正弦交流电路

1、§ 3-2周期交流电量的有效值设有一个直流电流I ,通过同一电阻R, 一个周期时间内消耗的电能为W =1 2R T。假设二者一周期内消耗的电能相等，那么有i2dtI2R T即Ii(t)2dt( 3-2-1)式中，I称为周期交流电流i(t)的有效值，它等于瞬时值i(t)的平方在一个周期内的平均值 再取平方根，因此有效值又称为均方根值。从物理意义上讲，周期电流的有效值是从功耗 相等的观点来衡量一个周期电流的大小。它把交流电流等效成一个相应的直流电流。当这 一直流电流通过同一电阻时，在一个周期时间内产生与交流电流同样的电能消耗。对于周期性变化的电压u(t)，它的有效值U也有类似的定义，即(

2、3-2-2 )11 T 2u 珂!o u(t) dt当周期性电流为正弦电流时，设i = Im sin()把电流代入式(3-2-1)，得ImTios2( t )dt0 2(3-2-3)可见正弦电流的有效值等于最大值lm除以。Um=2类似地可以得到正弦电压的最大值与它的有效值之间的关系(3-2-4 )这样，我们可以把式(3-1-1)重新表示成(3-2-5)式中，I为正弦交流电流的有效值。电气工程上一般所说的正弦电压电流的大小都是指它们的有效值。通常所说的单相交流电压为220V，电流为10A等，都是指正弦交流电的有效值。一般工程上的电气测量仪 表所指的值也大都是指有效值。§ 3-3正弦交流

3、电量的相量表示正弦量除了用波形和瞬时表达式来表示以外，利 用欧拉公式还可以表示成复指数的形 式。一个正弦交流电流i二2 Is in (t宀，)可以表示为复指数形式(3-3-1 )i *2 I sin( t：；叩)=lm、2 Ier eb t方括号内是一个复数，符号Im表示取复数的虚部。复指数的模即为正弦函数的幅值.2 I，幅角为正弦函数的相位 .r，它随时间以角度增长。假设把复数,2 Iej*ej上在复平面上的对应点与原点之间用一带箭头的有向线段相连，如图3-3-1所示，那么可得到一个幅角随 时间变化的旋转矢量。这条用来表示正弦函数的矢量称为正弦量的相量。相量在复平面上 的图形称为相量图。图中

4、画出了该相量在t=0和t =t!时的位置。当t=0时，该相量与实轴 夹角为正弦函数的初始相位角-：。该相量以角速度随时间向逆时针方向旋转，当t = &时 刻，相量转到图中虚线所示位置。此时与实轴夹角为-.t< o由图可以看出，该相量在虚 轴上的投影长度等于.2 I si n (t 即等于对应的正弦函数在该时刻的瞬时值。在用复平面上的相量表示正弦函数时，只要确定其初相位时的相量即可，即相当于取 t =0时的复指数函数 2lej*。实际的正弦时间函数只要把该复数乘以ej t ,再取其虚部就 可以得到。在电工计算中，复数中的模一般取为正弦量的有效值，即可以把复数表示为 Ier ,这里I

5、为有效值，为初相角。这样我们可以把式(3-1-1 )的正弦交流电流表示成 相量形式为I =肆(3-2-2 )或I( 3-2-3 )掌握正弦函数的瞬时值表达式，相量表示图形和复数表达式，并理解它们之间的内在转换 关系和意义，是稳态正弦交流电路中相量计算的根底。下面来讨论两个同频率正弦量的计算问题。对于图3-3-2所示的电路，假设两条支 路中的电流为h *2 I1 sin(t 宀】)i2 二対2 I2 sin( t - 2)那么合成电流i为 = i1 i2由前面分析得i =i1 i2=lm 72 lie"e+lm 72 加“飞矽=lm | J2 (h +2 )ej 上 Tm 2 I ej

6、 1=2 I sin( 1 '-)这里ll =1：lh - l2( 3-3-4 )由上式可知，要计算合成电流i只要知道合成电流的相量l即可，于是两个同频率的正弦 电流相加问题，就转化成这两个正弦电流对应的相量的相加问题，即把三角函数的相加转 化为两个复数的相加运算。我们还可以在相量图上直观地来分析两个正弦量的相量相加的意义。电流ii与i2的相 量 山、仏示于 图3-3-3 中。图 3-3-3当t =0时相量处于初始位置。按两个相量相加的平行四边形法那么，作l1与l2的合成相 量|1，如图3-3-3b所示。由图可见l在虚轴上的投影即为l1与ll2相量在虚轴上的投影值之 和，合成相量l在虚

7、轴上的投影即为i, i2的瞬时值。经过时刻t1，相量l1与l2都沿着逆时 针方向旋转了 七角度，如图3-3-3a所示，由于li与£的相对位置没有变化，因此其合成 相量|1的长度也没有变化。与t =0时刻相比，l也逆时针旋转了 七相角。此时l1与l2在虚 轴上的投影值之和仍等于合成相量在虚轴上的投影。在任意时刻都可以用合成相量l在虚 轴的投影来表示li与氐的投影之和。相量在虚轴的投影即为该相量对应的正弦函数的瞬时 值，这样两个正弦函数瞬时值相加之和就等于合成相量所表示的正弦函数瞬时值，从而把 三角函数运算变成为相量相加减的复数运算。必须指出，只有同频率的 正弦量才可以进行相量运算。图

8、3-3-4例 3-3-1 在图 3-3-4 中，比=. 2 40 sin ，t, u2 = . 2 30 sin，t 90，试求总电压 u的值。解：根据基尔霍夫定律有u =山 u2,用相量来表示那么U U2,d40 0 v U2 =30. 90'V，那么可求得U U2 =40. 0：V 30. 90：V =40 - j30V =50. 36.9V总电压u的瞬时表达式为u = .2 50 sinC t 36.9V§ 3-4正弦交流电路中的电阻元件电阻元件两端的电压与通过它的电流之间关系受欧姆定律约束。当正弦电流流过电阻 R时，如图3-4-1所示，选定电压与电流的参考方向一致，那

9、么根据欧姆定律有u =iR 3-4-1 假设选电流i为参考正弦量，那么i=2lsi nt，代入上式有u =、2 IR sin t = . 2 U sin，t电流与电压的波形示于图3-4-1中。由上可见，当流过图 3-4-1电阻的电流为正弦函数时，电阻上的电压是与电流同频率的正弦量。电流与电压同相位， 它们的有效值也服从欧姆定律，即U =IR 3-4-2如果用相量形式来表示，那么有3-4-3 U =iR上式是复数形式的欧姆定律表达式。该式同时表述了电阻元件上正弦电压与电流之间的相 位关系和有效值关系。根据式3-4-3，可画出电压、电流的相量图，如图3-4-1所示。§ 3-5正弦交流电路

10、中的电感元件线性非时变电感元件是电路中一种重要和根本的元件，在实际电路中经常遇到由导线 绕制而成的电感线圈。当电流通过自感为L的线性电感元件时，假设取电感元件两端电压与 电流的参考方向一致，如图3-5-1所示，那么由楞次定律知，电流与电压之间的关系式为d-diU|_L 3-5-1 dtdt式中，L为电感值，单位为亨利H 。图 3-5-1当通过电感的电流为正弦交流电流时，即i =.柩I si n t，代入上式可得电感元件两端的电压为九九討2| 590(3-5-2)=2Ul sin(t 901)1由上式可见，电感端电压uL是与iL同频率的正弦量，电压uL的相位超前电流iL -周期，即4rad 或

11、90 。2从式3-5-2可得，电感电流的有效值|L与电感端电压的有效值之间有关系式UL = 丫丄1 L 3-5-3式中，丄叫做电感线圈的自感电抗，简称感抗，它和电阻具有相同的量纲。当电感L的 单位取H ,角频率的单位取rad/时，感抗的单位为门。感抗一般用字母XL表示，即Ul二 L =2二 fL(3-5-4)例3-5-1 一个电阻可忽略的线圈，其电感数值为L=31.8 1OH，设流过电流i =x/Fsi n伸t -60'A，频率f=5 0Hz问线圈电压uL为多少？假设电流频率f = 5000Hz，重求线圈端电压uL。解：设电流相量1=1 -60 A,当频率f =50Hz时，感抗XL 二

12、 L =2： fL =314 31.8 10 =10-?由式3-5-5可得电压向量UL = jXLI =10. 301 V那么有 uL =2 10 si n.(临0 °)V当频率f =5000H时，感抗XL =2二fL=3 1 400 31.8 10】=1Q0电压向量 UL =jXLll =1000£30：'V，电压瞬时式 uL ='：;；2 1000 sint( ° 3 0O) V§ 3-6正弦交流电路中的电容元件线性非时变电容元件C两端加上交流电压uC时，电容中就将有电流iC流过。假设取电容 元件支路ic的参考方向与电压Uc的参考方向一致，如图3-6-1所示，那么有(3-6-1 )idq=CdUCdt dt当所施加的电压为正弦交流电压uC nf2uC Si nt - 9o时,电容电流为(3-6-2 )ic =C 包C 二 2 CUc cos，t -90 dt=2 IC s i nt 电容元件上的电压与电流的变化波形见图3-6-1 o由上分析可得，电容上电压uc与电流ic为同频率的正弦量，电流ic在相位上超前电压 UC 901 O从波形图上可看出，当电容电压过零值时，电压的变化率最大，此时流过电容的 电流幅值到达最大振幅值。而当电容电压到达最大幅值时，其电压