新编数学人教A版选修1-1优化练习：3.4-生活中的优化问题举例-含解析

1、新编人教版精品教学资料课时作业A组根底稳固1. 设底面为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其外表积最小时，底面边长为解析:设底面边长为X，侧棱长为令 S' = 0,ax3= 4V, .x= 3 4V时，S取得极小值也是最小值.答案：C2. 一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s= 4t3- 2t2,那么速度为0的时刻是D . 0秒末或1秒末A. 1秒末解析：由题意可得 t>0, s' = 4t2 4t,令 s' = 0,解得 ti= 0, t2= 1.C. 2秒末答案：D3. 内接于半径为 R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为.5 亍 < 5 B

2、TR和 5 RD .以上都不对C.；R 和5R解析：设矩形一边的长为 x,那么另一边的长为 2 R2 x2，那么1 = 2x+ 4 R2 x20<x<R, l当 OvxvR 时，I' >0;当 55R<x<R 时，<0,所以当-5x= 5 R时，I取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为，455R.答案：B4. 某工厂生产某种产品，该产品每吨的价格P元/吨与产量x吨之间的关系式为 P =124 200 買，且生产x吨的本钱为R= 50 000 + 200x元，为使利润最大，那么产量应为 A. 200 吨B. 20 吨C. 150 吨D. 100 吨.

3、梯形的周长为x+ 21 - x + 1解析：利润L = P x-R24 200 5x2 x 50 000 200x=fx3+ 24 000x 50 000(x>0),+ 24 000,令 L' = 0,得 /= 40 000.x= 200.经检验，当x= 200时利润最大.答案：A5. 将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形,梯形的周长2记S=梯形的面积，那么S的最小值是32 . 3A. 3C还C. 3解析：如下列图，设 AD = x m0v xv 1,贝U DE = AD = x m,=3 x(m),又43x2(m2),梯形的面积为-4 j

4、x2(m2),(0 V XV 1),_ 4 花 % x2 - & + 931 x28丫33x 1 x 3F = TX1 x22 ，令 s' = 0 得 x=1 或 3(舍去)，当 x (0, 3)时，s' V 0, s 递减，当 x (3 1)时，s' > 0, s 递增.故当x= *时，s的最小值是32亍3.答案：A6. 将长为72 cm的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，那么容器的高为 .解析：设容器的底面边长为 x,高为h,那么8x+ 4h= 72, h= 18 2x(0<x<9)容积 V = x2

5、h = x2(18 2x) = 18x2 2x3.V' = 36x 6x2= 6x(6 x)当 0<x<6 时，V' >0;当 6<x<9 时，V' <0当x= 6时V最大，这时h= 6.答案：67随着人们生活水平的提高，汽车的拥有量越来越多，据有关统计数据显示，从上午6点到9点，车辆通过某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似表1 3 3 2629(示为y=_t + 36t.那么在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是844解析：由题意知，所求的量为当y为最大值时的自变量t的取值，y' = 8乎-2

6、+ 36，令 y' = 0，得 3t2+ 12t 36 X 8 = 0，t1 = 8，t2= 12(舍).当 t (6,8)时，y' >0，t (8,9)时，y' <0，所以t= 8时，y有最大值.答案：8点&在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，那么梯形面积 最大时，梯形的上底长为 r的倍.解析：设梯形的上底长为 2x,高为h，面积为S,x2,.S='r2 x = (r + x) r2-x2.22 x r + x r2- rx 2x2 r 2x r + x'r2-x2r2-x2.S' = '

7、; r x =r2-x2r令 S' = 0,得 x= 2, h =rr当 x 0, 2 时，S' >0;当 2<XV r 时，S' v 0.r2x当x= 2时，S取极大值也是最大值故当梯形的上底长为r时，它的面积最大， - = 1.答案：15859某种产品每件本钱为6元，每件售价为x元(6<x<11)，年销售为u万件，假设821u与x- 21 2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式;(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.解析：设585- u = k x- 25852u =- 2 x-

8、 2+=- 2x2 + 21x+ 18.4 8y= (-2x2 + 21x+ 18)(x- 6) =- 2x3+ 33x2 108x- 108(6<x<11).(2)y' =- 6x2+ 66x- 108=- 6(x2- 11x + 18)=-6(x- 2)(x- 9).令y' = 0,得x= 2(舍去)或x= 9,显然，当 x (6,9)时，y' >0;当 x (9,11)时，y' <0.函数y= 2x3 + 33x2- 108x- 108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的. 2,售价为10元时，年销量为28万件，5852

9、1 2 f 28= k 10-匚 2,解得 k= 2.当x= 9时，y取最大值，且 ymax= 135,售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元.10.某工厂统计资料显示：产品的次品率b与日产量x件(x N,1W xw 89)的关系符合以下规律：x123489b212129949974811又知道每一件正品盈利 a元，每生产一件次品损失 2(a>o)元.(1) 将该厂日盈利额表示成日产量x件的函数；(2) 为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？(.3衣)2解析：由b与x的对应规律得次品率为 b =(x N,1< xw 89).100-x3x100-x)(x N，且 1

10、w xw 89).3 100 x + 3xT'=a1 100 x 2=a1 300100-x故日产量x件中，次品数为bx件，正品数为(x bx)件，那么日盈利额：aT = a(x bx) bx= a(x令 T' = 0,贝U 100 x= 10 ,3, x= 100 10.3,当1w xW 100 10 3时，T' >0，函数T单调递增； 当100 10 3<xw 89时，T' <0,函数T单调递减. 所以当x = 100 10.3 83时，T取最大值.因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件.B组能力提升1.某公司生产一种产品，固定本钱

11、为20 000元，每生产一单位的产品，本钱增加100元,x3假设总收入R与年产量x(0 w xW 390)的关系是R(x)= 面十400x,0 w xW 390,那么当总利润最YUU大时，每年生产的产品单位数是()A. 150B. 200C. 250D. 300x3解析：由题意可得总利润 P(x) = 900+ 300x 20 000,0w xw 390,由 P ' (x)= 0，得 xw x<300时，P' (x)>0 ;当 300<xw 390 时，P' (x)<0，所以当 x= 300 时，P(x)最大.答案：Da元，侧面的材料2 做一个圆

12、柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为每单位面积的价格为 b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为aA.ba2B.bbC.bb2D.bb解析：如图，设圆柱的底面半径为R,咼为h,那么V = nR2h.V2 bv设造价为 y= 2 TR2a + 2jRhb= 2 nR2 + 2 jRb2 TbR2+号，小'=4 nRTur2bV2R b眉.令 y' = 0,得 2R = b答案：C3设一个容积 V固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，高为h，底面半径为r.单位面积铝y,合金的价格是铁的3倍，那么h : r =时，造价最低.解析：圆柱形铁桶的咼为h，底面半径为r,设单位面

13、积铁的造价为m,桶的总造价为2mV+ r那么 y= 3m n2+ m( n2+ 2 nh).因为 V = n2h，得 h = ，所以 y= 4m n2n所以y' = 8m n 爹+ 3,此时 h = 4 4 34 n 34 n 3'故当rv V1时，y'v 0，函数单调递减;V 1r = 4n 1时，y有最小值.所以当rB(/ 0c*B在抛物线解析：设CD = x,那么点C坐标为号,0 ,V 1当r> 43时，y' >0，函数单调递增.V 1所以r = 4- 令y' = 0,解得r=为函数的极小值点，且是最小值点.所以当4 n 3h : r

14、= 4 : 1时，总造价最低.答案：4 ： 1 4.如图，内接于抛物线y= 1 x2的矩形ABCD ,其中A, 上运动，C, D在x轴上运动，那么此矩形的面积的最大值是 一 xx o点b坐标为2, 1 22,x矩形ABCD的面积S= f(x)= x1 23X4 +x，x (0,2).3由 f '(X)=家2+ 1 = 0，2得 xi = 3(舍),2(x)>0, f(x)是递增的;2x；3，2 时，f ' (x)<0, f(x)是递减的,当x=$3时，f(x)取最大值493.答案: 493 5某地政府为科技兴市，欲将如下列图的一块不规那么的非农业用地规划建成一个矩形

15、高科技工业园区，AB丄BC, OA / BC,且AB= BC = 2AO = 4 km,曲线段0C是以点0为顶点且开口向右的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB、BC上，且一个顶点落在曲线段0C上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(km2).解析：以0为原点，0A所在直线为y轴建立直角坐标系如下列图.依题意可设抛物线方程为y2= 2px(p>0)，且C(4,2).1因为22= 2 p 4,所以p = 2.故曲线段CO的方程为y2= x(0 < x< 4, y> 0).设P(y2, y)(0 w yw 2)是曲线段OC上的任

16、意一点,那么|PQ|= 2+ y, |PN|= 4 y2,所以工业园区面积 S= |PQ| |PN|= (2 + y)(4 y2)= y3 2y2 + 4yS' = 3y2 4y+ 4.2令 S' = 0,得 y1 = 3, y2= 2.又因为0<y<2，所以当y (0, f)时，S' >0, S是y的增函数；当y (3, 2)时，S' <0, S是y的减函数.所以y=彳时，S取到极大值.832此时 |PQ|= 2+ y = 3, |PN|= 4- y2=.8、, 32256所以S= 8X 32=古95又因为 y = 0 时，S= 8; y= 2 时，S= 0,所以 Smax(km2).3282所以把工业园区规划成长为km，宽为3 km2.6.如下列图，有一块半椭圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r，短半轴长为r，方案将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴、 上底CD的端点在椭圆上，记 CD = 2x，梯形面积为S.(1)求S以x为自变量的函数表达式，并写出其定义域； 求S的最大值.解析：依题意，以AB的中点0为原点，AB为x轴，建立直角坐标系 xOy,那么点C的横坐标x,纵坐标y满足方程孑+ 4r2= 1(y?0),解得 y= 2 : r2-x2(0<x&l