浅谈度量空间

1、 度 量 空 间摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过程. 因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质. 并且引入一些度量空间的其它性质.关键词: 度量空间 导集 闭集 正文：度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.1.度量空间的定义度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因

2、此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义.定义1.1 设是一个集合，若对于中任意两个元素都有唯一确定的实数与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：(1)正定性 ,并且当且仅当；(2)对称性 ；(3)三角不等式 .则称是集合的一个度量，同时将称为度量空间或距离空间. 中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式.定义1.2 设是一个度量空间，.对于任意给定的实数,集合，记作,称为一个以为中心，以为半径的球形邻域，简称为的一个球形邻域.2 度量空间的一些例子例2.1 离散的度量空间 设是任意的非空集合，对中的任意两点，令 容易验证满足关于距离的定义中的条件.我们称为离散的

3、度量空间.由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.例2.2 序列空间S令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中任意两点及，令，易知满足距离条件的充要条件为. (2.1)下验证满足距离条件对任意都成立. (2.2)为此我们首先证明对任意两个复数和，成立不等式事实上，考察上的函数由于在上，.所以在上单调增加，由不等式，我们得到.令，则，代入上面不等式，得.由此立即可知满足距离条件(2.2)，即S按或一度量空间.例2.3 有界函数空间设是一给定的集合，令表示上的有界实值（或复值）函数全体，对中任意两点，定义.下面验证满足条件(2.1)和(2.2).显然是非负的.又等价于对一切，成

4、立，所以，即满足(2.1)，此外，对所有的成立 .所以.即满足条件(2.2).特别地，当时，记为.例2.4 可测函数空间设为上的实值（或复值）的可测函数全体,m为 测度，若 ，对任意两个可测函数 及，由于 所以这是上的可积函数，令 如果把中的两个几乎处处相等的函数视为中的同一个元，那么利用不等式 及积分性质很容易验证是距离.因此按上述距离成为度量间.例2.5 空间令表示闭区间上的实值（或复值）连续函数全体，对中任意两点定义容易验证它满足距离条件(2.1)和(2.2). 例2.6 记.设定义.则是的距离。距离条件(2.1)是容易得出的，现检验条件(2.2) . 对任何正整数n，和 都中的元素，由

5、不等式 再令右端 ，即得再令左端的，即得由此可得 令取以 代入上式，即可得的三点不等式 由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里德空间 之外，还包括其他的空间.3 度量空间的一些简单性质定理3.1 设是一个度量空间，则拓扑空间是一个离散空间当且仅当p是一个离散的度量.证 充分性 若是一个离散的度量，则对于任意的，存在实数，使得对于任意的, ,有.于是的球形邻域,所以，为开集.由的任意性以及开集的性质，故为离散空间.必要性 若为离散空间，则对于任意的,单点集为开集，于是存在的球形邻域 ,令，则对于任意的并且,有.所以, 为离散的度量.定理3.2 度量空间的每一个子集的导集都是闭集.证 设为一个

6、度量空间，是的任意一个子集.欲证的导集为闭集，只需证.如果,显然.如果,由于,所以对于任意,有或.若，则对于的任意一个球形邻域,有.于是，对于任意的,则，取则,并且又由于,所以，因此.综上，对于任意,有.所以，.定理3.3 度量空间中的每一个单点集都是闭集.证 为一个度量空间，,对于任意,令，于是,并且,所以,于是=,因此，单点集为闭集.由的任意性，度量空间中的每一个单点集都是闭集.定理3.4 是一个度量空间，如果有一个基只含有有限个元素，则必为只含有有限多个点的离散空间.证 假设是无限集.由于是一个度量空间，由定理3.1可知，中的每一个单点集都是闭集，于是，对于任意，集合-都是开集.因此，拓

7、扑空间中有无穷多个不同的开集.又由已知有一个基只含有有限个元素，它们中的任意多个元素之并只能组成有限个开集，所以中的开集只有有限个，这与上述矛盾！因此假设错误，只能是有限集.最后，由于含有有限多个点的度量空间都是离散的度量空间，故由定理1可知，是一个离散空间.定理3.5 度量空间中的任何一个收敛序列都只有惟一的极限.证 设是一个度量空间，是中的一个收敛序列.假若序列至少有两个极限和.由于,则.设=,于是对于的球形邻域,存在,使得当 时，有;对于的球形邻域,存在,使得当时，有.则一方面. （3.1）另一方面，令,于是当时，有，这与（3.1）式矛盾！所以假设错误.因此，度量空间只有一个极限.定理3

8、.6 设是一个度量空间，,有一个序列在中并且收敛于当且当是集合的一个凝聚点.证 必要性 设序列在中并且敛于.如果是的一个邻域，则存在 使,因此,从而.所以是的一个凝聚点.充分性 如果是的一个凝聚点，则对于任意一个球形邻域有,于是对于任给的正实数有,其中.并且.所以对于每一个,任取,则序列 中并且收敛于.4 度量空间的紧致性和完备性4.1 度量空间的紧致性定义4.1.1 设是度量空间中的一个非空子集.集合的直径定义为=定义4.1.2 设是一个度量空间，A是的一个开覆盖.实数成为开覆盖A的一个数，如果对于中的任何一个子集，只要，则包含于开覆盖A的某一个元素之中.数不一定存在。例如考虑实数空间的开覆

9、盖 则任何一个实数都不是它的数.定理4.1.1(数定理) 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个数. 证 设是一个序列紧致的度量空间，A是的一个开覆盖.假若开覆盖A没有数，则对于任何，实数不是A的数，所以有一个子集使得并且不包含于A的任何元素之中.在每一个之中任意选取一个点，由于是一个序列紧致空间，所以序列有一个收敛的子序列设这个子序列收敛于.由于A是的一个开覆盖，故存在A使得，并且存在实数使得球形邻域.由于序列收敛于，所以存在整数使得当时.令k为任意一个整数，使得,则对于任何有 这证明 A与的选取矛盾. 定理4.1.2 每一个序列紧致列紧致的度量空间都是紧致空间.证 设是一个序列紧致的度量空

10、间,A是的一个开覆盖.根据数定理，的开覆盖A有一个数，设为. 令B=，它是的开覆盖，我们先来证明B有一个有限覆盖假设B没有有限覆盖，任意选取一点，对于,假定点,，已经取定，由于不是的覆盖，选取使得，按照归纳原则，序列，已经取定，易见对于任意,，有，序列,，没有任何收敛的子序列，（因为任何的球形邻域中最多只能包含这个序列中的一个点.）这与是序列紧致空间相矛盾. 现在设是开覆盖B的一个有限子覆盖.由于其中每一个元素的直径都小于，所以对于每一个=1，2,n 存在A似的 .于是， 是A的一个子覆盖. 定理4.1.3 设是一个度量空间，则下列条件等价（1） 是一个紧致空间；（2） 是一个列紧空间；（3）

11、 是一个序列紧致空间；（4） 是一个可数紧致空间.4.2 度量空间的完备性定理4.2.1 设是一个度量空间.则是紧致的当且仅当是一个完全有界的完备度量空间.证 设度量空间是紧致的.任意给定实数，由球形邻域构成的集族是的开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为.易见有限集合是的一个网.这证明是完全有界的. 为证明是完备的，设序列是中的一个序列.由于紧致的度量空间是序列紧致的，所以序列有一个收敛的子序列，设这个子序列收敛于这时序列也必收敛于.这证明中的每一个序列都收敛. 另一方面，设是一个完全有界的完备度量空间.为证明是紧致的.只需证明它是序列紧致的.由于是一个完备度量空间，这又只要证明中的每一个序列有一个子序列是序列.设是中的一个序列.我们按归纳方式对于每一个定义一个序列如下：首先，令.其次对于，假定已经定义.设是的一个网，因此球形邻域构成的集族 覆盖.由于可以再从某一个（其中）中选取的一个子序列. 根据定义立即可见，对与每一个序列是序列的一个子序列，并且对于任何有.于是序列的子序列串的“对角线”序列是序列的一个子序列，由于对于任意，有，所以是一个序列.定理4.2.2（Baire） 设是一个完备的度量空间.如果是中的可数个稠密的开集,则是中的一个稠密子集.证 设是中的可数个稠密的开集.为证明是中的一个