无穷级数练习题

1、、填空题1、设幕级数2、幕级数3、幕级数4、幕级数5、级数n6、级数7、8、a0无穷级数习题anxn的收敛半径为3,那么幕级数nan(x 1)n 1的收敛区间为0n 1(2n1)xn的收敛域为01x2n1的收敛半径Rxn的收敛域是 on 11甘的收敛域为皿的和为n 02nn(|)n1n 12设函数f(x)x x2 (x)的傅里叶级数展开式为(an cosnx2 n 1bn sinnx),那么其系数b3的值为9、设函数f(x)1,2x ,X 0,那么其以2为周期的傅里叶级数在点x处的敛于10、级数的和1 n(n 1)( n 2)11、级数的收敛域为。n 1n 4n参考答案：1、(2,4)2、 (

2、 1,1)3、R 34、22126、7、48、9、-10、2 ln332n2n1,1)二、选择题5、(0,4 )11、(0,4 )1、设常数0，而级数a：收敛，那么级数n 1。A丨发散 B条件收敛C绝对收敛D收敛与 有关an |ananan2、设 Pn,qn-,n 1.2，那么以下命题中正确的选项是22A丨假设an条件收敛，那么Pn与 qn都收敛。n 1n 1n 1B丨假设an绝对收敛，那么pn与 qn都收敛。n 1n 1n 1C假设an条件收敛，那么pn与 qn的敛散性都不一定。n 1n 1n 1D丨假设an绝对收敛，那么pn与 qn的敛散性都不定。n 1n 1n 13、设an0,n 1,2

3、假设an发散，1n 1an收敛，那么以下结论正确的选项是n 1n 1 丨。aa2n 1收敛，a2n发散Ba2n收敛，a2n 1发散N 1n 1n 1n 1C(a2n 1n 1a2n收敛.D( a2n 1n 1a2n)收敛.4、设为常数，那么级数sinnn 1n加是A绝对收敛.B丨条件收敛.c发散.D收敛性与取值有关5、级数(1)n 1n(1cos常数nA0是A发散.E3条件收敛.c绝对收敛.D丨收敛性与， 亠 、/ 有关.16、设 Un 1nln1丁，那么级数Aun 与u；都收敛.BUn与U；都发散n 1n 1n 1n 17、级数(1)n 1an2,a2n 15，那么级数an等于n 1n 1n

4、 1A3. B7.C8.D9.& 设函数 f(x) x2(0 x1)，而C Un收敛而u2发散.n 1n 0D un发散而 u2收敛.n 1n 1S(x)bn sinn x ,n 11其中 02 0 f(x)sin n xdx, nA9、设 f( x)111BCD4 .4 .2 .10 xx,2aS(x)an cosn x，2 2x,1x12n 12S，那么S( £)等于。1其中 an 2 f (x)cosn0xdx (n 0,1,2,)那么S(斗等于r、1133A一.B.C 一.D2244A( 1)叫B1u；n 1nnn 110、设级数n收敛，那么必收敛的级数为n 1D (

5、UnUn 1).n 111、级数(1)n 1an2，a2n 1 5，那么级数an等于n 1n 1n 1A3. B7.C8.D9.C (u2n 1 U2n).n 112、假设级数an收敛，那么级数n 1Aan收敛.n 1b( 1)nan 收敛.n 1anan 1 收敛Dn 113、假设an(x 1)n在x 1处收敛，那么此级数在 x 2处。14、设幕级数anxn与bnxn的收敛半径分别为n 0n 1-5与-，那么幕级数离£的收敛半33n 1 bn径为A5.D1234567891011121314CBDCCCBCDCDBA参考答案:三、解答题1、设f(x)在点x 0的某一邻域内具有二阶连

6、续导数，且f ( x)00宁0，证明级数1f (丄)绝对收敛。 n 1 n【分析一】lim丄x 0 x0说明x 0时f (x)是比x高阶的无穷小，假设能进一步确定f ( X )是x的p阶或高于p阶的无穷小,1 一 1p 1，从而f (-)也是-的p阶或高于p阶n的无穷小，这就证明了1f( _)绝对收敛。nf ( x)【证明一】由lim0及f(x)的连续性X 0 xx 0邻域有二阶连续导数及洛必达法那么.f(x) f (x) lim 2 lim x 0 x x 0 2xf(0 )0, f (0 )0。再由 f(x)在limf (x)x 011f(0)(0 )由函数极限与数列极限的关系limxf(

7、1)n£2n1-|f(0)1f()绝对收敛。n1()n是否收敛?n i an 12、设正项数列an单调减小，且1nan发散，试问级数n 1【分析与求解】因 an单调下降有下界0极限lim ana 0。假设a 0，由莱x布尼兹法那么，并错级数1nan收敛，与假设矛盾，于是a 0。n 11现在对正项级数n可用根值判别法：因为n 1 an 而一发散,n 1 n严孑严d & 1，所以原级数收敛。3、求幕级数nn13n 2收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。【分析与求解】直接用求收敛半径的公式,先求nlim3n ( 2)nlimn3(1于是收敛半径R 3，收敛区间为3,3).当x 3

8、时是正项级数:3n13n(2)n_323n (2)n1n丄发散，即13 2 n3nnx 3时原幕级数发散。3时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。3n1(1)n(3n(2)n ( 2)n 13n ( 2)n n3n(2)nn(1)n2n 1n3n(2)n nlimnn丄2 1 3n (2)nnlimn3n3n ( 2)n20,(-)n 收敛,n 1 32nn 13n (2)原幕级数收敛。4、 1验证函数y(x)x33!x66!2利用1的结果求幕级数【分析与求解】1首先验证该幕级数的收敛区间是原级数3nXn o (3n)!tnn o (3n)!由 limn(3(n1)!1(3n)!limn，

9、从而其次,x3n3n3n ( 2)n n1收敛，即x 3时(3n)!满足微分方程3nxo(3n)!的和函数。.这是缺项幕级数，令t0(3n 3)(3n 2)( 3n 1)时原级数收敛。在收敛区间内对幕级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次:3n 1 y(x) n1 盂，y(x)3n 2xn 1 (3 n2)!y(x) y(x)y(x)x3，那么).3n 2Xn 1(3n 2)!3n 1X1 (3n 1)!3nXo(3n)!级数的线性性质x3n2n 1(3n 2)!3n 1x(3n 1)!x3n21 (x X2!3456(XXX) 4!5!6!n Xn 0 n!e (x).收敛级数与它任意

10、添加括号后的级数有相同的和3n2因为幕级数的和函数y( x)满足微分方程n 0 (3n)!xy y y e又知y(0 ) 1,y(0)0.该方程相应的齐次方程的特征方程为1 0.所以为求y( x)只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题+相应齐次方程的通解为1 3.-i2 2y egcos三 x CzSin三 x).2 2设非齐次方程的一个特解为y Aex，代入方程得3Aex非齐次方程的通解为xe 2(Ci3cos x2心)令x 0 ,由初始条件y(0)Ci1,0.Ciy(0)因此3nX0(3n)!y(x)2 -2e cos35、求幕级数(1)n 1(1n 11n(2n)x2n的收敛区间与和函数

11、1)f(x).【分析与求解】 这是缺项幕级数，令t X2,考察 antn，其中n 1an ( 1)n1(1 占).antn的收敛半径为F面求和函数:f1(x)1)n1x2nann2lim nnani.原幕级数收敛半径为(1)n112(n 1)XX21,收敛区间为n 2n1) X1,1)。f2(X)n1)1n( 2n 1)2nX ，f2(X)2n 12j 1Uf2(x)2( 1)n 1x2(n 1n 121 x2(X1)注意 f2(0 )0, f2(0 )0 ,积分两次得因此，f(x)f2(X)f2(X)f")x0 f2(t)dtX0 f2(t)dt2xarcta n xf2(x)6、

12、求级数 (n 0n 121) n(n n【分析与求解】先将级数分解:A ( 1)订 52n 02第二个级数是几何级数，它的和x 122dt0 1 t2X2 arctan tdt02 arctan x,2x arcta n*dt1n(1 X2)(x 1).2X22 x arcta n1x 1n(1).1)的和。1)1)1(1)求第一个级数的和转化为幕级数求和，考察1)1r_x(x1)S(x)1)nn(n1)xn 1 2(1)nxnn 0(123(1 x)1)n( n 1)1 1歹 S(?)27因此原级数的和A -27322277、求级数n 2n 2 2 (n 1)的和。【分析与求解】先用分解法将

13、原级数分解。丄(丄丄)2 2n 八 n 1 n 1 n2n “ 1)n22n1(n 1宀 AA2.1n(1 x)，即要熟记五个简单函数的幕级数展开式，与此级数和有关的是1n(1 x)上 xnn 1 n(1 x 1).于是1 2n(1)n1(f)n1n(1丄)421(1)n1(PA(1)n1(1、n1)1 1()n 3n2n1n2 22 211151n (1-)-1n272288因此A A1A2531n2.84n 1n 2 2 (n 1)n32nn1 x&将函数f(x) arctan 展为x的幕级数。1 x【分析与求解】f(x)容易展开。f (x)1(1x) (1 x)(1)21<

14、rx)2x(1 x)2(1 x)2(1x)211 x2 '由11 t1 tt2(1)n丄nt (1)ntnn 0(t1)，得f (x)12 (八 n 2nz1)x(:x 1).x n 0x0 f(t)dtnx c(1)n 0t2ndt,0f(x)f(0)(1)n 2n 1Xn 0 2 n 14 n(1)nx2n10 2n 1且收敛区间不变，:当x1时，式右端级数均收敛,1 而左端 f(x) arctan -x在x在幕级数的收敛区间内可逐项积分得1 x连续，在x1无定义，因此1arcta nn o 2n 1,x1,1)1 19、将函数f (x) 1n4【分析与求解】f( x)1 f (x

15、)1 x1-1 n(1 x)411arctan x x2丄 1n(141 1积分得展开成x的幕级数。x) arctan x2先求f (x)的展开式x21 121x221x2x44nx04nx1(x 1)f(x) f(0)xof(X)dXx .t4ndt0m4n 1(x1).10、设 f(x)1 x2arcta nx,x 0 21,试将f(x)展开成x的幕级数，并求级数(1)nn 1 1 4n2的和。【分析与求解】关键是将arctanx展成幕级数，然后约去因子x，再乘上1 x2并化简即可。直接将 arctan x展开办不到，且(arctan x )易展开，即积分得(arcta nx)1 x1)n

16、x2n,x1,arcta n xx0 (arctan t) dtxn 2n1) 0 t2ndt(1)n 2n 1X°2n 1x 1,1 .因为右端级数在x 1成立。1时均收敛,arctan x在1连续，所以展开式在收敛区间端点现将式两边同乘2x arcta n xx(1X2)n02n(1)1x2nUnn 0 2n 1(1)nx2n2n 0 2n 1(1)nx2n1o 2n上式右端当x 0时取值为1，f(x)上式中令x 1(1)nn 1 1 4n21)n12n 1亠x2n2n 1(.11f(1)吟n,x4n2卑n,x11 R21,1,x 0.1,1.11、将函数f(x) 2x( 1 x

17、 1)展成以2为周期的傅里叶级数， 并由此求级数112的和。【分析与求解】按傅氏系数公式，先求f ( x )的傅氏系数an 与 bn °因f ( x)为偶函数bn 0(n 1,2,3 ).注意到an2 |f (x )cosl 014 cosn0xdx启(1)naof(x)在f(x) 2xdx J 2 1(20x )cos ndx1120(2 x)dx1xd sin n04(2k 1)20,5.1,1分段单调，连续且 f( 1)21(2n1sin n02k 1,2k .xdx(n1,2，)f (1)，于是有傅氏展开式cos(2n1)1)x,x1,1 .为了求上式中令1(2 n 1)21

18、(2n现由丄2n 1 n1)2(2n)21(2n 1)214n12、将函数f(x)1(0x 2)展开成周期为4的余弦级数。【分析与求解】这就是将f(x)作偶延拓后再作周期 4的周期延拓，于是得 f(x)的傅氏系数：bn 0(n1,2,3 ).ann x i 2 f ( x )cos dx= lnx220(x1)d sin2n(x 1)cos xdx2sin xdx242 cos x n21)n1)(2k0,2k 1,2k,k 1,2,3 2 2 f (x)dx2 020(x1)dx1)20.由于延拓后f (x)在2,2分段单调、连续且f( 1)f(1).于是f(x)有展开式f(x)8212 c

19、osn1(2 n 1)2(2n2-x,x0,2 .13、求幕级数n 13n (2)nxn的收敛区间,并讨论该区间端关处的收敛性。解：设an3n ( 2)n0,1,2，,limxan 1anlimx3n3n 1 ( 1)n2)n1 (n1)limx1( - )n1 1( 3)13 1 ( 2 )n 1 33收敛区间(3,3).3 时，an1发散2n3时,an3n (3n2)n n原级数在x 3处发散。12n3)n3n ( 2)n n(1)nn2n3n ( 2)n n0,n 1,2，,Vn 12n 13n ( 2)n2 1 ( 3)nV? 3n 1 ( 2 )n 1 ，n 3 1 ( 2)n i3

20、2nn 1 3n (2)n故原级数在x 3处收敛 收敛域内 3,3).14、将函数f(x)2展开成x的幕级数。2 x x分析 先将f (x)分解成局部分式，再利用等比级数间接展开。解：f(x)n(2 x)(x 1),1尹，2 x 2,n 0 2(1)nxn, 1 x 1.n 0f(x)n n1) x2n1)x 1.1 2x15、将函数f(x) arctan展开成x的幕级数，并求级数1 2x(1)nn 0 2n 1的和。分析直接展开较困难，先将 f (X)展开，再递项积分得出 f(x)的展开式f (x)(12(1 2x) 2(1 2x)2(12x)21 4x22n 2 nn n 2n 11(1)

21、 (4x )2( 1) 4 x , xn 0n 022xx of(x) f(0)0 f (t)dt ； 2( 1)n4n 0t2ndt4 n 03 4nx2n 1n 02n 1莱布尼兹判别法no£尹1 时，14)二2 n o2n 122n 12n(1)no2n 1收敛f(X) 4 Jo寻 4"1 12'21又 f(2) 4(1)nn o 2narcta nO 0(1)n n o 2n 1416、求幕级数(1)n1 2n 1X1 n(2n 1)的收敛域及和函数s(x).解：求收敛域，由于该幕级数缺项幕级数，那么直接用比值判别法求之，Un(x)(1)n1x2n 1n(2

22、 n 1),n1,2limXUn 1(X)Un( X)limXI 2n 3|xn(2n 1)2n 1(n 1)( 2n 1) x当X21，即X 1时，原级数绝对收敛;当X21,即X 1时，原级数发散。所以原级数的收敛半径为1，收敛区间是1,1.当X 1时,(1)n1 n 1 n(2n一绝对收敛1n(2n 1)同理，当x 1时，n(_1 绝对收敛,1 n(2 n 1)因此，该级数的收敛域为1,1S(x)(1)n1x2n1n 1 n(2n 1)x 1,1117、求幕级数 (1)n 1(1)x2n (1)的收敛区间与和函数 f ( x)。n 1n(2n 1)解：此级数(1)是缺项的幕级数令 Un(x

23、)( 1)n1(11 )xn1n(2n 1) 1xn(2n 1)n(2 n 1)2n,n1,2 ，打limn叫 1(X)Un(x)lim(n 1)(2n 1)1)n (n 1)( 2n 1) n(2n2x1) 1x2当x21，即1时,级数(1 )绝对收敛;当x21，即1时,级数(1)发散。级数(1)的收敛区间为(1,1)(1)nn 11(1n(2 n 1)2n)x(1)nn 11x2n12n一 x12n(2n 1)(1)n记 g(x)n 1 2n1) x2x2 ,1 x1,1)S(x)1)n 12n x1 2n(2n 1)(例7 )xarctamx如(1x2)f(x)g(x) 2S(x)2 2

24、 arctanx lin (1 x ),x ( 1,1) x18、 1讨论级数5 nF 的敛散性,n 1 n2级数a2和b：都收敛，试证明级数n=1n 1anbn绝对敛。n 11解.Un 1Unn 1(n 2)! n(n 1)n 2 (n 1)!n(n 2)1(n 1)2 (11)nn(n(n 1)!n 1n 1 n收敛2证a2与b"都收敛n 1n 12 anbn收敛anbn收敛n 1n 1即xn绝对收敛。n 119、设有方程xn nx 1 0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正实根xn，并证明当 1时，级数 xn；收敛。n 1分析 1存在性用根的存在定理，唯一的性用函数的严格可

25、调性2用比拟判别法证明nxn收敛。1证们取 fn(x) xn nx 10，贝U fn(x)在0,1上连续，且fn(0)1 0,f(1) n 0(0,1)，使 f(Xn)0 ,又 fn(x) nxn 1 n 0,x0,fn(x)在0,上严格递增方程nx 1 0存在唯一正实根xn(0,1).nXn1 0 且 Xn (0,1)，有n1 Xn xn-n丄(n1)1丄收敛1 nnn收敛。n 120、设antan nxdx.12试证：对任意常数级数並收敛。1 n1解直接求an an 2的表达式anan 2o4tan nxdx04ta nn2xdx；ta nnx(1 tan 2x)dx证由于因此21、求级数

26、0tannx sec2xdx:tannxd(tan x)1tan1ann 1 k(k 1)anan3n_n1n 1 n(n 1)1)tan nxdx丄dt0 1 t2&)1(n1tndt03)nn 1 n2(X的收敛域。【解】因系数a1,2),故因此当1 x 3当x 2时，得交错级数tann ,nlimXan 1anarcta n tlimX2n(n 1)21.x 4时级数绝对收敛。1)12n当x 4时，得正项级数n12，二者都收敛，n于是原级数的收敛域为2,422、函数f(x)假设02 x,假设 1X,2.试计算以下各题:2 s 0 f(x)exdx;4(2)$2 f(x 2)e x

27、dx;2n 2(3)So2n f(x2n )e xdx (n 2,3 );(4)sSn0【解】用分段积分法，1(1) So o xe xdx分部积分法和换元积分法，分别可得21 (2 x)exdxixe xdx02e xdx12e xdx1xxe1 xxe dx xe o2(2)S1x 2 t o f(t)e2dt e2(3 )snx 2n t o f(t )e2ndt(4)利用以上结果，有sSnn o2 2 xe dx1 12to f(t)e dte 2nSan2of(t)e(丄)no eS)e2 1eSotdtSeSo1e(12 e2nSd2ne2e Soe2 12g(e 1)2 ;e(e

28、 1)2e2123、设有两条抛物线 ynx21 和 y (n 1)x2n记它们交点的横坐标的绝对值为an。1求这两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn ；S2求级数n的和。n 1 an【解】1用Ln与Ln 1分别表示两条抛物线21/八 21| 匕 |y nx 与 y (n 1)x丄n 与 Ln 1nn 1有两个交点(an，yn)与(an,yn)，如图5.2.令 nx2(n 1)x211容易求得an1，利用定积分还可求得两nn 1Jn(n 1)抛物线围成的平面图形的面积。an2Sonx1 (n1)x2-dxannn12anan2x2dxan41n(n 1)3 n( n1),n(n 1).s 414

29、 11因为a 3冇3(n百)(n 1,2)，于是nSkSn-(-)(-31223A).n 1 anlimnn-lim(1 丄)-.3n n 1324、设 I04 sinnxcosxdx,n 0,1,2,，求 In 0【解】由In4 sinnxd(sinx)-0n= (sinx)n1GT1，有In0令 s(x)xn 1，因其收敛半径R 1，且 s(0 )1,1)内有s(x)s(x)s(0)1 dt0 1 t1n(1x), 1 y xY 1.(1,1),即得1/2、n1川(£)1n(1 二)1n(2、2).2从而Inn 004si n'cosxdx2 一s(于)1n(2 .2).

30、25、fX)满足fX)fn(x) xn 1ex n 为正整数，且 fn( 1)e，求函数项级数nfn(x)之和。n 1【解】由条件可知 fn(x)满足一阶线性微分方程fn(x) fn(x) xn 1ex,其通解为fn(x)X/ xe (nc).由条件fn(1)-，得n故 fn(X)n xx e.从而n记 s(x)nfn(X)s(x)故 s( x)s(0)其收敛域为1r xx0S(t)dt由 s( x)与 ln(1 x)在 x曰'当 1 x 1时，有疋，fn(x)126、 1验证函数 y(x)3 x3!6 x6!(1)利用(1)的结果求幕级数【解】(1)因为幕级数y(x) 13 x3!的

31、收敛域是(y(x)2 x2!y (x)1,1),且S(0) 0,当x (dt ln(1 x).01 t1,1)时,1的连续性知，上述和函数公式在x 1处也成立,e0x)9 x9!ex1n(1x).3nx /( x(3n)!)满足微分方程3nx0(3 n)!的和函数。6 x6!9 x9!3nx因而可在()上逐项求导数，得5 x5!8x8!3n 1X(3n 1)!4xx 4!7 x7!3n 2X(3n 2)!y Aex，将y代入方程 y y y ex可得于是，方程通解为.3C cos x2C2s1y(0) 1 Ci -, 当x 0时，有3_1 V3y (0) 0C1C22 2C13,C203n于是幕级数一的和函数为y(x)n 0(3n)!?es仝x丄ex(323x ).27、求幕级数2n1)n Jx