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文档简介

1、 度 量 空 间摘要:度量空间是一类特殊的拓扑空间,并且它是理解拓扑空间的一个重要过程. 因此,本文通过度量空间的基本概念,力图给出度量空间的一些重要性质. 并且引入一些度量空间的其它性质.关键词: 度量空间 导集 闭集 正文:度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶,德国数学家G.康托尔创立了集合论,为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.1.度量空间的定义度量空间是一类特殊的拓扑空间,它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因

2、此,研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质,首先介绍以下定义.定义1.1 设是一个集合,若对于中任意两个元素都有唯一确定的实数与之对应,而且这一对应关系满足下列条件:(1)正定性 ,并且当且仅当;(2)对称性 ;(3)三角不等式 .则称是集合的一个度量,同时将称为度量空间或距离空间. 中的元素称为点,条件(3)称为三点不等式.定义1.2 设是一个度量空间,.对于任意给定的实数,集合,记作,称为一个以为中心,以为半径的球形邻域,简称为的一个球形邻域.2 度量空间的一些例子例2.1 离散的度量空间 设是任意的非空集合,对中的任意两点,令 容易验证满足关于距离的定义中的条件.我们称为离散的

3、度量空间.由此可见,在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.例2.2 序列空间S令S表示实数列(或复数列)的全体,对S中任意两点及,令,易知满足距离条件的充要条件为. (2.1)下验证满足距离条件对任意都成立. (2.2)为此我们首先证明对任意两个复数和,成立不等式事实上,考察上的函数由于在上,.所以在上单调增加,由不等式,我们得到.令,则,代入上面不等式,得.由此立即可知满足距离条件(2.2),即S按或一度量空间.例2.3 有界函数空间设是一给定的集合,令表示上的有界实值(或复值)函数全体,对中任意两点,定义.下面验证满足条件(2.1)和(2.2).显然是非负的.又等价于对一切,成

4、立,所以,即满足(2.1),此外,对所有的成立 .所以.即满足条件(2.2).特别地,当时,记为.例2.4 可测函数空间设为上的实值(或复值)的可测函数全体,m为 测度,若 ,对任意两个可测函数 及,由于 所以这是上的可积函数,令 如果把中的两个几乎处处相等的函数视为中的同一个元,那么利用不等式 及积分性质很容易验证是距离.因此按上述距离成为度量间.例2.5 空间令表示闭区间上的实值(或复值)连续函数全体,对中任意两点定义容易验证它满足距离条件(2.1)和(2.2). 例2.6 记.设定义.则是的距离。距离条件(2.1)是容易得出的,现检验条件(2.2) . 对任何正整数n,和 都中的元素,由

5、不等式 再令右端 ,即得再令左端的,即得由此可得 令取以 代入上式,即可得的三点不等式 由上述例子可见,度量空间除了有限维的欧几里德空间 之外,还包括其他的空间.3 度量空间的一些简单性质定理3.1 设是一个度量空间,则拓扑空间是一个离散空间当且仅当p是一个离散的度量.证 充分性 若是一个离散的度量,则对于任意的,存在实数,使得对于任意的, ,有.于是的球形邻域,所以,为开集.由的任意性以及开集的性质,故为离散空间.必要性 若为离散空间,则对于任意的,单点集为开集,于是存在的球形邻域 ,令,则对于任意的并且,有.所以, 为离散的度量.定理3.2 度量空间的每一个子集的导集都是闭集.证 设为一个

6、度量空间,是的任意一个子集.欲证的导集为闭集,只需证.如果,显然.如果,由于,所以对于任意,有或.若,则对于的任意一个球形邻域,有.于是,对于任意的,则,取则,并且又由于,所以,因此.综上,对于任意,有.所以,.定理3.3 度量空间中的每一个单点集都是闭集.证 为一个度量空间,,对于任意,令,于是,并且,所以,于是=,因此,单点集为闭集.由的任意性,度量空间中的每一个单点集都是闭集.定理3.4 是一个度量空间,如果有一个基只含有有限个元素,则必为只含有有限多个点的离散空间.证 假设是无限集.由于是一个度量空间,由定理3.1可知,中的每一个单点集都是闭集,于是,对于任意,集合-都是开集.因此,拓

7、扑空间中有无穷多个不同的开集.又由已知有一个基只含有有限个元素,它们中的任意多个元素之并只能组成有限个开集,所以中的开集只有有限个,这与上述矛盾!因此假设错误,只能是有限集.最后,由于含有有限多个点的度量空间都是离散的度量空间,故由定理1可知,是一个离散空间.定理3.5 度量空间中的任何一个收敛序列都只有惟一的极限.证 设是一个度量空间,是中的一个收敛序列.假若序列至少有两个极限和.由于,则.设=,于是对于的球形邻域,存在,使得当 时,有;对于的球形邻域,存在,使得当时,有.则一方面. (3.1)另一方面,令,于是当时,有,这与(3.1)式矛盾!所以假设错误.因此,度量空间只有一个极限.定理3

8、.6 设是一个度量空间,,有一个序列在中并且收敛于当且当是集合的一个凝聚点.证 必要性 设序列在中并且敛于.如果是的一个邻域,则存在 使,因此,从而.所以是的一个凝聚点.充分性 如果是的一个凝聚点,则对于任意一个球形邻域有,于是对于任给的正实数有,其中.并且.所以对于每一个,任取,则序列 中并且收敛于.4 度量空间的紧致性和完备性4.1 度量空间的紧致性定义4.1.1 设是度量空间中的一个非空子集.集合的直径定义为=定义4.1.2 设是一个度量空间,A是的一个开覆盖.实数成为开覆盖A的一个数,如果对于中的任何一个子集,只要,则包含于开覆盖A的某一个元素之中.数不一定存在。例如考虑实数空间的开覆

9、盖 则任何一个实数都不是它的数.定理4.1.1(数定理) 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个数. 证 设是一个序列紧致的度量空间,A是的一个开覆盖.假若开覆盖A没有数,则对于任何,实数不是A的数,所以有一个子集使得并且不包含于A的任何元素之中.在每一个之中任意选取一个点,由于是一个序列紧致空间,所以序列有一个收敛的子序列设这个子序列收敛于.由于A是的一个开覆盖,故存在A使得,并且存在实数使得球形邻域.由于序列收敛于,所以存在整数使得当时.令k为任意一个整数,使得,则对于任何有 这证明 A与的选取矛盾. 定理4.1.2 每一个序列紧致列紧致的度量空间都是紧致空间.证 设是一个序列紧致的度量空

10、间,A是的一个开覆盖.根据数定理,的开覆盖A有一个数,设为. 令B=,它是的开覆盖,我们先来证明B有一个有限覆盖假设B没有有限覆盖,任意选取一点,对于,假定点,,已经取定,由于不是的覆盖,选取使得,按照归纳原则,序列,已经取定,易见对于任意,,有,序列,,没有任何收敛的子序列,(因为任何的球形邻域中最多只能包含这个序列中的一个点.)这与是序列紧致空间相矛盾. 现在设是开覆盖B的一个有限子覆盖.由于其中每一个元素的直径都小于,所以对于每一个=1,2,n 存在A似的 .于是, 是A的一个子覆盖. 定理4.1.3 设是一个度量空间,则下列条件等价(1) 是一个紧致空间;(2) 是一个列紧空间;(3)

11、 是一个序列紧致空间;(4) 是一个可数紧致空间.4.2 度量空间的完备性定理4.2.1 设是一个度量空间.则是紧致的当且仅当是一个完全有界的完备度量空间.证 设度量空间是紧致的.任意给定实数,由球形邻域构成的集族是的开覆盖,它有一个有限子覆盖,设为.易见有限集合是的一个网.这证明是完全有界的. 为证明是完备的,设序列是中的一个序列.由于紧致的度量空间是序列紧致的,所以序列有一个收敛的子序列,设这个子序列收敛于这时序列也必收敛于.这证明中的每一个序列都收敛. 另一方面,设是一个完全有界的完备度量空间.为证明是紧致的.只需证明它是序列紧致的.由于是一个完备度量空间,这又只要证明中的每一个序列有一个子序列是序列.设是中的一个序列.我们按归纳方式对于每一个定义一个序列如下:首先,令.其次对于,假定已经定义.设是的一个网,因此球形邻域构成的集族 覆盖.由于可以再从某一个(其中)中选取的一个子序列. 根据定义立即可见,对与每一个序列是序列的一个子序列,并且对于任何有.于是序列的子序列串的“对角线”序列是序列的一个子序列,由于对于任意,有,所以是一个序列.定理4.2.2(Baire) 设是一个完备的度量空间.如果是中的可数个稠密的开集,则是中的一个稠密子集.证 设是中的可数个稠密的开集.为证明是中的一个

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