概率公理化定义的直观背景

1、1.2 概率公理化定义的直观背景 这里之所以改变认识事物的常规进程，目的在于强调感性认识与理性认识之不同，理性认识源于感性认识却高于感性认识。1 等可能概型如果随机试验E具有性质：(1) 只有有限个基本事件(又称为样本点)：；(2) 每个基本事件等可能发生，则称随机试验是等可能概型的随机试验。于是合情地定义。鉴于由概率公理化定义可推出这个定义，从而可见，公理化定义是古典定义的理性升华。求解等可能概型问题的若干要点计数四原理l （1）乘法原理 若某项工程依赖个步骤完成，而每个步骤分别有个完成方案，则完成该项工程的方案总数是。例2.1 个不同质点放入个不同盒子中，假定盒子的容量不限，求不同的放置方

2、式的总数。解每个质点有个放入选择，从而依乘法原理，个质点放入完毕，共有个不同的放置方式。例2.2 用数字能组成多少个不同的12位数字？解注意到每个数字可重复使用(最多为12次)，于是12位数字的每一位均有9个选择。从而依乘法原理，共可组成个不同的12位数字。l （2）加法原理如果某项工程由家共同完成，而每家分别有个完成方案，则完成该项工程的方案总数。例2.3 在4女5男中选取3人，求其中至少有一男一女的不同的选取方法的总数。解在选中的3人中至少有1男1女，有且仅有两种情况：1女2男和2女1男，依乘法原理，各自不同的选取方法总数分别为和，从而依加法原理，不同的选取方法总数为。l （3）一般加法原

3、理*(容斥原理)设(=1,2,)表示关于有限集的元素的个性质,表示由性质确定的元素所成之集,表示集所含元素的个数，则中至少有一个性质的元素之总数当=2时，容斥原理成为。加法原理与容斥原理的区别是，前者的不同情况间互不相容，而后者不排除有相容的情况。例2.4* 某集体有人若干，其中有6人当过工人，4人当过农民，5人当过教师；又有2人既当过工人又当过农民，有1人既当过工人又当过教师，有3人既当过农民又当过教师；特别地，还有1人，工人、农民、教师全当过，则该集体中从事过前述三种工作的人共有多少?解令 (=1,2,3)分别表示当过工人、农民、教师，相应地分别表示当过工人的集，当过农民的集，当过教师的集

4、，则依容斥原理，从事三种工作的人的总数 （6+4+5）-（2+1+3）+1 10（人）。l (4)1-1对应原理将计数对象与其它元素建立1-1对应关系是计数方法的本质。例2.5 将个不可辨质点放入个可辨的盒子中，假定盒子的容量不限，求不同的放置方式的总数。解法注意到，每个放置方式仅依赖每个盒子中放入的质点数，而不依赖放入的是哪些质点。因此可将两个盒子之间了解为仅有一个盒子壁，因而个可辨盒子共有个不同的盒子壁。于是不同的放置方式可1-1对应地表成如下形状： |* *| |*|上述图示表示第一个盒子放入2个质点，第二个盒子空，最后一个盒子放入1个质点。如果我们将每个质点也视为盒子壁,并去掉两端盒子

5、壁,则每一放置方式又1-1对应于在上述个合壁中,任意选取个盒子壁(充当质点)的一个选取方法.例如某端盒子壁未被选中，则表示该端第一个盒子空。所以不同的放置方式的总数为。解法2每个放入法1-1对应于的展开式中的一个构成方式。这是因为可将上式中的个括号解说为个盒子，而展开式中的每一项均是在每个括号中选且仅选1项的连乘积。又每个括号中被选中项的方幂数可解说为该盒子中放入的质点数，从而展开式中的系数即不同的放置方式的总数。于是当时，如果约定：,，则 = = =.在上式中,当且仅当,时, =为的系数，故所求不同的放置方式总数为。例2.6 设从1,2,10中随机取出一个时，每个数字都以被取中，取后还原。先

6、后取出7个数字，求=7个数字之和等于20的概率。解样本空间所含样本点总数为，又事件所含样本点1-1地对应于的展开式中的一个构成方式，从而事件所含样本点数为展开式中的系数，亦即的展开式中的系数,由 = =,从而构成的系数有两种情况:,或,因此的系数为 =27132-588 =26544,于是 。求解等可能概型问题的基本技巧l 依托事件间的运算关系例. 某城市有编号1-的汽车，某交通岗抄录它所遇到的辆汽车的号码，假设每辆车等可能被遇到，求抄录的号码中最大为的概率。解法注意到，同一辆汽车可能多次遇，所以样本点总数为。设 =抄录的号码中最大为,=抄录到次最大号码为,则.注意到时,因 ,所以=解法设 =

7、抄录的号码中最大为, =抄录的号码中最大不超过, =抄录的号码中最大不超过,则 ,.易见 ,。注意到,依有限可加性, = =。解法设=第次抄录到号码，前次抄录到不超过号码，后次抄录到不超过号码，即=首次抄录到最大号码为第次抄录，则 ,从而所含样本点数为 ,所以 .注 本问题可换言表述为如下抽球问题:设个袋子中每个都装有编号的球,今从每个袋中随机各取一球,求是其中最大编号的概率.l 视完备划分为重新选择的基本事件组(1) 样本空间的完备划分与准完备划分设是试验E的样本空间，是的一个有限事件组，如果；，；,则称有限事件组为的一个完备划分。 如果将上述条款改为，则称有限事件组为的一个准完备划分。 完

8、备划分与准完备划分的区别在于，后者或许不能覆盖。换言之，要想覆盖，可能尚缺零概率事件。（2）依托完备划分可将任何事件A作互不相容分解，即A，其中时，。 完备划分具有基本事件（样本点）的性质： 对于每次试验有且仅有一个发生； 任何两个不同的互不相容。l 具有等可能条件的完备划分可视为重新选择的基本条件上述理念常用来简化概率的计算。例.8 袋子中有不同的m个白球和n个不同的黑球。从中等可能取出k+1(k+1m+n)个球，取后不放回，求最后取出的是白球的概率。解法1 随机试验有顺序要求（“最后”一词示之），因此k+1个球的一个排列对应一个样本点，从而样本点总数为.令A表示事件“有序不放回取出k+1个

9、球，最后取得白球”。由于最后一个是白球有m 个选择，其中前k个球有个选择，从而事件A含个样本点，于是所求概率 事后我们惊奇地发现，与k无关！但是如果我们换一种思维方式，则事先就可预知这一点。解法2 设想将m个白球与n个黑球从1至m+n编了号，白球在前，黑球在后。对于每一种取法，我们只观察最后取得的球，记最后取得第i号白球，；于是成为的一个完备划分。特别注意到，它们互不相容且是等可能的，即对任何i，=因此，可视为重新选择的样本点，于是的新样本点“总数为m+n，而事件A含m个新样本点”，从而注 该解法的本质是更换基本事件组。相应的问题还可等价改叙为：袋中有m个不同的白球，n个不同的黑球，从中等可能

10、取出k个球，不观察取出的球，然后再取一球，求最后取得白球的概率”。稍后可以见到，全概率公式，贝叶斯公式对准完备划分也是成立的。2 几何概型 我们介绍几何概型的目的除去为了加深对概率的公理化定义的理解之外，还在于指出它有助于对概率问题进行形象思维。 为了统一起见，把长度、面积、体积以及维空间类似物或有限点集中点的个数统称为点集的测度，并记作，并且将相应点集称为可测集。 设是维空间的可测集,有非零有限测度。如果随机试验为向随机投掷点，且点在中均匀分布(它的含义是点必落在上，而落在可测集的可能性大小与的测度成正比，而与的形状与位置无关),则称为几何概型的随机试验就是后来的均匀分布。 依上述定义，合情定义事件的概率 .现在可以看到，概率的公理化定义蕴涵这个意义。例2.9 (约会问题)二人约定从0到时内在某地会面。先到者等候时后离去，求二人能见面的概率。解这里默认二人独立均匀到达约会地点。令,分别表示二人到达约会地点的时刻，则:，于是约会问题等价于随机向边长为的正方形上均匀投掷点，且二人能会面