行列式的计算

1、行列式的计算行列式的计算蒋银山蒋银山( (广东外语外贸大学南国商学院公共课教学部广东外语外贸大学南国商学院公共课教学部 广东广州广东广州 510545)510545) ：利用行列式的性质其划为上(或下)三角形行列式； 利用行列式的定义计算；利用摘要行列式按行(列)展开定理进行降阶和递推关键词：化三角形法，加边法，逐行（或列）相加减法，数学归纳法，递推法，构造法，拆项法。行列式计算的基本思想：1.对于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定义计算。2.对于一般的行列式，我们主要有下面两种计算思想：利用行列式的性质进行行列式的初等变换,将其划为上(或下)三角形行列式,进而得到结果。利用行列式按行(列

2、)展开定理进行降阶和递推。在典型的计算过程中一般两种方法同时应用,先利用性质化出尽可能多的零元素,然后再利用行(列)展开定理降阶,化为低阶行列式进行计算.行列式的计算方法：1.化三角形法。即把已知行列式通过行列式的性质化为上（或下）三角形，以及化为非主对角线的三角形2.利用行列式的性质。3.加边法:把等 n 阶增加一行一列变为 n+1 阶行列式，再通过性质化简得到结果。4.把各行（或列）统加到某一行（或列）再通过性质化简得到结果。5.逐行（或列）相加减。6.将某一行（或列）的倍数分别加到其它各行（或列） 。7.展开（1）按某一行（或列）展开（2）按拉普拉斯定理展开8.利用已知公式（1）三角形公

3、式（2）范德蒙德公式（3）ab 型行列式公式（4）爪型行列式公式9.数学归纳法。10. 递推法。11.构造法：根据题设条件构造一个新行列式，再进行计算。12.拆项法：把某一行（或列）分裂成两项和再按行列式的性质拆开，再进行计算。计算行列式41111111111111111xxDxx法一：利用性质法。12411111101110111ccxxxDxx21111022201110111rrxxxx 222111111xxxx按第一列展开2(2)(1)222(1)2(1)(2)x xxxxx按公式展开2(2)4 x xx434xx法二:逐行(列)拆项法. 411111 01111 01111 011

4、1xxDxx第一列写成两数和11111111 11101111111011111110111xxxxxxx11111111000111000111000rxxxxxxxi第一个行列式r第二个行列式按第一列展开31111 0111 011xxxxx3111111 11010 111001xxxxxxx311111001100 xxxxxxx322(121)xx xxxx323(3)xxxx434xx法三：递推法.411111 01111 01111 0111xxDxx11111111 11101111111011111110111xxxxxxx1111111000111000111000 xxx

5、xxxx33xxD即343DxxD同理可得232DxxD21DxxD(1)xxx22xx则 223(2)Dxxxx233xx从而 3234(3)Dxxxx344xx用递推法计算行列式的步骤:(1) 将行列式经过适当的运算,通常是利用按行(列)展开定理展开,得到高阶与低阶行列式的递推关系.(2) 利用递推关系求解出原行列式, 利用递推法求解行列式时,由递推关系.最后通常化为nD求解123,D DD或用递推法计算行列式的注意事项:用递推法只能计算一些特殊的行列式,即那些经过适当的运算后,所得到的低阶行列式与原行列式有相同形状的行列式,这样才能建立递推关系.用递推法有时还会用到一种重要技巧,将行列式

6、的某一行(列)或某几行(列)的各元素改写成两项的和,然后可以将原行列式拆成一些新的和进行计算.法四：提公因式法.123444444111111111111rrrrxxxxxDxx1(4)11111 111(4)11111111rxxxxx1(2,3,4)1111000(4)000000irrixxxx3(4)xx434xx提共因式法:将所有行(或列)对应元素相加后相等的行列式,这时可以把所有行(或列)加到第一行(或第一列)提取公因式后再化简计算.法五：逐行相减法.123444111411141114111ccccxxxDxxxx2131414111000000000rrrrrrxxxx34xx

7、344xx434xx法六：拆项展开法.411111 01111 01111 0111xxDxx1111111000111000111000 xxxxxxx33(1)1 1 (1)(1)(1)xxxxxx 3233xxxx344xx法七:爪型行列式法/三线型行列式法.14(2,3,4)1111000000irrixxxDxxxx1234()()()4111000000000 xxxccccxxxxxxx3(4)xx344xx434xx法八:整体拆项法.411 01 01 01 011 01 01 01 011 01 01 01 01xxDxx100010001000100010001000100

8、0100010001000100010001000100010001000 xxxxxxxxxxxxxxxx33334xxxxx434xx此四阶行列式可以拆成个四阶行列式,但含有两列的行列式的值为零,故不为42( , , , )Ta a a a零的行列式只有五个.法九: .ab型行列式公式法 1()(1) nnabbbabDabanbbba 4111111111,1,11111111xxDax bxx 令则34(1)(4 1) 1Dxx3(4)xx434xx法十:加边法爪型行列式计算公式1112131212231331000000nnnnaaaaaaDaaaa1211222()nnnnaacc

9、caa 121312233000000000nnnaaaaaa14(2,3,4)1111111111011111000011111000011111000011111000irrixxDxxxxxx1234511114111110000000000000000cccccxxxxxxxxx 44(1)xx434xx法十一:数学归纳法.111Dxx22211(1)1211xDxxxx 3323111111(1)1 1 3(1)3111xDxxxxxx 1nnnDxnx下面用数学归纳法证明：101111nDxxx 当时等式成立。假设时等式成立，即nk11111111111111111kkkk kxx

10、Dxkxxx那么当时1nk1(1) (1)11111111111111111111111111kkkxxxDxx (1) (1)111111 011111 011111 011111 01111kkxxxxx 11(1) (1)1111111111111101111111110111111111011111111101111kkkkxxxxxxxxx 1(2,3,1)(1) (1)111110000000000000000irrkikkkxxxDxx (1)kkkxx xkx(1)kkkxxkx(1)(1)kkxkx综上所述：当时等式也成立，故对所有的自然数 N 等式都成立。1xk4344Dxx参考文献：李正元，李永乐，袁荫棠： 数学复习全书，国家行政学