g3.1063空间向量及运算doc

1、g3.1063 空间向量及运算一.知识回顾 :1空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OBOAABabBAOAOBabOPa(R)运算律：加法交换律：abba加法结合律： (a b )ca(bc )数乘分配律： (a b )ab3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量a 平行于 b 记作 a / b 当我们说向量 a 、 b

2、 共线（或 a /b ）时，表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线4共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b0）， a /b的充要条件是存在实数，使 a .b推论：如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O，点 P 在直线 l上的充要条件是存在实数t 满足等式OPOAt a 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 .5向量与平面平行：已知平面 和向量 a ，作 OAa ，如果直线 OA 平行于 或在 内，那么我们说向量 a 平行于平面 ，记作： a /通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空

3、间任意的两向量都是共面的6共面向量定理：如果两个向量 a,b 不共线， p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在实数x, y 使 p xayb推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对x, y ，使 MP xMAyMB 或对空间任一点 O ，有 OPOMxMAyMB式叫做平面 MAB 的向量表达式7 空间向量基本定理：如果三个向量a,b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x, y, z ，使pxaybzc推论：设 O, A, B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数 x, y, z ，使 OPxOAyOBzO

4、C8 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b ，在空间任取一点O ，作 OAa,OBb ，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a,b；且规定 0a,b，显然有a, bb, a；若a,b，则称 a 与 b 互相垂直，记作：2ab .9向量的模：设 OAa ，则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模，记作：| a |.10向量的数量积：a b |a | |b | cos a,b已知向量 ABa 和轴 l ， e 是 l 上与 l 同方向的单位向量，作点A 在 l 上的射影 A ，作点 B 在 l 上的射影 B ，则 A B 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影 .

5、可以证明 A B 的长度 | A B | | AB | cosa, e | a e | 11空间向量数量积的性质：（1） a e | a | cosa, e （2） a bab 0 （3） | a |2a a 12空间向量数量积运算律：（1） ( a) b(a b)a ( b ) （2） a bb a （交换律）（3） a (bc )a ba c （分配律）二.基本训练 :1.（2002 上海春， 13）若 a、b、c 为任意向量， mR，则下列等式不一定 成立的是（D ）A.（ a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）·c=a·c+b· cC.m（ a+b）=

6、ma+mbD. （a·b）c=a（b·c）2（.2001 江西、山西、天津）设坐标原点为 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于A、B 两点，则 OA OB等于（B ）A.3B. 3C.3D.344（2001上海）如图 ，在平行六面体ABCD1111中，M为 AC与 BD的3.5 1ABCD图 51交点，若 A1 B =a， A1 D1 =b， A1 A =c.则下列向量中与 B1 M 相等的向量是（A）A. 1 a+ 1 b+cB.1 a+ 1 b+c2222C.1 a 1 b+cD. 1 a 1 b+c22224.(2000 江西、山西、天津理， 4)设 a、 b、

7、 c 是任意的非零平面向量 ,且相互不共线 ,则（ a· b） c（ c·a） b=0|a| |b|<|ab|（ b·c）a（ c·a）b 不与 c 垂直（ 3a+2b）（3a 2b）=9|a|2 4|b|2 中，是真命题的有（D）A.B.C.D. 5.（2002 上海文，理 2）已知向量 a 和 b 的夹角为 120°，且 |a|=2， |b|=5，则（ 2ab）·a=_13_.6.（2001 上海春， 8）若非零向量 、满足 | + |=| |，则 与 所成角的大小为 _90° _.三.例题讲解 :例 1已知在正三

8、棱锥PABC 中， M , N 分别为 PA, BC 中点， G 为 MN 中点，求证： PGBCPMAGCBN例 2已知 E, F ,G, H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB, BC, CD , DA 的中点，（ 1）用向量法证明E,F ,G, H 四点共面；（ 2）用向量法证明：BD / 平面 EFGH ；（ 3）设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点O，有 OM1 (OA OB OCOD)4AEHOMBDFGC例3 在 平 行 六 面 体 A B C D A1 B1C1 D1 中 ， 底 面 A B C D是 边 长 为 a 的 正 方 形 ， 侧 棱 AA1 长

9、 为 b ， 且AA1 B1AA1 D1120 ，求（ 1） AC1 的长；（ 2）直线 BD1 与 AC 所成角的余弦值。D1C1A1B1DCAB四、作业 同步练习 g3.1063空间向量 已知 a(cos,1,sin), b(sin,1,cos) ，则向量ab与ab的夹角是（）1(A) 90(B) 60(C) 30(D) 02a(1t,1t ,t), b(2, t, t)，则 | ab | 的最小值是（）已知( A)5( B)55(C)3 5(D) 11555153若向量 a(1, 2), b(2,1,1), a,b 夹角的余弦值为，则= （）(A)1( B)1(C) 16(D) 24已知

10、点 A(3,1,4) ，则点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为（）( A) ( 3, 1,4)(B) ( 3,1,4)(C ) (3,1,4)(D) (3, 1, 4)5已知四面体ABCD 中， AB, AC, AD 两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（）(A) |ABACAD| | ABACAD|(B) | ABACAD |2| AB|2| AC|2| AD|2(C) (ABACAD) BC0(D) AB CDAC BDADBCx 的取值范围是（若 a( x, 2,0), b (3,2x, x2 ) ，且a与b的夹角为钝角，则）6( A) x4( B) 4 x 0(C ) 0 x 4( D ) x 4设 a(2,6,3) ，则与a平行的单位向量的坐标为，7同时垂直于 a(2, 2,1), b(4,5,3)的单位向量 e.设向量 a(3,5,4), b(2,1,8) ，计算2a3b,3 a2b,a b及a与b的夹角，并确定当,满足什么关系时，使8ab 与 z 轴垂直 .9矩形 ABCD 中，已知 AB 1,BCa, PA 面积 ABCD , PA2 ，若 BC 边上存在唯一点 Q ，使得 PQQD ，（ 1）求 a 的值；（ 2） M 是 A