椭圆的简单几何性质3

1、第3课时教学目标1 理解掌握直线与椭圆位置关系的判定方法.2能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线位置关系 和实际问题.说明：本节课主要是因为教材中的例题 7涉及直线与椭圆的位置关系，而且这个内容是本章的一个重点，所以设计此节.教学过程新课引入解析几何作为数学研究的重要的、有效的工具，集几何与代数的优点于一体，为数学的研究带来了方便.它的根底是用代数的方法来研究几何， 从而把几何问题的讨论从定性的研 究推进到可以计算的定量的层面从下面几个关于直线与椭圆位置关系的问题中可略见一斑.例题研讨一、公共点问题几何的交点问题与代数的方设计意图：通过方程判别式来判断直线与椭圆的位置关

2、系, 程根问题完美结合于此.1判断直线kx y+ 3 = 0与椭圆2 2話+七=1的位置关系.分析：联想直线与圆的位置关系的判定方法：1解方程组，2运用点到直线的距离.容易想到下面的方法.活动设计:学生黑板板演，教师观察下面学生解题情况.y= kx + 3,解：由 x2 y2可得(4k2 + 1)x2 + 24kx + 20= 0, = 16(16k2 5).16 4，(1)当= 16(16k2 5)>0,即 k>丁或 k< ，直线kx y + 3= 0与椭圆16+片=1相交.当叮 5-15x2 y2= 16(16k2 5) = 0,即 k =才或 k=丁时，直线 kx y

3、+ 3= 0 与椭圆五 + : = 1相切. 5-5x y= 1616k2 5<0，即"4<k<7时，直线 kx y + 3= 0 与椭圆 晶 + ； = 1 相离. 活动结果：教师点评学生板演结果.讲解解法，突出分类讨论思想的运用.x22假设直线y = kx + 1k R与椭圆-+当m = 1恒有公共点，求实数m的取值范围.设计意图：注意根本方法解方程组的应用，另外从直线本身过定点来考虑发散学生 思维，更好地表达用代数方法解决几何问题带来的方便.解法一：解方程组y= kx + 1,2 2x y '+ _= 1,5 m '可得(5k2+ m)x2 +

4、 10kx + 5 5m = 0, a = 20m2+ 100mk2 20m > 0,即 m?1 5k 2.由m?1 5k2恒成立得m?1.a m?1且m丰5.解法二：直线恒过一定点0,1,当m<5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长b= . m,要使直线与椭圆恒有交点，那么.m?1,即 1 < m<5.当m>5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长 a= 5可保证直线与椭圆恒有交点，即m>5.综述m?1且m 5.解法三：直线恒过一定点0,1,02 12要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点0,1在椭圆上或在椭圆内部，有 5+m三1，即m?1.a m?1且m丰5.活动结果：

5、学生能想到“解法一并能很好地解决对“解法二，解法三，教师给予提示，学生自己能动手解决但教师要详细区分两种方法的异同.点评：由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接推出两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，那么1直线与椭圆相交 >0直线与椭圆相切 = 0; 3直线与椭圆相离 <0所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最根本的工具. 或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2中解法二是根据两曲线的特征观察

6、所至;解法三那么紧抓定点在椭圆上或椭圆内部这一特征:点M(xo, yo)在椭圆内部或在椭圆上,xo那么P二、弦长问题设计意图：类比在圆中求弦长的方法， 体会如何在椭圆中求弦长.并注意代数方法在几何中的应用.x23椭圆2 + y2= 1的左、右焦点分别为 Fl、F2，假设过点P(0, 2)及F1的直线交椭圆 于A , B两点，求 ABF2的面积.活动设计：学生可以分组讨论， 讨论后请学生上黑板演算，教师对得到的结果给予点评并注意解法的多样性.解法F2到直线AB的距离h =4*55y= 2x 2,注 y2= 1,可得 9x2+ 16x + 6 = 0,又 |AB| = “ 1 + k2|x1 X2

7、|=10. 291S = 2|AB|h =4 .'109解法三:令 A(x 1, y1), B(x2, y2),那么 |AF1|= a+ ex1,|BF1|= a+ ex2,其中 a= 2,e亚 e= 2 .F2到直线AB的距离h =字由y= 2x 2,可得 9x2 + 16x + 6= 0,1p/2|AB| = a+ ex1 + a+ ex2= 2a+ e(x1 + X2) = ,x2+y2= 1,活动结果：“解法一是大局部小组的方法.教师应加强离心率在求解过程中的应用. S"?AB|h = 4"910点评：在利用弦长公式|AB| = .1 + k2|x1 X2|

8、 = " , 1 + ；2|y1 y2|(k为直线斜率)或焦(左)半径公式|AB| = |PF1|+ |PF2|= a+ ex1 + a+ ex2= 2a+ e(x1 + X2)时，应结合韦达定理解决问题.解法一：由题可知：直线Iab的方程为2x + y+ 2 = 0.y= 2x 2, 由竽+ y2= 1，)4/10可得 9y2+ 4y 4= 0, |y1 y2|=y1+ y2 2 4y1y2 = . S 1|FlF2|y1 y2| = 9三、中点问题4中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两准线间的距离为 2 3，假设椭圆被直线x + y + 1 = 0截得的弦的中点的横坐标是一 2,求

9、椭圆的方程.3活动设计：学生独立思考，也可以合作讨论.多媒体展示学生解题过程也可教师提示学生的板演主要提高学生的动手能力.解法一：令椭圆方程为 mx2+ ny2= 1(0<m<n)，椭圆与直线的两交点为A(x 1, yi), B(x2,y2).由题意得xi+ X222 yi+ y23，213.y=_x 1，22n由可得(m+ n)x2+ 2nx + n 1 = 0, X1 + X2= mx2+ n y2= 1,m+ n43,即 n= 2m.又竿=2 3，即 m = 3，黑_ J，二 m = !，n =4 椭圆方程为jx2+ 4y2 = 1.解法二：令椭圆方程为 mx2+ ny2=

10、1(0<m<n)，椭圆与直线的两交点为A(x 1, y1), B(X2,X1+ X22y2).由题得一2 =_ 3,y1 + y212 =_ 3.mx2 + n y2= 1, 由2 2mx2 + n y2= 1,作差得m(X1 + X2)=y1 y2M+y2).X1 X2/ n= 2m.2a21又 2a =23，即 m1 1m n24m= 3，n= 3.=1.椭圆方程为fx2+活动结果：对学生解题过程给予评价肯定学生的劳动成果，鼓励学生大胆尝试.点评：椭圆中心定，焦点定，所以椭圆的位置定，而且由准线方程可得一个方程，还有一个方程怎么找？根据直线与椭圆相交，可联立方程组，利用韦达定理

11、解决， 事实上就是把交点问题化归为方程根的问题，有关中点问题还可设弦的两端点坐标代入椭圆方程相减，式y1 y2中含有X1+ X2, y1+ y2,三个未知量，但直接联系了中点和直线的斜率，同样可得到aX1 X2与b的关系(点差法)从而解决问题，但两者又各有弊端：韦达定理解决过程中易漏解，需关 注直线的斜率问题；点差法那么在确定范围方面略显缺乏.课堂小结1 公共点问题2.中点问题3 弦长问题. 布置作业教材习题2.2 B组 3,4.设计说明根据“以人为本，以学论教的教育理念，把学习的主动权交给学生；把思维的空间留给学生；把探索的时机留给学生； 把体会成功后的快乐送给学生； 把课堂的时间还给学生.

12、 教 师的作用应是给学生“指点迷津、引导学生“重点突破、刺激学生“深化理解、帮助学生“能力提升 把知识的形成过程转化为自学、探索、思考、发现和运用知识的过程， 以学生为主体，以合作探究、学练结合为手段，以提高能力为目的，让学生在操作中探索， 在探索中领悟，在领悟中理解，体会数学之美，探究之趣设计本节课的目的主要是进一步 落实本节课所学知识，以问题为中心，引导学生学会分析问题、解决问题，教学重要表达分层教学，让“不同的人在数学上得到不同的开展.教学中把更多的时间、时机留给学生，让学生充分地交流、探究，积极引导学生动手操作、动脑思考.教学中要关注学生是否积极地参与到发现问题、分析问题、解决问题的探

13、索 过程中去，是否能够到达掌握知识， 提高能力的目的；是否收到了理想的教学效果教学过 程中要尊重学生的自我发现，多角度地给学生以鼓励和肯定.备课资料P为椭圆上的点,Fi为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点, 当PFi丄FiA, PO/ ABO为椭圆中心时，求椭圆的离心率.分析：求椭圆的离心率，即求a只需求环c的值或乳c用同一个量表示此题没有 具体数值，因此只需把 a、c用同一量表示，由 PFi丄FiA , PO/ AB易得b= c, a= 2b.解：设椭圆方程为+ y2= i(a> b>0), Fi(- c,0), c2= a2-b2,b2P(-c, P b - b2 即一 =.b = c.a ac那么 P(-c, b“ , i-字)，即 AB / PO, kAB = koP, 又 T a= b2 + c2 = . 2b,点评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决此题的关键.2.Fi、F2是椭圆拿+古=1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一点，/ FiPF2= 90 ° 求椭圆离心率的最小值.分析：求椭圆离心率的最值或取值范围是解析几何中的重点与难点，其关键是构造一个 关于a、b、c的不等式.解：方法一利用余弦定理