新编北师大版高三数学(理)复习学案：学案21-两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案)

1、学案21两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标：、余弦、逆用、变形应用.【自主梳理i. 1两角和与差的余弦B),B).角0称为辅助角.【自我检测:1 .1a.2(20xx福建计算sin43 cos13 °cos 43 °sin13 °的结果等ncos a 6sin a4.35那么 sina+7n的值63)n4 .)sin2x45cosC. 2n20xx台州月考设OW a<2 n,假设sinnnB3,2n4 nD3,3A.C.n3，n3,7t3n22x4d4的a 一 3 cos小正周期a,贝U a的取值范围是COS( a+ ® =COS( a &#

2、174;,(2)两角和与差的正弦sin( a+ ® =sin( a ® =.两角和与差的正切tan( a+ ® =tan (a ® =.n(a, a+ a B均不等于 k n+ 2， k Z)其变形为：tan a+ tan B= tan( a+ B)(1 tan otan tan a tan B= tan( a B)(1 + tan otan 2.辅助角公式asin a+ bcos a= 'a2+ b2s in( a+ 0),cos 0=其中sin 0=btan(j)= a,5.(20xx广州模拟)向量a= (sin x,cos x)，向量b =

3、 (1,3)，那么|a + b|的最大值为()A. 1B. 3C. 3D . 9(1) 2sin 50 + sin 10(1+ .'3tan 10 )°' 2sin280 °(2) sin( 0+ 75 °) + cos( 0+ 45 °) ； 3 cos( 0+ 15 °).变式迁移1求值:(1)2cos 10 sin 20 sin 70 °(2)ta n(6 0 + tan(6 + 0)+ .'3ta n(f 0ta n(f+ 0).探究点二给值求值问题某角的三角函数值，求另一角的三角函数值【例 2 0&l

4、t; 0<7< a<, COS 扌一a =3,4 4453冗5sin + 3 = 13，求 sin a+ 3 的值.n1变式迁移2 (20xx广州模拟)tan 4+ a = 2, tan 3= .(1)求tan a的值;求的值.sin a+ 3 2sin acos 32sin osin 3+ cos a+ 3探究点三 给值求角问题某角的三角函数值，求另一角的值【例 3】 0< a<2< 3n tan 鼻=，cos 3- a =需.1求sin a的值； 2求3的值.变式迁移3B的值.20xx岳阳模拟假设sin A=¥, sin B =暫°，

5、且A、B均为钝角，求 A +转化与化归思想的应用12分向量a= (cos a,sin a, b= (cos B, sin |a b|=255求cos( a B)的值；假设一n< B<0< a<n，且sin B=倉，求sin a的值.2213【答题模板】解(1) / |a b|= 5，： a2 2a b + b2 = £.2 分又T a= (cos a, sin a, b = (cos B, sin B，二 a2 = b2= 1,a = cos acos B+ sin asin B= cos( a B), 4 分 故 cos(aB =警=窣=5.6 分nn3.4

6、(2) ；< B<0< a<-，二 0< a B< n :COS( a B = -,- sin( a B) = ：.8 分22555 n12又.sin 3= 13， 2< B<0，二 cos B=初9 分故 sin a= sin( a B) + B = sin( a Bcos B+ cos( a ®sin=5X 眷 5X513=6312分【突破思维障碍】此题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a b|= 5,必须从这个等5式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第1问，在第2问中需要把未知角向角转化再利用角的范围来

7、求，即将a变为a B + B【易错点剖析】|a b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成角并利用角的范围 确定三角函数符号也是易错点.课堂小结1.转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，1的变换，和积变换，幕的升降变换等等.2变换那么必须熟悉公式分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的 相互联系和适用条件.3.恒等变形前需式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系, 实现转化.4根本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幕,( )B. - 3n2/3 口 r .2. cos a+ 6 sin a= 3，

8、贝U sin2323A. 3B. 3a-弋的值是2C. 34D.42d.2冗C. x = 4冗D . x = 25.在厶ABC中，3sin A+ 4cos B = 6,4sin B + 3cos A= 1,那么 C 的大小为()n5a6B6nC.6或 5 n6 6D.3或2 n题号12345答案二、填空题每题4分，共12分6. 20xx重庆如图，sin(冗3. 20xx宁波月考向量 a= sin a+ 6 ,1 , b= (4,4cos a ' 3)，假设a丄b,那么4 na+亍等于A 4) An+1-4 X的象 3-4=3 4图 Xc.'x B是 程 方 轴 称 对图中的实线

9、是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C,各段弧所在的圆经过同一点P点P不在C上且半径相等设第i段弧所对的圆心角为aia(i= 1,2,3)，贝U cos cosa+ a3aia2+ asin sin 37.设 sinn2< a< n,1 r,tan( n ® = 2，贝V tan (a 3 =n n&(20xx惠州月考)tan a、tan 3是方程x2+ 33x+ 4= 0的两根，且a氏 一2, ?, 贝H tan( a+ 3=, a+ 3 的值为.三、解答题(共 38分)nn*3359. (12 分)(1) a 0, 2，氏 2，冗且 sin( a+3 = &am

10、p;, cos 3=后求 sin a;11 a (0, n，且 tan (a 3 = 2，ta n 3= 7，求 2 a 3 的值.10. (12分)(20xx四川)(1)证明两角和的余弦公式C(a+3： cos(a+ 3 = cos acos 3sin 久sin3；由 C(a+3推导两角和的正弦公式S(a+3: sin( a+3)= sinacos3+cososin 32 ABC 的面积 S=Z , AB AC= 3，且 cos B =3,求 cos C.2 511. (14 分)(20xx 济南模拟)设函数 f(x) = a ,其中向量 a = (2cos x,1), b = (cos x

11、, '3sin 2x), x R.n n(1)假设函数 f(x)= 1 - 3,且 x 3，3，求 x;求函数y= f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y= f(x)在区间0, n上的图象.答案自主梳理1. (1)cos 处os 3 sin asin 3 cos acos 3+ sin «sin 3(2)sin acos 3+ cos ain 3 sin «cos 3 cos «sin 3tan a+ tan 3 tan a tan 3： ab(3)1 tan atan 3 1 + tan aan 3 .寸 a2+ b2a2 + b2自我检测1.

12、A 2.C3.B4.C5.C课堂活动区例1】解题导引在三角函数求值的问题中，要注意 “三看 口诀，即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式.如果满足那么直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一 下名称，就可以使用.(1)原式2sin 502sin 502sin 50半 sin 10半 sin 10半 2sin 10=2s in 50.3sin 10cos 10 °,2si n 80gos 10 半；3sin 10co

13、s 10 °2cos 10 亠吕in 10cos 10 2 sin 80 2cos 102sin 10 sin 40 cos 10 °2sin 60°-= 2cos 10 =2 2sin 60 °cos 10°=2.：2 23= 6.原式=sin( 0+ 45 °)+ 30 ° + cos( 0+ 45 ° . 3 cos( 0+ 45 ° 30 °.313. 3=2_sin( 0+ 45 °) + 2cos( 0+ 45 ° + cos( 0+ 45 °) &qu

14、ot;cos( 0+ 45 ° "sin( 0+ 45 °= 0.变式迁移1解(1)原式=2cos 30。一 20 ° sin 20sin 70诵cos 20 半 sin 20 sin 2、匚羽cos 20 = 仇_ sin 70 ='B) tan(n+ 册十 3tan(g 9)tan(f+ B)= 3sin 70n.(2)原式=tan(百一(云 + ®1 tan 例2解题导引些角的三角函数值， 有确定， 技巧.7t6对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一关键在于“变角，使“所求角变为“角，假设角所在象限没 那么应分

15、类讨论应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等n. n 3cos - a = Sin 十 a=-,445'n 3 nT 0<屯“才,.n n3 n 3 n.二 < 一十 a< n <+ 3< n2 444.cos n+ a =. 1 sin2 n+ a = 4,4*453n2 3冗丄 c 12cos 十 3= sin2+44n.sin n+ ( a+a +4.n 3 nn=sin + a cos + 3 + cos 一 十4441256 x . - X 51351365'56.sin(a+ 3 = 65-3=-3n+13'

16、a sin 节+3变式迁移2解由tan ；+=2，得吐皿=2,1 tan a即 1 + tan a= 2 2tan a, / tania= 3'sin a+ 3 2sin acos 3(2)一2sin osin 3+ cos a+ 3_ sin acos 3+ cos «sin 2sin 久cos 32sin osin 3+ cos acos 3 sin asin 3sin acos 3 cos asin 3 sin a 33cos acos 3+ sin 久sin 3 cos atan a tan 31 + tan aan 3=tan( a 3 =113 21=1_= 7&

17、#39;1+ 1X 1 例3】解题导引 那么：正切函数值,(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原选正切函数;正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；假设角的范围是0, n，选正、余弦皆可;n n假设角的范围是(0, n,选余弦较好；假设角的范围为2，2，选正弦较好.(2)解这类问题的一般步骤： 求角的某一个三角函数值； 确定角的范围；根据角的范围写出所求的角.解/ tan a= 1,aaa12sin qcos22ta n 22X22 a , sin22 + coso a；2-2a1 + tan；1 +1 22nsin43(2) / 0< a<2,a= 5,cos

18、a-=5.aa a-sin a sin 2 = 2sin qcos q45.n又 0< a<2< 俟 n, 0< 3- a n由 cos( 3 a=# 得 sin(3 a= 7102. sin 3= sin( 3 a) + a=sin( 3 a)cos a+ cos( 3 "sin a= x 32 x 4 = 25=/ 105105502 .由 2< 3< n得 3= 4 n (或求cos 3=舟，得3= £变式迁移3解/ A、B 均为钝角且 sin A= 5, sin B= 10,510- cos A= (1 sin2A = 25,r寸

19、55233 .'10 cos B = 1 sinB=- ,10= 10 . cos(A+ B) = cos Acos B sin Asi n B =旗x 更叵血=返5105102 .3烦10乂 - 2<A< n, 2<B< n - n<A+ B<2 n由，知a+ b=孑 课后练习区1. D 2.D3.B4.A5.A1 r 2 c 庁 26. 17. -8. 33 nn59.解(1) / 3 2，n , cos 3= 13, .c12- sin 3= _2 13'(2分)又 °<a<n，n<3< nn 3 n3

20、3- 2< a+ ，又 sin(a+ 3)= 65, cos(a+ 3)= 1 sin2 a+ 333 2= 56 65 = 65，(4分) sin a= sin( a+ 目=sin( a+ 0cos 3 cos( a+ ®sin 3(6分)33 空 56 12_ 365 13 65 13 5./ tan a= tan( a ®+ 31113,(8分)1 tan a 3 tan 3_ tan a 3 + tan 3 _27 _-tan(2 a 3 = tan a+ (a 31丄1+ _(10 分)tan a+ tan a 3321.1 tan dan a 3 彳 1

21、x 11 321 1Ta, 3 (0, n, tan a= 3<1 , tan 3= y<0,_ n n- 0< a<4, 2< 3< n(12 分)3 n10. (1) - n2 a 3<0, 2 a 3= .LM证明 如图，在直角坐标系 xOy内作单位圆O,并作出角a、3与一3使角a的始 边为Ox，交O O于点P1,终边交oO于点P2;角3的始边为OP2，终边交OO于点P3；角 3的始边为OP1，终边交o O于点P4.那么卩1(1,0),P2(cosa,sin a,P3(cos( a+3) ,sin( a+3) ,P4(cos( 3 , sin( 3), (2分) 由|P1P3|= |P2P4|及两点间的距离公式，得cos( a+ 3 12+ sin2(a+ 3)=cos( 3) cos a2+ si n( 3 sin a2,展开并整理得：2 2cos( a+ 3 = 2 2(cos acos 3 sin «sin 3),二 cos( a+ 3)= cos acos 3 sin «sin 3 (4分)n解由易得，cos 2 a = sin a,nsin 2 a = cos an .sin( a+ 3)= cos 2 a+ 3n=cos 2 a+ 3=cos ； a cos( 3 sin a