202X届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.1椭圆及其性质课件

1、第十章圆锥曲线与方程10.1椭圆及其性质高考数学高考数学 (浙江专用)考点一椭圆的定义和标准方程考点一椭圆的定义和标准方程A A组自主命题组自主命题浙江卷题组浙江卷题组五年高考1.(2019浙江,15,4分)已知椭圆+=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是.29x25y答案答案15解析解析本题主要考查椭圆的定义和标准方程、直线斜率与倾斜角的关系,以及解三角形,旨在考查学生的综合应用能力及运算求解能力,重点应用数形结合思想,突出考查了直观想象与数学运算的核心素养.如图,记椭圆的右焦点为F,取PF中点为M,由题知a=

2、3,b=,c=2,连接OM,PF,则|OM|=|OF|=2,又M为PF的中点,|PF|=2|OM|,PFOM,|PF|=4,又P在椭圆上,|PF|+|PF|=6,|PF|=2,在PFF中,|PF|=|FF|=4,|PF|=2,连接FM,5则FMPF,|FM|=,kPF=tanPFF=.即直线PF的斜率为.22|FFFM16 115|F MFM1515一题多解一题多解易知F(-2,0),设P(3cos,sin),设PF的中点为M,则M,|OM|=|OF|=2,+=4,9cos2-12cos+4+5sin2=16,又sin2=1-cos2,4cos2-12cos-7=0,解得cos=-,sin2=

3、,又P在x轴上方,sin=,P,kPF=,故答案为.53cos25sin,2223cos22 25sin2123432315,221515疑难突破疑难突破试题中只出现了椭圆的一个焦点,需要作出另一个焦点,并将椭圆定义作为隐含条件直接应用是求解本题的突破口.再由条件中的中点M联想到利用三角形中位线的性质求出PF的长度是解决本题的关键.2.(2018浙江,17,4分)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m1)上两点A,B满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大.24xAPPB答案答案5解析解析本题考查椭圆的标准方程,向量的坐标运算,二次函数的最值.设B(t,u),由=2,易得A(-2t,3-2

4、u).点A,B都在椭圆上,从而有+3u2-12u+9=0,即+u2=4u-3.即有4u-3=mu=,+=m,t2=-m2+m-=-(m-5)2+4.当m=5时,(t2)max=4,即|t|max=2,即当m=5时,点B横坐标的绝对值最大.APPB2222,44(32 ),4tumtum234t24t34m24t2(3)16m14529414思路分析思路分析(1)设出点B的坐标,利用向量的坐标运算得点A的坐标.(2)利用点A,B都在椭圆上得方程组,求得点B的横、纵坐标满足的关系式.(3)利用(2)中的关系式及点B在椭圆上,把点B的横坐标的平方表示为关于m的函数.(4)利用二次函数的最值得结论.1

5、.(2017浙江,2,4分)椭圆+=1的离心率是()A.B.C.D.29x24y133532359考点二椭圆的几何性质考点二椭圆的几何性质答案答案B本题考查椭圆的标准方程和几何性质.由题意得,a=3,c=,离心率e=.故选B.5ca53易错警示易错警示1.把椭圆和双曲线中的a,b,c之间的关系式记混,而错选A.2.把离心率记成e=或e=,而错选C或D.ba22ca2.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆+y2=1(a1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.22xa解析解析(1)

6、设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-.因此|AP|=|x1-x2|=.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2.由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)1+a2(2-a2)=0.由k1k2,k1,k20得1+a2(2-a2)=0,2221,1ykxxya22221a ka k21 k2222|1aka k21 k22112212| 11akka k22222222| 11akka k2

7、2112212| 11akka k22222222| 11akka k21k22k21k22k21k22k21k22k21k22k因此=1+a2(a2-2),因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)1,所以a.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a,由e=得,所求离心率的取值范围为00)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.823xp2yp答案答案D本题考查椭圆与抛物线的几何性质;考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为,椭圆+=1的一个焦点为,3p-p=,p=8.,02

8、p23xp2yp,02p24p思路分析思路分析利用抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,建立关于p的方程,求解即可.2.(2019课标全国文,12,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=122x23x22y24x23y25x24y答案答案B本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用;考查了数学运算能力和方程的思想;考查的核心素养是数学运算,具有很好的创新意识.令|F2B|=x(x0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,

9、|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|F2B|2+|F1F2|2-2|F2B|F1F2|cosBF2F1,即9x2=x2+22-4xcosBF2F1,在AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|F1F2|cosAF2F1,即4x2=4x2+22-8xcosAF2F1,由得x=,所以2a=4x=2,a=,b2=a2-c2=2.故椭圆的方程为+=1.故选B.323323x22y思路分析思路分析由于涉及焦点,所以要利用椭圆的定义

10、,通过解三角形建立方程求a的值,又b2=a2-1,故可得椭圆的方程.疑难突破疑难突破利用余弦定理灵活解三角形是难点突破口.灵活利用椭圆的定义是解题的关键.3.(2019课标全国文,15,5分)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.236x220y答案答案(3,)15解析解析本题考查椭圆的定义与几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形结合的思想方法;考查了数学运算的核心素养.不妨设F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,由M点在第一象限,MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2|,又由椭圆方程+=1,知|F1F2|=8,|F

11、1M|+|F2M|=26=12.所以|F1M|=|F1F2|=8,|F2M|=4.设M(x0,y0)(x00,y00),则解得x0=3,y0=,即M(3,).236x220y22002200(4)64,(4)16,xyxy1515一题多解一题多解依题意得|F1F2|=|F1M|=8,|F2M|=4,cosMF1F2=,tanMF1F2=,所以MF1:y-0=(x+4).设M(6cos,2sin),因为M点在直线MF1上,所以2sin=(6cos+4),结合sin2+cos2=1且sin0,cos0,得cos=,sin=,即M点的坐标为(3,).2228842 8 8 7815715755157

12、1232154.(2018天津文,19,14分)设椭圆+=1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(kx10,点Q的坐标为(-x1,-y1).由BPM的面积是BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,可得x1=.22ca5922ab1329x24y236,xyykx632k 221,94,xyykx2694k 294k 由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k

13、+8=0,解得k=-,或k=-.当k=-时,x2=-9b0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.22xa22yb2,3,2aca324x(2)设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m2,且n0.直线AM的斜率kAM=,故直线DE的斜率kDE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m).直线BN的方程为y=(x-2).2nm2mn2mn2nm联立解得点E的纵坐标yE=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以yE=-n.又SBDE=|BD|yE|=|BD|n|,SBDN=|BD|n|,所以BDE与BDN的面积之比为4 5.2(),(2)

14、,2myxmnnyxm 222(4)4nmmn45122512易错警示易错警示在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty+n,则要考虑斜率为0的情况.1.(2019北京理,4,5分)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b22xa22yb12考点二椭圆的几何性质考点二椭圆的几何性质答案答案B本题考查椭圆的标准方程及离心率;通过椭圆的几何性质考查学生的理解与运算能力;考查的核心素养是数学运算.由题意知=e2=,整理得3a2=4b2,故选B.222aba14易错警示易错警示椭圆与双曲线中a、b、

15、c关系的区别:(1)椭圆:b2+c2=a2;(2)双曲线:c2=a2+b2.2.(2018课标全国文,4,5分)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.B.C.D.22xa24y1312222 23答案答案C本题主要考查椭圆的方程及其几何性质.由题意可知c=2,b2=4,a2=b2+c2=4+22=8,则a=2,e=,故选C.2ca22 2223.(2018课标全国理,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.B.C.D.22xa22yb

16、3623121314答案答案D本题考查直线方程和椭圆的几何性质.由题意易知直线AP的方程为y=(x+a),直线PF2的方程为y=(x-c).联立得y=(a+c),如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=(a+c).3633535因为PF2H=60,PF2=F1F2=2c,PH=(a+c),所以sin60=,352PHPF3()52acc32即a+c=5c,即a=4c,所以e=.故选D.ca14解题关键解题关键通过解三角形得到a与c的等量关系是解题的关键.4.(2017课标全国文,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A.(0

17、,19,+)B.(0,9,+)C.(0,14,+)D.(0,4,+)23x2ym33答案答案A本题考查圆锥曲线的几何性质.当0m3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图(1),A(-,0),B(,0),M(0,).图(1)33m当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|MO|1,即03时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0,),B(0,-),M(,0).图(2)mm3当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|OA|3,即3,即m9.综上,m(0,19,+),故选A.m易错警示易错警示在求解本题时,要注意椭圆的长轴所在的坐标轴,题目中只说A、B为椭圆长轴

18、的两个端点,并未说明椭圆长轴所在的坐标轴,因此,要根据m与3的大小关系,讨论椭圆长轴所在的坐标轴.5.(2017课标全国理,10,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.22xa22yb63332313答案答案A本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系.以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,=a,即2b=,a2=3b2,a2=b2+c2,=,e=.22|002|()baabba 22ab22ca23ca636.(2018北京理,1

19、4,5分)已知椭圆M:+=1(ab0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.22xa22yb22xm22yn答案答案-1;23解析解析本题考查椭圆与双曲线的几何性质.解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭圆M的两个焦点.直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y=x,=.设m=k,则n=k,则双曲线N的离心率e2=2.连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得F1CF2=90,CF1F2=30.设椭圆的焦距为2c,则|CF2|

20、=c,|CF1|=c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a,即(+1)c=2a,椭圆M的离心率e1=-1.3nm3322( 3 )kkk33ca2312( 31)( 31)( 31)3解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为,代入椭圆M的方程,并结合a,b,c的关系,联立得方程组解得=-1.3,22cc22222223221,ccababcca331ca舍去方法总结方法总结求椭圆和双曲线的离心率的关键是通过其几何性质找到a,c所满足的关系,从而求出c与a的比值,即得离心率.考点一椭圆的定义和标准方程考点一椭圆的定义和标准方程C C组教师专用题组组教师专用题组1.(2015

21、福建,18,13分)已知椭圆E:+=1(ab0)过点(0,),且离心率e=.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(mR)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.22xa22yb2229,04解析解析解法一:(1)由已知得解得所以椭圆E的方程为+=1.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=.所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.=(1+m2)(-y1y2),2222,2,2.bcaabc2,2,2.abc24x22y22

22、1,142xmyxy222mm 232m 22mm 2094x20y2054my20y20y5225162|4AB221212()()4xxyy2212(1)()4myy221212(1)()44myyy y20y故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=0,所以|GH|.故点G在以AB为直径的圆外.解法二:(1)同解法一.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=,=.由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=+=0,2|4AB5225162252(2)mm 223(1)2

23、mm25162217216(2)mm|2AB9,04GA119,4xyGB229,4xy221,142xmyxy222mm 232m GAGB194x294x154my254my542516223(1)2mm22522mm 25162217216(2)mm所以cos0.又,不共线,所以AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.GAGBGAGB9,04评析评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、方程思想.2.(2015山东,20,13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,左、右焦点分

24、别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求的值;(ii)求ABQ面积的最大值.22xa22yb32224xa224yb|OQOP解析解析(1)由题意知2a=4,则a=2.又=,a2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.(i)设P(x0,y0),=,由题意知Q(-x0,-y0).因为+=1,又+=1,即=1,所以=2,即=2.(ii)设A(x1,

25、y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,ca3224x216x24y|OQOP204x20y20()16x20()4y2422004xy|OQOP可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由0,可得m24+16k2.则有x1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以OAB的面积S=|m|x1-x2|=2.设=t.将y=kx+m代入椭圆C的方程,2814kmk2241614mk2224 16414kmk122222 164|14kmmk22222 (164)14kmmk222241414mmkk2214mk可得

26、(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0,可得m21+4k2.由可知0b0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.22xa22yb22解析解析(1)由题意,得=且c+=3,解得a=,c=1,则b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)当ABx轴时,AB=,又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(

27、k2-1)=0,则x1,2=,C的坐标为,且AB=.若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k0,故直线PC的方程为y+=-,则P点的坐标为,从而PC=.ca222ac222x222222(1)12kkk2222,1 21 2kkkk222121()()xxyy2221(1)()kxx222 2(1)1 2kk212kk1k2221 2kxk22522,(1 2)kkk2222(31) 1|(12)kkkk因为PC=2AB,所以=,解得k=1.此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1.2222(31) 1|(12)kkkk224 2(1)1 2kk评析评析本题在考

28、查椭圆基本性质与标准方程的同时,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系和方程思想.1.(2016课标全国,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.D.22xa22yb13122334考点二椭圆的几何性质考点二椭圆的几何性质答案答案A由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=k(x+a),当x=-c时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c),E(0,ka).如图,设

29、OE的中点为N,则N,由于B,M,N三点共线,所以kBN=kBM,即=,所以=,即a=3c,所以e=.故选A.0,2ka2kaa()k acca 12acac13评析评析本题主要考查椭圆的几何性质,三点共线的判定等基本知识和基本技能,考查学生的计算求解能力和逻辑思维能力,同时考查了方程思想的应用.2.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(ab0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.22xa22yb2b解析解析由已知条件易得B,C,F(c,0),=,=,由BFC=90,可得=0,所以+=0,即c2-a2+b2=0,亦即

30、4c2-3a2+(a2-c2)=0,所以3c2=2a2,所以=,则e=.3,22ba3,22baBF3,22bcaCF3,22bcaBFCF32ca32ca22b341422ca23ca63答案答案63思路分析思路分析圆锥曲线中垂直问题往往转化为向量垂直.利用向量数量积为零转化为数量关系.3.(2017天津文,20,14分)已知椭圆+=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积

31、为3c.(i)求直线FP的斜率;(ii)求椭圆的方程.22xa22yb22b32解析解析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和方程思想.考查运算求解能力,以及综合分析问题和解决问题的能力.(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0e0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有+=,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线F

32、P的斜率为.(ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1.由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得消去y,1222b12121m2xcyc(22)2mcm32cm(22)3,22mccmm322(22)2mccm232cm232c43343224xc223yc22223430,1,43xycxycc整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去),或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP,所以|QN|=

33、|FQ|tanQFN=,所以FQN的面积为|FQ|QN|=,同理FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以,椭圆的方程为+=1.137c3,2cc223()2ccc52c52c 32c32c3498c1222732c27532c27532c22732c216x212y2.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k=(x1x2),其中两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2);(2)利用导数的几何意义求解;(3)直线的方向向量a=(m,n),则k=(m0);(4)点差法.1212yyxxnm方法点拨方法点拨1.求离心率常用的方法:(1)直

34、接求a,c,利用定义求解;(2)构造a,c的齐次式,利用方程思想求出离心率e的值.3.解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用.4.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQPF1.(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.22xa22yb22解析解析(1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,得2c=|F1F2|=2,即c=,从而b=1.故

35、所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)解法一:连接F1Q,如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1PF2,则+=1,+=c2,求得x0=,y0=.由|PF1|=|PQ|PF2|得x00,222212|PFPF22(22)(22)3322ac24x202xa202yb20 x20yac222ab2bc从而|PF1|2=+=2(a2-b2)+2a=(a+)2.由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|.因此(2+

36、)|PF1|=4a,即(2+)(a+)=4a,于是(2+)(1+)=4,解得e=-.解法二:连接F1Q,由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,4a-2|PF1|=|PF1|,得|PF1|=2(2-)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a.2222a abcc42bc222ab222ab222222ab2221e 214112226322222由PF1PF2,知|PF1|2

37、+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e=-.ca2212|2PFPFa22(22)( 21)96 2635.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.22xa22yb51072解析解析(1)由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而=.进而a=b,c=2b.故e=.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB

38、的方程为+=1,点N的坐标为,设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有+=1,=,解得b=3,所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.21,33ab5102ba510522abca2 555xbyb51,22bb17,2x1517,4244xbb15425xbb1744bb1712252bbx55245x29y考点一椭圆的定义和标准方程考点一椭圆的定义和标准方程三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组1.(2019浙江高考数学仿真卷,3)以双曲线-x2=1的顶点为焦点

39、,离心率为的椭圆的标准方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=123y3324x23y23x24y29x26y26x29y答案答案D由题意得椭圆的焦点在y轴上,c=,由椭圆的离心率=a=3,所以所求椭圆的标准方程为+=1,故选D.3ca3326x29y2.(2019浙江台州一中、天台一中高三上期中,8)设F是椭圆+=1的左焦点,A是该椭圆上位于第一象限内的一点,过A作圆x2+y2=3的切线,切点为P,则|AF|-|AP|=()A.1B.C.2D.424x23y3答案答案C设A(x0,y0),由于A在椭圆上,故+=1(|x0|b0)的离心率为,点M(-2,1)是椭圆内一点,过点M作两条斜

40、率存在且互相垂直的动直线l1,l2,设l1与椭圆C相交于点A,B,l2与椭圆C相交于点D,E.当M恰好为线段AB的中点时,|AB|=.(1)求椭圆C的方程;(2)求的最小值.22xa22yb3210ADEB解析解析(1)由题意设a2=4b2,(2分)即椭圆C:+=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4).由作差得,(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0.又当M(-2,1)为线段AB的中点时,x1+x2=-4,y1+y2=2,AB的斜率k=.(4分)由消去y得,x2+4x+8-2b2=0.则|AB|=|x1-x2|=.解得b2=3,于

41、是椭圆C的方程为+=1.(6分)(2)设直线AB:y=k(x+2)+1,由消去y得,224xb22yb222112222244,44xybxyb1212yyxx1222221,4122xybbyx21 k1142164(82)b10212x23y221,123(2) 1xyyk x(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-12=0.于是x1+x2=,x1x2=.(8分)=(+)(+)=+=(-2-x1,1-y1)(2+x2,y2-1)+(-2-x4,1-y4)(2+x3,y3-1).(-2-x1,1-y1)(2+x2,y2-1)=-(1+k2)(2+x1)(2+x2)=-(1+

42、k2)4+2(x1+x2)+x1x2=.(13分)同理可得(-2-x4,1-y4)(2+x3,y3-1)=.=4(1+k2)=,当k=1时取等号.综上,的最小值为.(15分)28 (21)14kkk224(21)1214kkADEBAMMDEMMBAMMBEMMD224(1)14kk224(1)4kkADEB2211144kk222220(1)(14)(4)kkk2222220(1)1442kkk165ADEB1651.(2018浙江宁波高三上学期期末,4)已知焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为,则实数m等于()A.3B.C.5D.24x2ym12165163考点二椭圆的几何性质考点二椭圆的几

43、何性质答案答案D由椭圆焦点在y轴上可知a2=m,b2=4,则c2=a2-b2=m-4,故e2=,解得m=.故选D.22ca4mm141632.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),9)设椭圆C:+=1与函数y=x3的图象相交于A,B两点,点P为椭圆C上异于A,B的动点,若直线PA的斜率的取值范围是-3,-1,则直线PB的斜率的取值范围是()A.-6,-2B.2,6C.D.24x22y11,261 1,6 2答案答案D设P(x0,y0),A(m,n).因为椭圆C和函数y=x3的图象都关于原点对称,则B(-m,-n).从而有kPA=,kPB=.由得+=0,即有=-.又kPAkPB=-,且-3kPA

44、-1,则有kPB.00ynxm00ynxm2200221,42142xymn2204xm2202yn220220ynxm12220220ynxm1216123.(2019浙江宁波高三上期末,9)已知椭圆+=1(ab0)的离心率e的取值范围为,直线y=-x+1交椭圆于点M、N,O为坐标原点且OMON,则椭圆长轴长的取值范围是()A.,2B.,C.,D.2,322xa22yb11,327267562答案答案C设M(x1,y1),N(x2,y2),由得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,则x1+x2=,x1x2=.由OMON得=0,即x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)

45、+1=0,将代入,化简得b2=.又因为e=,所以a2a,故选C.22221,1xyabyx 2222aab22222aa babOMON2221aa ca221ba21121a11,32526256小题巧解小题巧解根据椭圆的性质,原点O到直线y=-x+1的距离d满足=+,又d=,所以=.又e2=1-=1-,e2,所以4a25,6,所以2a,.故选C.21d21a21b1222ba2121a 22ca22ba2121a 1 1,3 256知识拓展知识拓展已知椭圆+=1上的两点M,N满足OMON,且原点O到直线MN的距离为d,则椭圆有如下性质:=+.证明:设M(r1cos,r1sin),Nr2co

46、s,r2sin为椭圆上满足题意的两个点,分别代入椭圆方程得+=1,+=1,所以+=+=+,根据几何意义可知,+=,命题得证.22xa22yb21d21a21b222212cosra2212sinrb2222sinra2222cosrb211r221r22cos a22sin b22sin a22cos b21a21b211r221r21d4.(2019浙江温州普通高中高考适应性测试(2月),16)已知F是椭圆+=1(ab0)的右焦点,直线y=x交椭圆于A,B两点,若cosAFB=,则椭圆的离心率是.22xa22ybba13答案答案2 55解析解析令A在第三象限,B在第一象限,将直线方程代入椭圆

47、方程,求得A,B,故线段AB的长为a.在ABF中运用面积公式得|AF|BF|sinAFB=|OF|yA-yB|,再运用余弦定理得|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|BF|cosAFB,联立求得e=.22,22ab22,22ab2221ba1212ca2 555.(2019浙江三校第一次联考(4月),21)如图,已知抛物线C1:x2=4y与椭圆C2:+=1(ab0)交于点A,B,且抛物线C1在点A处的切线l1与椭圆C2在点A处的切线l2互相垂直.(1)求椭圆C2的离心率;(2)设l1与C2交于点P,l2与C1交于点Q,求APQ面积的最小值.22xa22yb解析解析(1)设点A(x0,y

48、0),B(-x0,y0),其中x00,y00,则抛物线C1在点A处的切线方程l1:x0 x=2(y0+y),(2分)椭圆C2在点A处的切线方程l2:+=1.(4分)由于l1l2,故有=-1,又=4y0.所以a2=2b2,从而椭圆C2的离心率e=.(6分)(2)解法一:由(1)知椭圆C2的离心率为,可设椭圆方程为+=1.(7分)设A(2t,t2),则l1:y=tx-t2,由得(1+2t2)x2-4t3x+2t4-2b2=0,所以|AP|=|xP-xA|=.(9分)设l2:y=-x+t2+2,同理可得|AQ|=|xQ-xA|=,(11分)02x xa02y yb02x2020b xa y20 x2

49、222222xb22yb2222,22ytxtxyb21 t21t 22212ttt1t211t211t422ttt所以SAPQ=|AP|AQ|=2=.(12分)令f(t)=,t0,则f(t)=.令f(t)=0得t=,所以f(t)在上单调递减,在上单调递增.所以f(t)f=.所以SAPQ.(15分)解法二:设点P(x1,y1),Q(x2,y2),由=4y0及+2=2b2可知b2=+2y0.由消去x得(2+4)y2+8y0y+4-2b2=0,由题意可知y0y1=,则y1=,x1=.(9分)1221tt324412ttt2328(1)(12 )ttt232(1)(12 )ttt2222222(1)

50、 (21)(31)(12 )ttttt2220,22,222278 227 2220 x20 x20y20y0022222(),12x xyyxybb20 x20y20 x22200204224yb xx220004884yb yy2000(2)21ybyy200221yby20003221yyy0004(21)yxy由消去y得y0 x2+2x0 x-4b2=0,由题意可知x0+x2=-=-,则x2=-x0,y2=,(11分)所以SAPQ=|y1-y2|2x0=,(13分)记f(x)=,其中x0,则f(x)=,由f(x)=0,得x=.所以f(x)在(0,)上单调递减,在(,+)上单调递增.所以

51、f(x)min=f()=27.所以SAPQ.(15分)002221,24x xy ybbxy002xy08x08x2200282xby2000042(2)82yyyy200044yyy12300008(1)(21)xyyy230200(4)2(2)xx x232(4)(2)xx x2242222(4) (328)(2)xxxxx2222222(4) (34)(2)(2)xxxxx22223(24)2(22)227 22B B组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组时间:30分钟分值:57分一、选择题(共4分)1.(2019浙江名校新高考研究联盟第一次联考,8)已知F1、F2是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,过左焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,且满足|AF1|=2|BF1|,|AB|=|BF2|,则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.22xa22yb12333253答案答案B设|BF1|=x,则|AF1|=2x,|BF2|=3x,