欧拉的一道经典的数学题

1、欧拉的一道经典的数学题欧拉 1707-1783 是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身。 欧拉编写的?无穷小分析引论?、?微分法?和?积分法?产生了深远的影响。 瑞士大数学家欧拉曾经根据一次遗产纠纷编了一道经典的数学题，题目是这样的： 父亲临终时写下遗嘱，按照以下方法分配遗产：老大分得 100 元，然后再得剩下的十分之一； 老二分得 200 元，然后再得剩下的十分之一；老三分得 300 元，然后再得剩下的十分之一；老四分得 400 元，然后再得剩下的十分之一；照此规律逐一分给孩子，遗产全局部完以后，每个孩子都很满意，都称赞父亲一点也不偏心，因为每个孩 子分得的遗产都是相等的。问：遗产总

2、数，共有孩子个数和每个孩子分得的遗产数分别是多少？解题：设：遗产总数为 x, 以老大，老二所分得的遗产相等立方程100+(X-100) X 10%=200+x-100-(X-100) X 10%-200 X 10% 解得 x=8100每人分得：100+(8100-100) X 10%=900 共有：8100/900=9 人道有趣的数列应用题有一道有趣的数列应用题，学生普遍感到疑难：某渔业公司今年初用 98万元购进一艘渔船用于捕捞， 第一年需各种费用 12 万元，从第二年 开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加 4 万元，该渔船每年捕捞总收入为 50 万元。1该渔船捕捞几年开始盈利即总收

3、入减去购船本钱及所有费用之差为正值？2该渔船捕捞假设干年后，处理方案有两种：当年平均盈利到达最大值时，以26万元的价格卖出； 当盈利总额到达最大值时， 以 8万元的价格卖出 . 问哪一种方案较为合算， 请说明理由 .解：设经过 n 年，总盈利为 y 万元 , 那么有y=50n-12 +16+(4n+12) -98=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102,(1) 当开始盈利时,y>0，即-2n2+40n-98>0 ,解得 10- V51<n<10+751, n=3,4,，17.所以从第 3 年开始盈利 .(2) 平均盈利为(-2n2+40n-98)/n=-2(

4、n+49/n)+40 < 12(n=7 时取得最大值)，即当7年时平均盈利最大，此时盈利总额为7X 12=84万元，假设以26万元价格卖出，共获利110万元.当盈利总额达最大值时， y=-(x-10)2+102 取得最大值，所以 10 年后盈利到达最大 ,此时盈 利总额为 102万元,假设以 8万元价格卖出 ,共获利 110万元.综上所述，两个方案均盈利110万元，但方案只用7年，方案要用10年，所以方案较为合理 .评点：此题的难点在理解“平均盈利和“盈利总额到达最大值两个概念平均盈利是将盈利函数除以年份，而盈利总额到达最大值是将盈利函数求其最大值应用实例：巧用数列解奥数题1、甲、乙两厂

5、生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每 个月增加一倍。一月份甲、乙两厂生产玩具的总数是 98 件，二月份甲、乙两厂生产玩具的总数 是 106 件，那么乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在几月份？分析与解：由二月份生产的玩具总数比一月份生产的玩具总数多出的件数是一月份乙厂生产的 玩具数。即一月份乙厂生产了 106-98=8 件，甲厂生产了 98-8=90 件。乙厂生产的玩具数量每月增加 一倍，有8X 2"4>90, 8X 2"3<90 ，所以在4月后。即乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的 玩具数量在 5 月份。2、

6、华罗庚金杯少年数学邀请赛， 第一届在 1986年举行， 第二届在 1988年举行， 第三届在 1991 年举行，以后每两年举行一届。第一届华杯赛所在年份的各位数字和是=1+9+8+6=24。前二届所在 年份的各位数字和是 =1+9+8+6+1+9+8+8=50。问：前 50 届华杯赛所在年份的各位数字和 等于多 少？分析与解：由题中所给规律知，前 50 届在 20 世纪内有 7 次赛事，在 2l 世纪内有 43 次赛事。在20世纪内， A2=50，其余5届年份各位数字的和是：5X (1+9+9)+(1+3+5+7+9)=95+25=120。A仁A2+120=170 在 21 世纪内的前 45

7、届年份的数字之和 是：2 X 45+(1+2+8) X 5+(1+3+5+7+9) X 9=495,前 43 届年份的数之和是：495-2-8-7-2-8-9=459。于是 A50=170+459=629。3、某车间原有工人不少于 63人，在 1 月底以前的某一天调进了假设干工人，以后，每天都新调人 1 人进车间工作。现知该车间 1 月份每人每天生产一件产品，共生产 1994件。试问： 1 月几日 开始调进工人 ?共调进了多少工人 ?分析与解：1月份共有31天，所以这个车间的原有工人至少生产出了63X 3仁1953件，或增加 3l 的倍数，但因不超过 1994件，所以工厂的原有工人生产了 19

8、53或1984件。所以，后来调进的工人生产了 1994-1953=41 件，或 1994-1984 ： 10 件产品。易知后来调进的工 人生产的产品总数是假设干个连续的自然数的和，自然数的个数即是调入的天数n连续的自然数中最小的那个数即是第一次调入的工人数。有41 = 1 X 41,所以奇约数只有1和41 ,这样的数只有一种表达为假设干个连续自然数和的形式，41=20+21。所以调入的次数 n=2,第一次调入的人数 x=20,共调进人数x+n-仁20+2-仁21人：10=2X 5，所以奇约数只有 1 和 5，这样的数只有一种表达为假设干个连续自然数和的形式，10=1+2+3+4。所以调入的次数

9、 n=4,第一次调入的人数 x=1，共调进人数x+n-仁1+4-仁4人。所以为：调人 2 天， 1 月 30 日开始调入，共调进 21 人；调人 4 天， 1 月 28日开始调入，共调 进 4 人。自然数列趣题本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的思维方法一般 是运用枚举法及分类纟充计方法，望同学们能很好地拿握它.例1小明从1写到100,他共写了多少个数字"1解：分类计算："1 "岀现在个位上的数有：1. 11. 2E 31, 41, 51, 61, 71, 21, 91 共 10 个；“1 出现在十位上的数有：10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 共 10 个："1岀现在百位上的数有：100共1个；共计 10+10+1=21 个.例2 本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请