上连续性的判定 4、无穷小量的比较及等价无穷小的概念 0.5学时回顾知识点，以学生练习为主 1.5学时 一、 函数的连续性对，当自变量从变到，称叫自变量的增量，而叫函数的增量定义 设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量也趋于零，那么就称函数在点连续它的另一等价定义是：设函数在点的

13、某一邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即，那么就称函数在点连续下面给出左连续及右连续的概念如果存在且等于，即，就说函数在点左连续如果存在且等于，即，就说函数在点右连续在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线二、 函数的间断点设函数在点的某去心邻域内有定义在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：1在没有定义；2虽在有定义，但不存在；3虽在有定义，且存在，但；则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点科目：经济数学基

14、础教师姓名张素红授课班级授课形式讲授法授课日期2014年 月 日 第 周授课时数2授课章节内容第一章 导数与微分 第一节 导数概念教学目的熟练掌握导数的概念；掌握导数的几何意义、函数的可导性与连续性关系教学重点导数的概念、导数的几何意义教学难点导数的概念、导数的几何意义德育渗透 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质。教学过程1、复习引入：2、讲解新课：3、讲解范例：4、课堂练习：5、小结：6、课后作业：教学内容与时间安排：一、引例 1、变速直线运动的瞬时速度 2、切线的斜率二、导数的定义三、导数的几何意义用图形来解释，在某点的导数值就是在该点处的切线的斜率。求

15、一个函数在某点处的切线方程 1学时 四、函数的可导性与连续性之间的关系举例说明：可导一定连续，连续不一定可导 1学时教学过程一 、导入新课（一）两个实例1 变速直线运动的瞬时速度一个质点在一条直线上运动,所经过的路程是时间的函数.如果质点是作匀速直线运动,质点的运动速度等于路程与时间之比,即 如果质点是作变速直线运动,它的速度随时间变化而变化.现讨论质点在某一时刻时的速度,即瞬时速度质点从时刻到这段时间间隔内,质点从位置移动到,质点经过的路程为: 质点的平均速度为： .当较小时,平均速度可近似地表示质点在时刻的速度.且越小,这种近似程度也越好.令,如果存在,则称平均速度的极限为质点在时刻的瞬时

16、速度,即.2. 切线问题切线的一般定义：设有曲线:及上的一点（图3）,在点外另取上一点,作割线,当点沿曲线逐渐趋于点时,割线绕点旋转,而逐渐趋于极限位置,直线就称为曲线在点处的切线这里极限位置的含义：只要弦长趋于零,也趋于零图3-1图3-2 设是曲线上的一点（图3）,则在点外另取上一点,割线的斜率为: 其中为割线的倾角，当点沿曲线趋于点时，如果存在,则此极限就是切线的斜率,其中是切线的倾角上面两个实际问题,虽然其实际意义不同,但解决问题的方法相同.都归结为求函数增量与自变量增量之比的极限: 或 ,其中 ,称为自变量增量,称为相应于自变量增量的函数增量.在物理学、化学、生物学、经济学等科学领域中

17、,还有许多实际问题,如线密度、电流、反应速度等,都可归结为函数对于自变量的变化率即函数的导数.二 、讲授新课1、导数的概念（1）函数 在点处的导数 设函数在点处的某一邻域内有定义，当自变量X在点处有增量,仍在该邻域内时，相应地，函数有增量，若 极限 存在，则称在点处可导，并称此极限值为在处的导数，记为，也可记为，即 若极限不存在，则称在点处不可导。令=h， 可表示为： 。 问 ：若固定，令，则当时，有，所以函数f(x)在点处的导数也可表示为 。（2）函数y=f(x)的导函数 如果函数y=f(x)在开区间I上的每一点都可导，就称函数f(x)在开区间I上可导，这时，都对应f(x)的一个确定的导数值

18、，这样就成了一个新的函数成为函数y=f(x)的导函数，简称导数，记作 , 或.显然，y=f(x)在点处的导数，就是导函数在处的函数值，即=2、左导数与右导数（1）函数在点处的左导数（2）函数在点处的右导数定理 y=在点可导例1 求函数在任意点x处的导数，并求解：在x处给自变量一个增量，相应函数增量为,于是 ，；即；则 一般地，（为任意实数）注：求得先求，再将x用代替。3、导数的几何意义函数在点的导数在几何上表示曲线在点（，）处切线的斜率。（1）若存在，则曲线在点（，）切线方程为 当时，则过（）的法线方程为： 当 时，法线方程 （2）若，则切线垂直于 轴，切线方程： 例2 求抛物线在点（1，1）

19、处的切线方程和法线方程。 解： 切线斜率 切线方程：即 法线方程：即4、可导与连续关系：可导连续设函数在点处可导，有 又 即 故 所以。即 在可导，那么在处必连续，但反过来不一定成立，即在处连续的函数未必在可导。例3 ，虽然在=0处连续，但在该点不可导。 例4 讨论 在点=0的连续性与可导性。 解： 即 又 当 三、课堂练习 四、小结理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系，即连续是可导的必要面非充分条件，了解函数可导的充要条件：存在五、布置作业科目：数学教师姓名张素红授课班级授课形式讲授法授课日期2014年 月 日 第 周授课时数2授课章节内容第一

20、章 导数与微分 §2.1导数的概念（二）教学目的1.掌握用导数定义求函数的导数的三步曲，会求函数的导数2.理解导数的变化率的概念，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题3.培养学生学以致用的观念教学重点用导数定义求函数的导数教学难点用导数（变化率）描述一些简单的实际问题德育渗透 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质。教学过程1、复习引入：2、讲解新课：3、讲解范例：4、课堂练习：5、小结：6、课后作业：教学过程一、导入新课1.如何定义函数在某点可导？2.函数可导的几何意义是什么？二、讲授新课1、变化率模型科学技术中常把导数称为变化率。因此，对于一个

21、未赋予具体含义的一般函来说，通常把 称 在上平均变化率。 平均变化率当时的极限 或 称在处的变化率。它反映了函数随着自变量的变化而变化的快慢程度。切线的斜率是曲线上的纵坐标对横坐标的变化率。例1（电流模型）设在 0,这段时间内通过导线横截面的电荷为，求 时刻的电流.解：（1）若电流恒定 （2）若电流不恒定，平均电流 故 时刻电流 例2（细杆的线密度模型）设一质量非均匀分布的细杆放在上，在0， 上的质量是的函数 ，求杆上的线密度。 解：如果细杆质量分布是均匀的，则长度为的一段的质量为，那么它的线密度为 反之，不能直接用此公式.利用导数定义的思想来求细杆的平均线密度，则平均线密度 故 细杆在处的线

22、密度，即 例3（边际成本模型）在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的总成本。 解：设一产品产量为单位时，总成本为C=C（x），称C（x）为总成本函数，简称为总成本函数。当产量由x变为 时，总成本函数改变量为 这时，总成本的平均变化率为 它表示产量由x变到时，在平均意义下的边际成本。当总成本函数C（x）可导时，其变化率表示该产品产量为x时的边际成本，即边际成本是总成本函数关于产量的导数。 例4（化学反应速度模型）在化学反应中一物质的浓度N和时间t的关系为N=N（t），求：在t时刻物质的瞬时反应速度。解：当时间以 变到时，浓度的平均变化率为 令时，该物质在时刻的瞬时反应速度为： 2、

23、求导举例求导三步曲：（1）求增量 （2）算比值 （3）定极限： 例5 求函数的导数（c为常数） 解：（1） （2） （3） 即即常数的导数等于0。例6 求函数的导数 解：（1）（2） （3） 即 类似可得例7 求函数 解：(1)(3) =即 特别三、课堂练习1. 2. 1、4四、小结新课 掌握用导数定义求函数的导数的三步曲，会求函数的导数，理解导数的变化率的概念，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 教 学 设 计科目：经济数学基础教 师 姓 名张素红授课班级14会计大授课形式启发式和讲练结合授 课 日 期2014 年10月15日 第10周授课时数2授课章节内容第一章 极限与连续1.7

24、经济分析中常见的函数教材分析教 学重 点常用的五大经济函数教 学 难 点常用的五大经济函数教学目标知 识目 标理解和运用经济函数解决一些实际问题。技 能目 标通过对本节的学习，使同学理解常用的经济函数，并用五大经济函数解决有关实际问题。情 感目 标数学来源于生活，又为生活服务通教学步骤教 学 过 程教 师 活 动学 生 活 动教学方法及时间分配【导入】【讲解新课】【课堂小结】一、课题引入：这一节课的内容是要把学习数学和将来搞经济工作联系起来， 我们把经济分析中最最常见的5种函数介绍给大家（这节课只介绍前两个）同时我们希望通过这一节的学习能够使大家感受到数学工具在经济分析中的应用首先我们介绍需求

25、函数和供给函数大家可以想象到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系，价格贵，需求量就少，价格便宜，买的人就多需求和价格之间是有关系的，它们是不是函数关系呢？我们可以把它简化为一种函数关系我们先不考虑其它因素，简单地认 提出问题：同学们思考经济分析中最最常见的5种函数需求和价格之间是有关系的实验法、讨论法以及讲练结合的教学方1.函数间断点的定义40分钟2.函数间断点的分类45分钟3.小结与练习30分钟4.布置作业5分钟提 问 要 点1函数的不连续反映在函数图象上有什么特点？ 作 业 布 置P 习题1-6的1题。教 学 反 思学生的直观观察能力比较强，但理解能力和表达能力有待提高。为价格定了

26、需求量就随之确定，这样需求量就是价格的函数供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，当然它也是和价格有关系的，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减少我们也可以把它简化为一种函数关系需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给函数二、新课讲解：现在我们讨论：1、 需求函数与供给函数，它是一种最简单的情况，认为需求函数和供给函数都是线性函数（一次函数），在这种关系下通过讨论看可以得到什么性质表示需求量，表示价格，表示常数表示需求量，表示价格，表示常数我们容易理解需求量应随价格的增加而减少，所以，当然而供给量应随着价格的增加而增加，所以，因为当价格为零时，不会有供给量从图

27、形上看，需求函数是一条单调下降的直线，供给函数是一条单调上升的直线我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样的关系，两条直线交于一点，这一点的含义是，在价格为时，产品的需求量与供给量是相同的，即供需达到了平衡这一点称为供需平衡点 价格超过时，供过于求；价格低于时，供不应求在经济分析中，供需平衡点所对应的价格，称为市场均衡价格；它所对应的需求量或供给量称为市场均衡数量例1 某种商品的供给函数和需求函数分别为：，求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量解：由市场均衡条件：，得到：解出：，2、成本函数我们再介绍经济分析中常见的三种函数：第一种叫做成本函数，第二种叫做收入函数，第三种叫做利润函数我们先介绍成本函数一种产品的成本可以分为两部分：固定成本C0，比如，生产过程中的设备投资，或使用的工具，不管生产产品与否，这些费用都是要有的，它是不随产量而变化的，这