最新版高考数学大一轮复习-第九章第5节-第1课时-椭圆及其标准方程教案-文-新人教A版

1、第1课时 椭圆及其标准方程最新考纲 1. 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质知识梳理在平面内与两定点 Fl，F2的距离的和等于常数(大于I F1F2I)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫 做椭圆的焦点丄两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合 P= M| MF + I MF| = 2a, IF1F2I = 2c,其中 a0, c0,且 a, c 为常数：(1)假设a c，那么集合P为椭圆； 假设 吐，那么集合P为线段；假设av c,那么集合P为空集.2b2T，称为通径标准方程2 2x y-2+72 = 1(

2、 ab0)a b2 2y x-2+7-2= 1( ab0)a b图形yjA屉性质范围a x a b yw bb xw b aw y(b, 0)轴长轴AA的长为逼；短轴BEb的长为2b焦距| F1F2I = 2c离心率ce=； (0 , 1)aa, b, c的关系22. 2c = a b常用结论与微点提醒e=戸.a a. a3.应用“点差法时，要检验直线与圆锥曲线是否相交诊断自测1.思考辨析(在括号内打“V或“x)(1)平面内与两个定点 Fi, F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.() 椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.() 方程 mX+ ny2 = 1( m0, n0, nr5 n)表示的曲

3、线是椭圆.()2 2 2 2x yy x(4)r+ 2= 1( ab0)与 2+亡=1(ab0)的焦距相同.()aba b解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于| F1F2I时，其轨迹才是椭圆，而常数等于| F1F2I时, 其轨迹为线段F1F2，常数小于| F1F2I时，不存在这样的图形.r , c因为e=a=1 a 2,所以e越大，那么b越小，椭圆就越扁. aa答案 (1) x (2) x (3) V V2 22.(2022 浙江卷)椭圆x + y = 1的离心率是()94232C.35D.9解析由,a= 3, b= 2,贝V c= t9 4 =寸5,所以答案 B3.(20222 2x y张

4、家口调研)椭圆7= 1的焦点坐标为16 25A.( 3,0)B.(0 , 3)C.( 9,0)D.(0 , 9)解析 根据椭圆方程可得焦点在 y轴上，且c2= a2b2= 25 16= 9, c= 3,故焦点坐标为(0 , 3)，应选 B.答案 B1C的右焦点为F(1 , 0)，离心率等于2，那么椭圆c的方程是()2 2x yA. + : = 12 2x y辽 + 2 =122x yB订 + 3= 12 2x y+ 二=11 2 2解析 由题意知c= 1, e=-=-，所以a= 2, b2= a2 c2C的方程为X +秒=1. a 243答案 D2 2x V5.选修1 1P42A6改编点P是椭

5、圆-= 1上V轴右侧的一点，且以点P及焦点F-,54F2为顶点的三角形的面积等于1,那么点P的坐标为.解析 设Rx, v，由题意知c2 = a b = 5 4 = 1,所以c= 1,那么F 1, 0 , F21 , 0，由题意可得点 P到x轴的距离为1,所以y = 1,把y=l代入扌+ 4= 1,得x=，又x0,所以x = 215,- P点坐标为 習5 1或亞12 ,答案于，1或-5, 1考点突破 时2卩氏小和甲分瓷才忙|：;！法考点一椭圆的定义及其应用【例1】1选修1 1P42A7改编如图，圆O的半径为定长r, A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段 AP的垂直平分线I和半径OP相交于点

6、Q,当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是A.椭圆C.抛物线2x 2 椭圆齐+ y = 1上一点P到一个焦点的距离为 2,那么点P到另一个焦点的距离为25A.5B.6C.7解析1连接QA由得| QA = | QP所以 | QO +1 QA = | QO +1 QP = I OP = r.又因为点A在圆内，所以|OAV |OP，根据椭圆的定义，点 Q的轨迹是以 Q A为焦点，r为长轴长的椭圆. 由椭圆定义知点 P到另一个焦点的距离是10 2 = 8.答案1A2D规律方法 1.椭圆定义的应用主要有：判定平面内动点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方程和离心率等2a | FiF2|.9 【训练 1 】(1)设

7、定点 Fi(0，- 3), F2(0, 3)，动点 P满足条件 |PF| + |PF| = a+：(a0), a那么点P的轨迹是()A.椭圆C.不存在 与圆C： (x + 3) 2解析 (1)设椭圆方程为 mx+ ny = 1( m n0, m n).+ y2 = 1外切，且与圆 C： (x 3)2+ y2= 81内切的动圆圆心 P的轨迹方程为.9/9解析 t a+ a?2/a 6,9当且仅当a=-,即a= 3时取等号，a当 a= 3 时，|PF| +1 PF = 6 = | 菲| ,点P的轨迹是线段 F1F2;当 a0,且 a3 时，| PF| + | PF|6 = | 布| ,点P的轨迹是

8、椭圆.(2)设动圆的半径为r,圆心为Rx, y)，那么有|PG| = r + 1, |PG| = 9 r.所以 | PG| + | PG| = 10 | CC ,即P在以C( 3, 0) , C2(3 , 0)为焦点，长轴长为 10的椭圆上，2 2 得点P的轨迹方程为X- +秒=1.25162 2“宀x y答案(1)d(2) 25+16= 1考点二椭圆的标准方程3 5【例2】(1)椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 一2 2 , 0.3, 5),那么椭圆的标准方程为.2 2rTH-1-n25 - 2(2)( 一题多解)过点(.3 , .5)，且与椭圆25 +育=1有相同焦点的椭圆标

9、准方程为3m 5n= 1,1 1 解得 m= 6，n=.2 2 椭圆的标准方程为 卷+ x=1.10 62 2V x(2)法一 椭圆 25+ 9 = 1 的焦点为(04) , (0 , 4)，即 c = 4.由椭圆的定义知，2a=厂3-09尹话=1. 又由c= 1,得1十b2= a2.由联立，得b = 3, a = 4. 2 故所求椭圆C的方程为x十y = 1. 3十-5十 42+厂3-02十-5-42,解得a= 2 5.由 c2 = a2 b2 可得 b2= 4.2 2V X所以所求椭圆的标准方程为法二设所求椭圆方程为VI曲 2 = 125 k 十 9 k ，2 2“宀 V x 答案話十6

10、= 1十=120十42 2Vx25十9Tk = 1(k 0, n 0, m存n)，求出rq n的值即可.【训练2】(1)R( 1, 0) , F2(1 , 0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A, B两点，且|AB = 3,贝U C的方程为(2)( 一题多解)假设椭圆经过两点(2 , 0)和(0 , 1),那么椭圆的标准方程为解析(1)依题意，设椭圆C:2x2十a2y2= 1(ab0).过点F2(1 , 0)且垂直于x轴的直线被曲线 C截得弦长IAB = 3,3点A 1, 必在椭圆上，椭圆经过两点(2 , 0) , (0 , 1),40尹 b= 1，0 1孑 + b= 1,解

11、得a= 2,b= 1.2 2右+ 討 1 ( ab0).(2)法一当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为2x 2所求椭圆的标准方程为-+ y2= 1；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为(ab0).椭圆经过两点(2 , 0) , (0 , 1),1 0孑 + b= 建议用时：40分钟、选择题,解得a= 1,b= 2,与ab矛盾，故舍去.综上可知，所求椭圆的标准方程为n).22法二 设椭圆方程为 mx+ ny = 1 ( m0, n0,椭圆过(2 ,0)和(0 , 1)两点,4m= 1,n= 1,综上可知，所求椭圆的标准方程为2X 2“4+y= 1.2 2 2“宀 x yx 2答案匚+

12、 3= 14+y2= 1考点三焦点三角形冋题2 2【例3】(1)椭圆x+y=1的两个焦点是Fi, F2，点P在该椭圆上，假设| PF| - | PFF=2，那么 PFF2的面积是(A. 2B.22x F1, F2是椭圆C： r + a2皆1(a b0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点，且/ FiPF=60, SA PFF2= 3边，贝U b=解析 (1)由椭圆的方程可知 a= 2, c = 2,且 | PF| + |PF| = 2a= 4,又 |PF|-|PF| = 2, 所以 |PF| = 3, | PR| = 1.又 I F1F2I = 2c= 2 迄，所以有 | PF|2=| PR|2+

13、| FF2|2，即 PFF2 为 直角三角形，且/ PFF为直角,1 1所以 Spf1f2= 2IF1F2II PF2| = 2X22X 1= 2 由题意得 |PF| + |PF| = 2a,又/ FiPF2= 60,所以 |PF|2+ |PF|2 2|PF| PF|cos 60 = | FiF2| 2,22所以(| PF| + |PF2|) 3|PF| PF = 4C,所以 3| PF| PF| = 4a2 4c2 = 4b2,4 2所以 |PF| PF| = 3b2,1i 4訂3所以 &pfif2 =弓 PF| PF?|sin 60= 3 3，所以 b= 3.答案(1)A(2)3P与两焦点

14、Fi, F2构成的三角形称为焦点三角形，解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理等知识2a+ 2c.22【训练3】 椭圆49+ 24 = 1上一点P与椭圆两焦点Fi, F2的连线夹角为直角，那么| PF|PF| =.解析依题意 a= 7, b= 2 6, C= 49 24= 5,| Fi Fa| = 2c= 10,由于 PF丄 PR,所以由勾股定理得| PF| 2+ | PF| 2= | Fi F2|2,即| PF|2+ | PF|2= 100.又由椭圆定义知|PF| + |PB|= 2a = 14,2 (| PF| + | PF|) 2| PF|PF| = 100,即 196

15、2| PF|PF| = 100.解得 |PF| PF = 48.答案 48根底稳固题组2 2X+岂=1的焦距为2，贝U m的值等于m 4A.5B.3C.5 或 3解析由题意知椭圆焦距为2，即c=1，又满足关系式a2b2= c2= 1，故当a2 =4时，m=b2 = 3；当 b2= 4时，m= a2= 5.答案 CFi, F2为定点，IF1F2I = 6，动点M满足| MFI + | MFI = 6,那么动点 M的轨迹是A.椭圆C.圆解析 |MF| + |MF| = 6=|RF2| ,动点 M的轨迹是线段.答案 D2 2F1, F2是椭圆 気+ 9 = 1的焦点，P为椭圆上一点，那么 PFF2的

16、周长为A.16B.18C.20解析 PFR 的周长为 |PF| + |PFa| + | F1F2I = 2a+ 2c.因为 2a= 10, c = 25 9 = 4,所以 周长为10+ 8 = 18.答案2 24“20, 那么有 6 m0,2m6 且 m 4.m- 2 工 6 m,2 2故“2n|AB = 6 ,动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是 A 3 , 0) , B(3 , 0),且2a = 8, a= 4 , c = 3 , b2 = a2 c2= 16 9= 7.2 2所求动圆圆心 M的轨迹方程是 話+与=1.10.椭圆的中心在原点，两焦点Fi, F2在x轴上，且过点A 4, 3).假

17、设 FiA丄F2A,求椭圆的标准方程.解设所求椭圆的标准方程为+ b2= 1(ab0).设焦点 Fi( c, 0) , F2(c, 0)( c0).FiA 丄 FA： FiA- F2A= 0,而FiA= ( 4 + c, 3) , F2A= ( 4 c, 3),22 - ( 4 + c) ( 4 c) + 3 = 0, C = 25,即卩 C= 5. Fi( 5, 0) , F2(5 , 0). 2a=|AF| +1 AR|=.4+ 52+ 32+ . 4 52+ 32=.iO +90= 4 iO. a= 2 i0 , b2= a2 c2= (2 i0)2 52= i5.2 2所求椭圆的标准方

18、程为 去+豊=i.40 i5能力提升题组(建议用时：20分钟)2 2 一Fi , F2分别是椭圆 E： *+缶=i(ab0)的左、右焦点，点 i, # 在椭圆上，且点(一i , 0) 到直线PF2的距离为 1其中点P( i, 4),那么椭圆的标准方程为()5222 yx 2A.x + = iB + y = i44222 yx 2C.x + 2 = id.? + y = i44解析 设F2的坐标为(c, 0)( c0),那么kPF= C-,故直线PR的方程为y = C-(x c),即C+ IC+ I44CC+7xy的=0,点一1, 0到直线PF2的距离d=44Cc +1 c+ 144,5解得c= 1或c= 3舍去,所以2 2a b = 1.又点1在椭圆E上，所以二1，由可得2a = 2,2所以椭圆的标准方程为b = 1,答案 D2 2X + 2 = 1的焦点为F1, F2,点P在椭圆上,假设| PF| = 4，那么/ FiPF2的大小为解析 由题意得 a= 3, c=#7.因为 | PF| = 4, |PF| + |PB| = 2a= 6,所以 | PR/ F1PF =一 2_2_222厂L、2|PF