李秋凤的直角三角形

1、单位：河北省乐亭县姜各庄镇姜各庄初级中学姓名：李秋凤 性别：女 职称：中学一级 电话邮编:063608 邮箱: 545570682 QQ:545570682高线搭桥，化“斜”为“直”【引言】数学家做消防员一天，数学家觉得自己已经受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试”消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙头，把火浇灭”消防队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办

2、？”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着”消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了” “把货栈点着，”这就是转化，这就是数学家常用的方法这一句话就把问题从未知领域转化到了已知领域当然了，这只是为了加深我们对转化思想的理解而编撰的笑话而已下面请同学们用这道题体会一下转化的妙处吧！题目：如图，港口B在观测站A的正东方向，AB=4km，某船从港口B出发，沿北偏东30°方向航行一段距离后到达P处，此时从观测站A处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船与观测站之间的距离（即AP的长）主讲：河北

3、省乐亭县姜各庄初中一级教师李秋凤 思维导引：首先将实际问题正确地转化为数学模型，即：在ABP中，AB=4km， PAB=30°，PBA=120°求AP这是一道非直角三角形问题，关键是将其转化为解直角三角形问题，如何转化呢？通常是作出高线，三角形有三个顶点，过哪一点作高线呢？答案是：都可以因此就有三种解决问题的思路了思路一：过点B作高线【名师指路】题中已知两个角的度数，于是利用三角形的内角和求出P=30°，会得到PAB=P，由等角对等边可知ABP是等腰三角形，看到等腰三角形，自然想到等腰三角形的三线合一，于是有了下面的解题思路：解法1：PAB=30°，PB

4、A=120°，P =30°PAB=P BP=AB=4过点B作BDAP于D，AD=AP在RtABD中，cos30°=，AD=ABcos30°= AP=即该船与观测站之间的距离为km【名师指路】需要说明的是：过钝角顶点作出高之后出现了两个直角三角形，当原三角形不是等腰三角形时，就只能分别在两个三角形中用三角函数求解了思路二：过点A作高线【名师指路】过点A作ADPB交PB的延长线于D，得到RtADB和RtADP，这两个直角三角形有公共边AD因此先在RtADB中用三角函数求得公共边AD的长，就可以在RtADP中用三角函数（或用直角三角形中30°角所对的

5、直角边等于斜边的一半）求得AP的长了解法2：过点A作ADPB交PB的延长线于D，PBA=120°，ABD=60°PAB=30°，P =30°在RtABD中，sin60°,AD=ABsin60°= 4×sin60°=在RtAPD中，ADP=90°，P=30°,AP= 2AD=即该船与观测站之间的距离为km思路三：过点P作高线【名师指路】过点P作PDAB交AB的延长线于D，得到两RtPDB和RtPDA），这两个直角三角形有公共边PD, 已知条件AB=4并不是这两个直角三角形的边，因此并不能直接利用三

6、角函数求得，此时需设未知数利用方程求解.设哪条边为x呢？这又有几种不同的方向.设PD为x或设AP为x或设BD为x都可以的，但对于这道题来说，设PD为x比较简单.接下来分别在RtBPD、RtAPD中含x的代数式表示出BD,AD，由AD-BD=AB得方程，解出x的值后，在RtADP中用三角函数（或用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）求得AP的长即可解法3（通法）：过点P作PDAB交AB的延长线于D，PBA=120°，PBD=60°设PD为x在RtBPD中,tan60°,BD；在RtAPD中, tan30°，AD=得方程4,解得x=.A

7、P=2PD =即该船与观测站之间的距离为km【名师指路】还是有些繁琐，有没有更简洁的方法呢？AB不是这两个直角三角形的边，能不能转化成直角三角形的边呢？前面我们得到ABP是等腰三角形，通过BP=AB=4，顺利实现了转化就可以直接求解了解法4（简单解法）：PBA=120°，PBD=60°PAB=30°，P =30°PAB=P BP=AB=4在RtBPD中，PD=BPsin60°=4×sin60°=在RtAPD中，AP=2PD =即该船与观测站之间的距离为km【名师指路】这种利用等腰三角形求解的方法是这道题最简单的解法需要说明的

8、是，并不是所有这样的题都可以找到等腰三角形，只有题中出现30°角，60°角时，等腰三角形才可能出现的解后反思通过以上例题，可以看出解决这类问题要掌握转化的思想方法解题时一般有以下四个步骤：1把实际问题转化为数学模型，画出图形，并将已知条件转化为图中的边、角 或它们之间的关系；2若没有现成的直角三角形，可通过作高线产生直角三角形； 3.若条件中给出的是直角三角形的边，利用三角函数直接求解；若给出的不是直角三角形的边，一般列方程求解；若题中有30°，60°角，利用里面的等腰三角形求解会更便捷；4.检验所求出的解是否合理我们可用下面的顺口溜来记忆：实际转化为模

9、型，没有直角作出高； 给出Rt的边，三角函数直接套；不是Rt的边，列出方程来搭桥； 找出等腰三角形，解题快速又高效解题高手1.如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行3000米后，再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度？（保留根号）提示：本题没有直角三角形，需作高线，因为所求为黑匣子距离海面的深度，所以过点C 作CFAB，交AB的延长线于E点，并交海面于F点，则CF即为所求深度然后得到下面两种解法：（1）由题中的角度易证BAC=BCA，所以有BA=BC然后在

10、RtBCE中，利用正弦函数求出CE，最后再加上线段EF的长度即可；（2）设CE为x，分别在RtBCE、RtACE中表示出BE,AE，由AE-BE=3000得方程解出就行了解法：过点C 作CFAB，交AB的延长线于E点，并交海面于F点BAC=30°，EBC=60°，BCA=EBC-BAC=30°BAC=BCABC=BA=3000在RtBCE中，EC=BCsin60°=3000×=CF=CE+EF=+500（米）答：海底黑匣子C点处距离海面的深度约为（+500）米解法：过点C 作CFAB，交AB的延长线于E点，并交海面于F点设CE为x，在RtBCE

11、中，BE=ECtan60°=xRtACE中AE= ECtan30°=3000,解得x=CF=CE+EF=+500答：海底黑匣子C点处距离海面的深度约为（+500）米2.（2013高淳县二模）如图，某时刻飞机A、B处于同一高度，此时从地面雷达C测得飞机A的仰角DCA=40°，与雷达C的距离CA=90千米；测得飞机B的仰角DCB=35°，与雷达C的距离CB=100千米则此时飞机A、B相距多少千米？（精确到0.1千米）（参考数据：cos40°=0.77，sin40°=0.64，cos35°=0.82，sin35°=0.5

12、7）提示：（1）过点C作CMBA交BA的延长线于点M，分别在RtBMC、RtAMC中求出BM、AM， 用BM-AM即得AB(2) 过点A作AMCD于点M，过B作BNCD于点N在RtAMC、RtBNC中求出CM、CN,再利用矩形得AB=MN 解法1图 解法2图解法1：过点C作CMBA交BA的延长线于点MA、B处于同一高度，ABCDMBC=DCB=35°, MAC=DCA=40°在RtBMC中，cosMBC=，BM=100×cos35°=82在RtAMC中，cosMAC =，AM=90×cos40°=69.3AB=BM-AM=12.7即此

13、时飞机A、B相距12.7千米解法2：过点A作AMCD于点M，过B作BNCD于点N在RtAMC中，cosMCA=，CM=90×cos40°=69.3在RtBNC中，cosNCB=，CN=100×cos35°=82MN=CN-CM=12.7由已知，AM=BN，AMCD，BNCDAMNB为矩形AB=MN=12.7即此时飞机A、B相距12.7千米 3.（2014鄂州）小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺如图，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°，沿着CB方向向大树行进10米到达点D，测得树AB

14、顶端A的仰角为45°，又测得树AB倾斜角1=75°（1）求AD的长；（2）求树长AB提示：（1）过点A作AECB交CB延长线于点E，得到三个直角三角形，但RtABE中的75°角并不是特殊角，所以不能用RtABE求解，因此设AE=x，在RtACE、RtADE中分别表示出CE、DE，再由CD=10，可得方程，解出x的值，在RtADE中可求出AD；（2）因75°角并不是特殊角，故仍不能用RtABE求解，需重新构建含AB边的直角三角形，为此过点B作BFAC于点F，设BF=y，在RtCBF、RtBFA中分别表示出CF、AF，用CF+AF=AC=2AE列出方程，解出y的值后，在RtABF中可求出AB的长度解：（1）过点A作AECB交CB延长线于点E，设AE=x，在RtACE中，C=30&#