Heegaard分解的边界稳定化和缆绳结的洞数_第1页
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1、Heegaard 分解的边界稳定化和缆绳结的洞数给定紧致三维流形的一个Heegaard 分解 ,Hempel 定义了距离的概念来刻画它的复杂性 . 首先对于亏格至少为2 的闭曲面上的两条本质简单闭曲线,Hempel定义它们之间的距离为连接它们的相邻不相交的本质简单闭曲线的最少个数加1. 然后 Hempel定义一个 Heegaard 分解 (1 (2 的距离为 (1 中界定本质圆盘的所有简单闭曲线与 (2 中界定本质圆盘的所有简单闭曲线在 Heegaard 曲面上的距离的最小值 . 这里我们假定的亏格至少为 2. 对于距离至少为 2 的 Heegaard 分解 , 我们可以定义局部复杂的概念 .

2、 一个距离至少为 2 的 Heegaard 分解 (1 (2 称为局部复杂的 , 如果在这个实现距离的上的一族本质简单闭曲线中 , 对于任意三个相邻的闭曲线 , 两端的曲线投影到沿中间曲线把曲面剪开得到的子曲面上的距离充分大 . 本文研究的第一个问题是什么时候一个紧致三维流形的 Heegaard 分解的边界稳定化是不可稳定化的 .Zou-Guo-Qiu 证明了距离至少为 6 的 Heegaard 分解的边界稳定化是不可稳定化的 . 事实上 , 他们的下界可以改进到 5. 由于存在距离为 2 的 Heegaard 分解的边界稳定化是可稳定化的 , 于是他们猜测 3 是最好的下界 .这里我们在加了

3、一个条件的情况下肯定了他们的猜测: 距离至少为 3 的局部复杂的 Heegaard 分解的边界稳定化是不可稳定化的( 定理 3.1). 已有一些结果保证了局部复杂的 Heegaard 分解的存在性 .Qiu-Zou-Guo 构造了无穷多个距离至少为4的 Heegaard 分解 . 事实上 , 他们的例子是局部复杂的Heegaard 分解 .Zhang-Qiu-Zou 对距离为 2 和 3 的情形构造了无穷多个类似的例子. 因此存在无穷多个距离至少为3 的局部复杂的 Heegaard分解 . 本文研究的另一个问题是缆绳结和它的伴随结的洞数之间的关系. 一个三维球面 3 中的纽结的洞数等于它在 3 中的补的 Heegaard 亏格减 1. 通过一个简单的观察 , 我们知道缆绳结的洞数不超过它的伴随结的洞数加1. 在伴随结的洞数是 1 时,Moriah 证明了缆绳结的洞数可以达到这个上界 . 这里我们首先证明了缆绳结的洞数不小于它的伴随结的洞数( 定理4.1).于是一个缆绳结的洞数等于它的伴随结的洞数或其加1. 接下去我们给出了缆绳结的洞数等于它的伴随结的洞数加1 的两个充分条件: 一个要求伴随结是高距离的 ; 另一个要求缆绳结的构造中粘贴映射充分复杂, 即粘贴斜度

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