最新人教版八级数学下册第16章全章教案

1、161 二次根式第1课时二次根式的概念特征?i 能用二次根式表示实际问题中的数、合作探究量及数量关系，体会研究二次根式的必要性;难点2 能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质， 会求二次根式中被开方 数中字母的取值范围.重点探究点一：二次根式的定义口 以下各式中，哪些是二次根式,哪些不是二次根式？(1) .11； (2/. - 5; (3) . 7一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,那么它的宽为 m.；(4)無；(5)|6 ；3)；、情境导入解析：要判断一个根式是不是二次根式,(7) . x (x> 0) ；(8) . a 12 ；(9) . - x2- m满足关系h

2、 = 5t2,如果用含有h的式子表 示 t,贝U t=. 问题2:上面得到的式子 3 'S, 65,；(10) ,a-b2(ab>0).解:问题1:你能用带有根号的式子填空吗？1面积为3的正方形的边长为，面积为 S的正方形的边长为，是看根指数是不是 2,二是看被开方数是不是非负数.因为，不，.:h分别表示什么意义？它们有什么共同2, ,，11 =.3-x (x< 3) , j a- 12 ,.a - b2ab > 0中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.一个物体从高处自由落下， 落到地面 所用的时间t单位：s与落下的高度h单位：13的根指数不是 2,

3、 -5, - -xx> 0x2- 5 的被开方数小于0,所以不是二次根式.方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件： 1 带二次根号“一， ；2被开方数是非负数.探究点二：二次根式有意义的条件【类型二】 利用二次根式的非负性求【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围求使以下式子有意义的x的取值范围.；返P；寸4 3xx 2x+ 5x解(1) a、b 满足 2a + 8+ |b3 |= 0,解关于 x 的方程(a+ 2)x + b2= a 1;(2)x、y都是实数，且y=-. x 3 + 3 x+ 4，求yx的平方根.解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对

4、解析：根据二次根式的性质和分式的意 值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非义，被开方数大于或等于 0且分母不等于0, 负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出yx的平方根.列不等式(组)求解.4解：(1)由题意得4 3x> 0，解得xv3.41当xv -时， =有意义；3 寸 4 3x2a+ 8 = 0,解：(1)根据题意得解得b 寸 3= 0,3 X?0,(2) 由题意得解得xw 3且x 2 丰 0,a= 4,厂 那么(a+ 2)x+ b2= a 1,即一2x+ 3 b= 3.=5,解得 x= 4；xm 2当x< 3且xm 2时，有意义;x 2x + 5?0,(3) 由

5、题意得解得x> 5且xM 0,xM 0.当x> 5且xM 0时，Qx+ 5有意义.x方法总结：含二次根式的式子有意义的x 3?0,根据题意得3 x>0,解得x= 3.那么 y = 4,故 yx = 43 = 64, ±. 64= ±3, yx的平方根为±J.方法总结：二次根式和绝对值都具有非条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式， 那么它们有意义的条件是各个二次根式中 的被开方数都必须是非负数；如果所给式 子中含有分母，那么除了保证二次根式中的被 开方数为非负数外， 还必须保证分母不为零.负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三

6、：和二次根式有关的规律探究性问题题.先观察以下等式，再答复以下问 J + * + 苏 1 +1亡=4；=1 + 1丄=11；+ 2 2+ 16；=1 + 1-丄=1 丄3 3+ 112'做二次根式.2二次根式有意义的条件被开方数式为非负数；.a有意义？ a1请你根据上面三个等式提供的信息,写出 1 + ；2 + ；2的结果;2请你按照上面各等式反映的规律，试通过将新知识与旧知识进行联系与比写出用照，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已含n的式子表示的等式n为正整数.有的知识进行探究， 由此引入二次根式. 在解析：1从三个等式中可以发现，等号教学过程中让学生感受到研究二次根式是右边第一个加

7、数都是 1，第二个加数是个分实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣.数，设分母为 n,第三个分数的分母就是 n+ 1，结果是一个带分数， 整数局部是1，分 数局部的分子也是 1,分母是前项分数的分母的积；2根据1找的规律写出表示这个 规律的式子.11,1 1 ,120'解：1 ,11.1+ n2+n+ 12 = 1 + n-=Un+1n为正整数八方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来.三、板书设计1. 二次根式的定义一般地，我们把形如aa?0的式子叫 + 42+ 52= 1 +

8、1 -石=1 三；第2课时二次根式的性质(3) '一 52= 5; (4)( 5)2= 5.1 经历二次根式的性质的发现过程， 体验归纳、猜测的思想方法；(重点)2. 了解并掌握二次根式的性质，会运 用其进行有关计算.(重点，难点)-.a2等于什么?我们不妨取a的一些值，如2, 2,3, 3,分别计算出对应的va2的值，看看有 什么规律.22= .；4= 2;' 22= ：4 = 2;32= .'9= 3; 一 32= *9 = 3;你能概括一下-a2的值吗？二、合作探究探究点一：二次根式的性质【类型一】 利用:a= |a|> (ia)2= a进行计算(1) (-

9、毎)2; (2)孑;(3) '一 52; (4)( -'5)2.解析：根据二次根式的性质进行计算即可.方法总结：利用a2= |a |进行计算与化 简，幕的运算法那么仍然适用，同时要注意二 次根式的被开方数要为非负数.【类型二】仁a)2= a(a仝0的有关应用H在实数范围内分解因式.(1)a2 13; (2)4a2 5; (3)x4 4x2 + 4.解析：由于任意一个非负数都可以写成 一个数的平方的形式，利用这个即可将以上 几个式子在实数范围内分解因式.解:(1)a2 13= a2 ( . 13)2= (a+- 13)(a.13);(2) 4a2 5= (2a)2 ( 5)2=

10、(2a+ .'5)(2a.'5);(3) x4 4x2 + 4 = (x2 2)2= (x + 2)(x .'2)2= (x+ '2)2(x ：2)2.方法总结：一些式子在有理数的范围内 无法分解因式，可是在实数范围内就可以继 续分解因式.这就需要把一个非负数表示成 平方的形式.探究点二：二次根式性质的综合应用【类型一】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简解：(1)( .'5 )2 = 5 ;52 = 5 ;实数a, b在数轴上的位置如F图，化简：'a+ 1 :c b a2.解析：根据三角形的三边关系得出b+ c> a, b+ a >

11、 c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可.解：/ a、b、c是厶ABC的三边长， b+ c> a, b+ a > c,原式=|a+ b + c| |b +c a|+ |c b a|= a+ b + c (b + c a) + (b+ 2''b12 解析：根据数轴确定a和b的取值范围,进而确定a+ 1、b 1和a b的取值范围， 再根据二次根式的性质和绝对值的意义化 简求解.解：从数轴上a, b的位置关系可知一2v av 1, 1 < bv 2,且 b>a,故 a+ 1 v 0,b 1 > 0, a bv 0.原式=|a

12、+ 1|+ 2|b 1| |ab|= (a+ 1) + 2(b 1) + (a b) = b 3.方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断 字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质.【类型二】二次根式的化简与三角形三边关系的综合D a、b、c是厶ABC的三边长，化简a + b + c2 'b+ c a2 + + a c)= a + b+ c b c+ a+ b+ a c= 3a + b c.方法总结：解答此题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后， 结合二次根式的性质进行化简.【类型三】 利用分类讨论的思想对二 次根式进行化简x为实数时，化

13、简Jx2 2x+ 1解析：根据. a2= |a|,结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答.解： ：x2 2x+ 1 + x2= ' x 12 + yx2 = |x 1| + |x|.当 xW 0 时，x 1 v 0,原式 =1 x+ ( x)= 1 2x;当 0v x< 1 时，x 1 W 0,原式=1 x+ x = 1;当 x> 1 时，x 1 > 0，原式=x 1 + x= 2x 1.方法总结：利用二次根式的性质进行化 简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子.a2= |a|,当a的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到 不重不漏.【

14、类型四】二次根式的规律探究性问细心观察，认真分析以下各式,然后解答问题.(.1)2+ 1 = 2, S七,(,'2)2 + 1 = 3, S2= 2, (何+ 1 = 4, & =爭1请用含nn是正整数的等式表示上述变化规律；推算出OAio的长；求出G+ S2 + &+ slo的值.解析：利用直角三角形的面积公式，观 察上述结论，会发现第n个三角形的一直角 边长就是.'n,另一条直角边长为1,然后利 用面积公式可得.解：(1)( .；n)2 + 1 = n + 1, Sn="(n 是正整数);(2) / OA1 =1 , OA2 = . 2 , OA3

15、 =.'3，二 OA1o= ,:10 ;(3) S2 + S2+ &+ S1o =乎 + ¥3 2 10 21+2+2= 4(1 + 2+ 3+ 10)=55=4 .D按照以下程序计算，表格内应输出的代数式是.n t立方t + n t切T _ n案解析：根据程序所给的运算，用代数式 表示即可，根据程序所给的运算可得输出的代数n3 + nn3 + n式为一n _ n.故答案为n _ n.方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：1认真审题，对语言或图形中所代 表的意思进行仔细辨析；2分清语言和图形 表述中各种数量的关系；3根据各数量间的 运算关系及运算顺序写出代数式.三

16、、板书设计1.二次根式的性质 1: ： ,'a2= aa> 0；2 .二次根式的性质 2： a2= aa > 0.3. 代数式的定义用根本运算符号根本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.方法总结：解题时通过分析找到各局部新的教学理念要求教师在课堂教学中的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想.探究点三：代数式的定义及简单应用注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中,对学生探索求知作出了引导，并且鼓励学生自由发言，但在师生互动方面做得还不够， 小组间的合作不够融洽， 今后的教学中应多 培养学生合作交流的意

17、识，这样有助于他们 今后的学习和生活.16. 2 二次根式的 第1课时二次根式的乘法乘除根据题意得i 掌握二次根式乘法法那么和积的算术X+ 1> 0 ,2- x> 0,解得1 < XW 2.应选 C.平方根的性质；重点2 会用积的算术平方根的性质对二次 根式进行化简.难点方法总结：运用二次根式的乘法法那么：'a b= aba> 0, b>0,必须注意被开方数均是非负数这一条件.一、情境导入'二次根式的乘法运算计算：1.3X .5;(1) .'4X - 25与25;(3)6 ,27X ( 3.3)；.16X .''9与.

18、9;'16X 9.思考：对于- ：2X- ；3与.2X 3呢?(4)4 .'18ab 解析：有理式的乘法运算律及乘法公式从计算的结果我们发现.2 X '3 =对二次根式同样适用，计算时注意最后结果3 24 a佥 . 36 X 3 b3 =2 X 3,这是什么道理呢?二、合作探究探究点一：二次根式的乘法【类型一】 二次根式的乘法法那么成立 的条件D 式子 X + 1. 2 x =x+ 1 2 X成立的条件是A. x< 2 B . x> 1C. 1< x< 2 D. 1 v xv 2要化为最简形式.解：(1) .3X 5 = .3X 5=15 ;X

19、64=. 1x 64= _ 16= 4;6 .27 X ( 3 3) = 18 27 X 3= 18.81 = 18X 9= 162;方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时， 必须化成假分数，如果 公式，构造等式进行计算.被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘.探究点二：积的算术平方根的性质B化简：(1) -： 36x 16X 9；(2) ；362+ 482;(3) ；x3+ 6x2y+ 9xy2解析：主要运用公式.ab=-.a b(a>0,b>0)和- a2= a(a>0)对二次根式进行化简.解：(1) _: 36x 16X 9= '

20、;36X 16 X 9 = .62x 42x 32 =62 X42X 32= 6X 4 X 3= 72;(2) .'362+ 482=，:12 X 32+ 12X 42=；'l22X 32+ 42= 122 X 52 = 12X 5 =60;(3) - ,''x3 + 6x2y+ 9xy2 = - ,'x x+ 3y2 = x+ 3y2 - x= |x+ 3y| x.方法总结：利用积的算术平方根的性质解：设圆的半径为rem.因为矩形木相框 的面积为 寸588 nX乜48 n= 168 n (enf)，所以 n2= 168n, r = 2回cm(r = 2

21、回舍去).答：这个圆的半径是 2 42em.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，表达了转化思想.三、板书设计1. 二次根式的乘法法那么：a b = . ab(a> 0, b>0)2积的算术平方根：-ab= a b(a>0, b>0)在教学安排上，表达由具体到抽象的认 识过程对于二次根式的乘法法那么的推导， 先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二 次根式的乘法运算法那么.在具体计算时，可 以通过小组合作交流，放手让学生去思考、 讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨 表达，更有助于学生合作精神的培养.可以对二次根式进行化简.探究点三：二次根式乘法的

22、综合应用日小明的爸爸做了一个长为588 ncm，宽为.48 7cm的矩形木相框，还想做一 个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保存根号).解析：根据矩形的面积公式、圆的面积第2课时 二次根式的除法个数的倒数的方法进行计算，再进行约分.1 掌握二次根式的除法法那么和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算;重点解：=错误！=错误！ = 2;一2 能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算.难点5 54=-. 18=-3 2;6a2b='2ab(勺丘十-叫代'5 X卜= 、： 3a;、情境导入-5X 5= 3-方法总结：利用二次根式的除法法那么进计算以下

23、各题，观察有什么规律?行计算时，可以用“除以一个不为零的数等(13649 一靡 二、合作探究于乘这个数的倒数【类型二】HE计算:进行约分化简.二次根式的乘除混合运算(2) a2 abb9bfa探究点一：二次根式的除法解析：先把系数进行乘除运算，再根据 n计算:1；50.79；2-1 32 8解: (1)原式=9x-x-x 45x；x； =3 2讨 5 318 3;解析：此题主要运用二次根式的除法法(2)原式=a2 彳ab £壽=【类型一】 二次根式的除法运算二次根式的乘除法那么运算.方法总结：二次根式乘除混合运算的方那么来进行计算，假设被开方数是分数，那么被法与整式乘除混合运算的方法

24、相同，在运算开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这时要注意运算符号和运算顺序，假设被开方假分数，被开方数中的分母要化去，即被开数是带分数，要先将其化为假分数.探究点二：商的算术平方根的性质【类型一】利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围 Ei假设、t，那么a的取值范围是()A. av 2 B . a< 2C. 0w av2 D. a> 0a> 0,解析：根据题意得解得Ow a2 a> 0,v 2应选C.方数不含分母，从而化为最简二次根式.探究点三：最简二次根式在以下各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由.方法总结：运用商的算术平方根的性质:b> 0)

25、，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件.【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式-口化简：l7 ；c> 0).(27 希a > 0 ,b > 0,解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方铲除以分母的算术平方根.c .2a2b3c.方法总结：被开方数中的带分数要化为解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可.解：(1/ 45= 3 5，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式;=-33，被开方数中含有分母,3因此它不是最简二次根式;(3) 25,被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；.0.5=已=

26、65; ，被开方数含有小数, 因此不是最简二次根式；(5广1半='.'9= 355,被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式.方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.探究点四：二次根式除法的综合运用座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T=2叭£g,其中T表示周期单位：秒,l表示 摆长单位：米，9=米/秒 2,假假设一台座 钟摆长为米，它每摆动一个来回发出一次滴的性质，比照、归纳得到商的算术平方根的 性质.在此过程中应给予适当的指导，可提

27、 出问题让学生有一定的探索方向.在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要 解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生开展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到开展.答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了 多少次滴答声n-?解析：由给出的公式代入数据计算即可要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数.解: T = 2n错误！错误！=错误!-42次，在1分钟内，该座钟大约发出了 42次滴答声.方法总结：解决此题的关键是正确运用公式.用二次根式的除法进行运算，解这类 问题时要注意代入数据的单位是否统三、板书设计1二次根式的除法运算2. 商的算术平

28、方根3. 最简二次根式被开方数不含分母；被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式.在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根16. 3 二次根式的 第1课时 二次根式的加减 加减2a+ b= 3a 4,解得 a= 3, b= 1, a + b1 会将二次根式化为最简二次根式，=3 + 1=掌握二次根式加减法的运算；重点方法总结：根据同类二次根式的概念求2.熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题.难点 待定字母的值时，应该根据同类二次根式的 概念建立方程或方程组求解.、情境导入【类型一】 二次根式的加减运算探究点二：二次根式的加减B先化简，再求值a2 b2a小明家

29、的客厅是长，宽 5m的长方形， 他要在客厅中截出两个面积分别为8m母亲节快到了，为了表示对妈妈 的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的 正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为 800cm2，另一张面积为 450cm2，他想如果 再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮， 他手上现有长的金色细彩带，请你帮他算一 算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带 (.；2 ，结果保存整 数)?解析：先求出每张正方形壁画的边长， 再根据正方形的周长公式求所需金色细彩 带的长.解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4X ( '800 + .'450) = 4X (20 2 + 15 .

30、'2)= 140197.96(cm).因为=120cm<,所以和18m2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否 截出？二、合作探究探究点一：被开方数相同的最简二次根式B最简二次根式-.''2a+ b与 a + 3a 4能够合并同类项，求a+ b的值.解析：利用最简二次根式的概念求出a,再合并同类二次根式.解：原式=2-：3 33 2 + 2 . '3 =2-3-1 3= 233方法总结：二次根式相加减，先把各个 二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加 减，根式不变.【类型二】 二次根式的化简求值b的值，再代入a + b求解即

31、可.2ab b2,其中 a= 2+ ,3, b= 2 3.解：最简二次根式,''2a + b与 解析：先将原式化为最简形式，再将 a3a 4能够合并同类项，a+ b = 2, 与b的值代入计算即可求出.云亠a+ b a b解：原式=aa2 2ab+ b2aa + b a ba_ a + b M/a ab2=ab. 当 a=2 + ,b = 2頂时，原式=册謡 丄-也23 3 .方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解.【类型三】 二次根式加减运算在实际 生活中的应用即还需买78cm的金色细彩带.方法总结：利用二次

32、根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确 性与结果的要求.三、板书设计1. 被开方数相同的最简二次根式2. 二次根式的加减一般地，二次根式加减时，可以先将二 次根式化简成最简二次根式，再将被开方数 相同的二次根式进行合并.在授课过程中，要以学生为主体，进行 探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论在例题的选择上可由简到难，符合学生 的认知规律，便于学生掌握知识在得到定 义、法那么的过程中，让学生经历发现、思考、 探究的过程，体会学习知识的成功与快乐.第2课时 二次根式的混合运算运算,解：(1)原式=1 x 9X ：. x 4,5x 3 =(2)原式=6 .'3- 233+

33、 4 '3 吃 3 + 32、3J2 - 1 - 3 .1.会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；重点2正确地运用二次根式加减乘除法那么 及运算律进行运算，并把结果化简.难点=283 '2 ( 3+ 2)3.解析：先把各二次根式化为最简二次根 式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法 % 21=中 1 = 5； 1原式=y2 ( 13 + 2), 3 = ：；如果梯形的上、下底边长分别为 2 .'2cm, 方法总结：二次根式的混合运算：先把4.'3cm,高为'6cm,那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：22 2 + 4 &

34、#39;3 X - .'6 = C . 2 + 2 3X - ；6= .'2 X- '6 + 2；3X ：6=.2X6 + 2 18= 2 '3+ 6 '2cm2.他的做法正确吗？二、合作探究各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算计算:(1)( 2 + . 3 . 6)( . 2 .3+ 6);(2 1)2+ 2 ,2( .3 .2)( ,3 + 2);探究点一：二次根式的混合运算【类型一】 二次根式的四那么运算.6 X ( 2 ,6). 3 12248 吃 3 +2解析：1利用平方差公式展开然后合并即可；先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行 计算即可.解：(1)原式=.2 + ( . 3 .6) .2 (3 6) = C 2)2 ( .3 ,6)2= 2 (9 2 .18)= 2 9+ 6 2 = 7 + 6 2；(2) 原式=2-22+ 1 + 2 ;2X (3 2)=2-2 2 + 1 + 2 ：2 = 3;(3) 原式= 晶誓-26 X (-26)=【类型二】 二次根式运算的拓展应用请阅读