202X届高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的概念和表示法课件

1、第六章数列6.1数列的概念和表示法高考数学高考数学 (浙江专用)A A组自主命题组自主命题浙江卷题组浙江卷题组五年高考1.(2019浙江,10,4分)设a,bR,数列an满足a1=a,an+1=+b,nN*,则()A.当b=时,a1010B.当b=时,a1010C.当b=-2时,a1010D.当b=-4时,a10102na1214答案答案A本题以已知递推关系式判断指定项范围为载体,考查学生挖掘事物本质以及推理运算能力;考查的核心素养为逻辑推理,数学运算;体现了函数与方程的思想,创新思维的应用.令an+1=an,即+b=an,即-an+b=0,若有解,则=1-4b0,即b,当b时,an=,nN*

2、,即存在b,且a=或,使数列an为常数列,B、C、D选项中,b成立,故存在a=,a6,a10,而=1+=1+4+10.故a1010.2na2na14141142b141142b1142b141142b1142b1221a121222a1221212342341217162171641716641716641716641116164C116264C21166382.(2016浙江,13,6分)设数列an的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1=,S5=.答案答案1;121解析解析解法一:an+1=2Sn+1,a2=2S1+1,即S2-a1=2a1+1,又S2=4,4-a

3、1=2a1+1,解得a1=1.又an+1=Sn+1-Sn,Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1,由S2=4,可求出S3=13,S4=40,S5=121.解法二:由an+1=2Sn+1,得a2=2S1+1,即S2-a1=2a1+1,又S2=4,4-a1=2a1+1,解得a1=1.又an+1=Sn+1-Sn,Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1,则Sn+1+=3,又S1+=,是首项为,公比为3的等比数列,Sn+=3n-1,即Sn=,S5=121.1212nS123212nS321232312n5312评析评析本题考查了数列的前n项和Sn与an的关系,利用an+1=Sn+

4、1-Sn得出Sn+1=3Sn+1是解题的关键.考点数列的概念和表示方法考点数列的概念和表示方法B B组统一命题、省（区、市）卷题组组统一命题、省（区、市）卷题组1.(2019上海,8,5分)已知数列an前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=.答案答案3116解析解析n=1时,S1+a1=2,a1=1.n2时,由Sn+an=2得Sn-1+an-1=2,两式相减得an=an-1(n2),an是以1为首项,为公比的等比数列,S5=.12125111211231162.(2018课标全国理,14,5分)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.答案答案-63解析解析本题主要考查

5、由an与Sn的关系求数列的通项公式.解法一:由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),得an=2an-1,an是首项为-1,公比为2的等比数列.S6=-63.解法二:由Sn=2an+1,得S1=2S1+1,所以S1=-1,当n2时,由Sn=2an+1得Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即Sn=2Sn-1-1,Sn-1=2(Sn-1-1),又S1-1=-2,Sn-1是首项为-2,公比为2的等比数列,所以Sn-1=-22n-1=-2n,所以Sn=1-2n,S6=1-26=-63.61(1)1aqq6(12 )123.(20

6、15课标,16,5分)设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.答案答案-1n解析解析an+1=Sn+1-Sn,Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn0,-=1,是等差数列,且公差为-1,而=-1,=-1+(n-1)(-1)=-n,Sn=-.1nS11nS1nS11S11a1nS1n4.(2019北京理,20,13分)已知数列an,从中选取第i1项、第i2项、第im项(i1i2im),若,则称新数列,为an的长度为m的递增子列.规定:数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列.(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;

7、(2)已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为,长度为q的递增子列的末项的最小值为.若pq,求证:;(3)设无穷数列an的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若an的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,),求数列an的通项公式.1ia2iamia1ia2iamia0ma0na0ma0na解析解析本题通过对数列新概念的理解考查学生的逻辑推理、知识的迁移应用能力;重点考查逻辑推理、数学抽象的核心素养;渗透数学应用与创新意识,以及由特殊到一般的分类整合思想.(1)1,3,5,6.(答案不唯一)(2)设长度为q末项为的一个递增

8、子列为,.由pq,得.因为an的长度为p的递增子列末项的最小值为,又,是an的长度为p的递增子列,所以.所以.(3)由题设知,所有正奇数都是an中的项.先证明:若2m是an中的项,则2m必排在2m-1之前(m为正整数).假设2m排在2m-1之后.设,2m-1是数列an的长度为m末项为2m-1的递增子列,则,2m-1,2m是数列an的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.再证明:所有正偶数都是an中的项.0na1ra2ra1qra0napra1qra0na0ma1ra2rapra0mapra0ma0na1pa2pa1mpa1pa2pa1mpa假设存在正偶数不是an中的项,设不在an中的最

9、小的正偶数为2m.因为2k排在2k-1之前(k=1,2,m-1),所以2k和2k-1不可能在an的同一个递增子列中.又an中不超过2m+1的数为1,2,2m-2,2m-1,2m+1,所以an的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为11=2m-10,+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式;(2)设bn=,求数列bn的前n项和.2na11nna a解析解析(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.可得-+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=-=(an+1+an)(an+1-an).由于an0,可得an+1-an=2.又+2a1=4a1+3

10、,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(6分)2na21na21na2na21na2na21a(2)由an=2n+1可知bn=.设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn=.(12分)11nna a1(21)(23)nn12112123nn1211111135572123nn3(23)nn考点数列的概念和表示方法考点数列的概念和表示方法三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组1.(2018浙江宁波模拟,5)记Sn为数列an的前n项和.“任意正整数n,均有an0”是

11、“Sn为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案答案A首先,当an0时,Sn-Sn-1=an0成立,所以Sn为递增数列,即充分性成立;当Sn为递增数列时,Sn-Sn-1=an,其中n2,即从第二项起an为正项数列,所以必要性不成立.综上所述,“任意正整数n,均有an0”是“Sn为递增数列”的充分不必要条件,故选A.2.(2019浙江浙南名校联盟期末,10)设,是方程x2-x-1=0的两个不等实根,记an=n+n(nN*).下列两个命题:()数列an的任意一项都是正整数;数列an存在某一项是5的倍数.A.正确,错误B.错误,正确C.都正确D.都

12、错误答案答案A由题意可得所以a1=1,a2=3.因为an=n+n,所以an+2=n+2+n+2=(n+1+n+1)(+)-(n+n)=an+1+an.因为a1,a2为正整数,所以由递推关系可知数列an的任意一项都是正整数,即命题正确;对于命题,取an的每一项除以5的余数如下:1,3,4,2,1,3,4,2,所以an的每一项的余数构成周期数列,且均不为零,所以命题错误.故选A.1,1, 3.(2019浙江温州普通高中适应性测试,16)已知数列an满足an+1=an+kan-1(nN*,n2),且2a1=a2=-2a4=2,则an的最大值为.答案答案2解析解析解法一:由an+1=an+kan-1(

13、nN*,n2),2a1=a2=-2a4=2,得k=-1,an+1=an-an-1.易得an是周期为6的周期数列,即1,2,1,-1,-2,-1,1,2,1,则an的最大值为2.解法二:由题意得k=-1,a3=1,an+1=an-an-1(nN*,n2),递推可得an+2=an+1-an=-an-1,也即an+3=-an,所以an+6=-an+3=an,所以an是周期为6的周期数列,由于前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以an的最大值为2.4.(2019浙江高考信息优化卷(三),11)数列an的前n项和Sn=an+,则a1=;an的通项公式an=.4313答案答案-1;-4n-1解析解

14、析因为Sn=an+,所以当n=1时,a1=-1.又Sn-1=an-1+,所以an=Sn-Sn-1=an-an-1(nN*,n2),即an=4an-1(nN*,n2),所以an=-4n-1.4313431343435.(2019浙江高考数学仿真卷,13)已知数列a1=33,an+1-an=2n,则当最小时,n=.nan答案答案6解析解析由a1=33,an+1-an=2n,得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+22+21+33=n2-n+33.所以=n+-1.设f(x)=x+-1(x0),由f(x)=1-0,得x,故f(x)在(,+)

15、上单调递增,在(0,)上单调递减.nN*,当n=5或6时,f(n)有可能取最小值.=,=,当最小时,n=6.nan33n33x233x33333355a53566a636212nan6.(2019浙江高考数学仿真卷,20)已知数列an满足:a1=,an+1(an+3n)=an3n+1(nN*).(1)求a2及数列an的通项公式;(2)设cn=,若数列cn的前n项和为Tn,且对任意的nN*满足Tn1,求实数的取值范围.32(21)nnan2423解析解析(1)当n=1时,由递推关系可得a2(a1+31)=a132.a2=3.(2分)an+1(an+3n)=an3n+1(nN*),=+1,即-=1

16、.(4分)数列为等差数列,其首项为2,公差为1,数列的通项公式为=n+1.数列an的通项公式为an=.(6分)113nna3nnnaa3nna113nna3nna3nna3nna3nna31nn(2)易知cn=-.(7分)数列cn的前n项和Tn=+=-3.(8分)记f(n)=,=1,f(n)=单调递增,即f(n)=,(21)nnan(21) 3(1)nnn n131nn3nn233122333231331nnnn131nn131nn(1)( )f nf n332nn232nnn131nn131nn9,2Tn,.(11分)对任意的nN*满足Tn1,即22+,22+,即32+2-10,解得或-1.

17、实数的取值范围是或-1.(15分)3,21nT20,32423431nT432313137.(2019浙江高考信息优化卷(三),20)记Sn是等差数列an的前n项和,公差d0,已知a1+a6=21,a3a4=108,数列bn满足an=-+-+(-1)n-1.(1)求an,bn的通项公式;(2)设cn=4n+bn(nN*),是否存在实数,当nN*时,cn+1cn恒成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.13 1b2231b3331b4431b31nnb解析解析(1)由解得d=3.由a3=a1+2d可得a1=3.an=a1+(n-1)d=3+3(n-1)=3n.由题意可知-+-+(

18、-1)n-1=3n.当n2时,-+-+(-1)n-2=3(n-1).-得(-1)n-1=3,bn=(-1)n-1(3n+1+3)(n2).16343421,108,0,aaaaaad349,12,aa13 1b2231b3331b4431b31nnb13 1b2231b3331b4431b1131nnb31nnb又a1=,b1=12,符合式.故bn=(-1)n-1(3n+1+3).(2)存在实数,当nN*时,cn+1cn恒成立.由cn=4n+bn可得cn=4n+(-1)n-1(3n+1+3),即4n+1+(-1)n(3n+2+3)4n+(-1)n-1(3n+1+3)恒成立.当n为奇数时,可化简

19、为4n+1-4n(3n+2+3n+1+6),即.令g(n)=,显然g(n)为单调增函数,-,故只需=-.综上可得-0,b0,正项数列xn满足xn=axn+1+bxn+2,若xn为单调递减数列,则()A.a+b1B.b1C.a+b1答案答案Axn为单调递减数列,xnxn+1对nN*恒成立.由xn=axn+1+bxn+2得axn+1+bxn+2xn+1对nN*恒成立.整理得bxn+2(1-a)xn+1(*).若a1,则(*)式恒成立,此时a+b1;若0a(1-a)xn+1(1-a)xn+2,即有b1-a,a+b1.综上,a+b1,故选A.3.(2019浙江温州普通高中高考适应性测试(2月),10)

20、已知数列xn满足0 x1x2,且xn+1=(n2),则()A.x3x4,x2019B.x3C.x3x4,x2019x4,x201911sin,cos,nnnnnnnnxxxxxxxx答案答案A由题意可得x3=x2+cosx2,x3=1-sinx20.当0 x2x2且x3+cos=,以此类推得x3x4xnxn+1,故A选项正确.当x2时,x30.故+sinx4-1+sin(-1),即x4且x3x4.又由于xn+1恒为正,当0 xn时,xn+sinxn,xn+cosxn,故易得x2019.综上所述,选A.22222222224.(2019浙江高考信息优化卷(一),15)已知数列an,n1,2,3,

21、10,满足+=1+2an+1an,若a1=2,a4=1,a10=3,则满足条件的不同数列有个(用数字作答).21na2na二、填空题(共8分)答案答案45解析解析由+=1+2an+1an可得=1.在a1,a4之间有3次加上或者减去1的机会,要使最终结果从2到1,只有2(-1)+1=-1,故有种可能.同理a4,a10之间有6次加上或者减去1的机会,要使最终结果从1到3,只有2(-1)+41=2,故有种可能.由乘法原理知,共有=45种可能.21na2na1nnaa23C26C23C26C5.(2017浙江宁波期末,17)已知数列an的通项公式为an=-n+t,数列bn的通项公式为bn=3n-3,设

22、cn=+,在数列cn中,cnc3(nN*),则实数t的取值范围是.2nnab|2nnab答案答案3,6解析解析由条件得cn=+,由c2=+c3=+,得+|t-4|,解得t3.由c4=+c3=+,得1+|t-7|t-4|,解得t6,即当时,有3t6.当3t6时,c3=+=故1c33.当n4时,an=t-nt-4b1,a2b2,所以c1=a1=t-1,c2=a2=t-2,此时有c1c3,c2c3.故当3t6时,总有cnc3(nN*)成立,所以实数t的取值范围是3,6.332nnt 3|3|2nnt 532t 732t 22t |4|2t 1373t 12t |7|2t 22t |4|2t 2343

23、,cccc22t |4|2t 3,46,1,34,ttt 6.(2019浙江三校第一次联考(4月),20)已知数列an中,a1=a(a1且a-3),a2=3,an=2an-1+3an-2(n3).(1)求an+1+an和an+1-3an的通项公式;(2)若数列an单调递增,求a的取值范围.三、解答题(共44分)解析解析(1)由an=2an-1+3an-2得an+an-1=3(an-1+an-2),an+1+an=3(an+an-1),an-1+an-2=3(an-2+an-3),a3+a2=3(a2+a1),an+1+an=3n-1(a2+a1)=3n-1(3+a).由an=2an-1+3an

24、-2得an-3an-1=-(an-1-3an-2),an+1-3an=-(an-3an-1),an-1-3an-2=-(an-2-3an-3),a3-3a2=-(a2-3a1),an+1-3an=(-1)n-1(a2-3a1)=(-1)n-1(3-3a).(2)由(1)得an=3n-1(a+3)-(-1)n-1(3-3a),an+1-an=3n-1(a+3)+(-1)n-1(3-3a).1412当n为奇数时,3n-1(a+3)+(-1)n-1(3-3a)=(3n-1-3)a+3n+3.由an+1-an0可得(3n-1-3)a+3n+30.当n=1时,解得a-=-3-,a随着n的增大而增大,a-3-=-5.-5a0可得a-=-3,a随着n的增大而减小,a-3=-1.综上可知,a(-1,1)(1,3).13333nn11233n2123313333nn11233n2 112337.(2017浙江温州十校期末联考,22)已知数列an满足a1=1,an+1=+m.(1)若数列an是常数列,求m的值;(2)当m1时,求证:anan+1;(3)求正数m的最大值,使得an0.(5分)由an+1=+m,得an