【全程复习方略】2013版高考数学 8.2两条直线的位置关系配套课件 文 北师大版

1、第二节第二节 两条直线的位置关系两条直线的位置关系三年三年5 5考考 高考指数高考指数: :1.1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. .2.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离行直线间的距离. .1.1.两直线平行与垂直的判定、两点间距离公式、点到直线的距两直线平行与垂直的判定、两点间距离公式、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式是高考的重点；离公式、两

2、平行线间的距离公式是高考的重点；2.2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题；常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题；3.3.多以选择题和填空题为主，有时与其他知识点交汇，在解答多以选择题和填空题为主，有时与其他知识点交汇，在解答题中考查题中考查. .1.1.两条直线的平行与垂直的关系两条直线的平行与垂直的关系(1)(1)直线直线l1 1、l2 2不重合，不重合，斜率分别为斜率分别为k k1 1、k k2 2且都存在且都存在l1 1l2 2l1 1l2 2k k1 1=k=k2 2k k1 1kk2 2=-1=-1(2)(2)当直线当直线l1 1与与l2 2的斜率至少有一个不存在时：的斜率至少有

3、一个不存在时：l1 1l2 2两直线的斜率都不存在且在两直线的斜率都不存在且在x x轴上的截距不等；轴上的截距不等；l1 1l2 2一直线斜率不存在，另一直线的斜率为一直线斜率不存在，另一直线的斜率为0.0.【即时应用【即时应用】(1)(1)已知直线已知直线l1 1过点过点A(-1,1)A(-1,1)和和B(-2,-1),B(-2,-1),直线直线l2 2过点过点C(1,0)C(1,0)和和D(0,a),D(0,a),若若l1 1l2 2, ,则则a=_a=_；(2)(2)直线直线l的倾斜角为的倾斜角为3030，若直线，若直线l1 1l，则直线，则直线l1 1的斜率的斜率k k1 1=_=_；

4、若直线；若直线l2 2l, ,则直线则直线l2 2的斜率的斜率k k2 2=_.=_.【解析【解析】(1)(1)l1 1与与l2 2的斜率分别为的斜率分别为 由由l1 1l2 2可知：可知：a=-2.a=-2.(2)(2)由直线斜率的定义知，直线由直线斜率的定义知，直线l的斜率的斜率k=tan30k=tan30= = ，l1 1l，k k1 1=k= ,=k= ,l2 2l,k,k2 2k=-1,k=-1,答案：答案：(1)-2 (2) (1)-2 (2) 1-1-1k =2-2+1，2a-0k =-a,0-133332-1k =- 3.k33- 32.2.两条直线的交点两条直线的交点直线直线

5、l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与与l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的公共点的坐标与方的公共点的坐标与方程组程组 的解一一对应的解一一对应. .相交相交方程组有方程组有_，交点坐标就是方程组的解；，交点坐标就是方程组的解；平行平行方程组方程组_；重合重合方程组有方程组有_._.111222A x+B y+C =0A x+B y+C =0唯一解唯一解无解无解无数组解无数组解【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？思考：如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：提示：当两直线有一个交点时

6、，两直线相交；没有交点时，两当两直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两直线平行；有无数个交点时，两直线重合直线平行；有无数个交点时，两直线重合. .(2)(2)直线直线l1 1：5x+2y-6=05x+2y-6=0与与l2 2：3x-5y-16=03x-5y-16=0的交点的交点P P的坐标是的坐标是_._.【解析【解析】由直线由直线l1 1与与l2 2所组成的方程组所组成的方程组 得：得： 直线直线l1 1：5x+2y-6=05x+2y-6=0与与l2 2：3x-5y-16=03x-5y-16=0的交点的交点P P的坐标是的坐标是(2,-2).(2,-2).答案：答案：(2,-2)(2

7、,-2)5x+2y-6=03x-5y-16=0 x=2y=-2，(3)(3)直线直线l1 1：5x+2y-6=05x+2y-6=0与与l2 2：5x+2y-16=05x+2y-16=0的的位置关系是位置关系是_._.【解析【解析】由直线由直线l1 1与与l2 2所组成的方程组所组成的方程组 无解，无解，直线直线l1 1与与l2 2平行平行. .答案：答案：平行平行5x+2y-6=05x+2y-16=03.3.距离距离两条平行线两条平行线Ax+By+CAx+By+C1 1= =0 0与与Ax Ax +By+C+By+C2 2 = =0 0间的距离间的距离点点P P0 0( (x x0 0, ,y

8、 y0 0) )到直线到直线l: :AxAx +By +C = +By +C =0 0的距的距离离点点P P1 1( (x x1 1, ,y y1 1),),P P2 2( (x x2 2, ,y y2 2) )之间的距离之间的距离22122121PP(x -x ) (y -y )0022 Ax By Cd A B1222C -Cd A B【即时应用【即时应用】(1)(1)原点到直线原点到直线x+2y-5=0 x+2y-5=0的距离是的距离是_；(2)(2)已知已知A(a,-5)A(a,-5)，B(0,10)B(0,10)，|AB|=17|AB|=17，则，则a=_a=_；(3)(3)两平行线

9、两平行线y=2xy=2x与与2x-y=-52x-y=-5间的距离为间的距离为_._.【解析【解析】(1)(1)因为因为 (2)(2)依题设及两点间的距离公式得：依题设及两点间的距离公式得： 解得：解得：a=a=8.8.22|0+2 0-5|d= 5.1 +222(a-0) +(-5-10) =17,(3)(3)因为两平行线方程可化为：因为两平行线方程可化为：2x-y=02x-y=0与与2x-y+5=0.2x-y+5=0.因此，两因此，两平行线间的距离为：平行线间的距离为：答案：答案：(1) (2)(1) (2)8 (3)8 (3)22|5-0|d= 5.2 +(-1)55 直线平行、垂直关系的

10、判断及应用直线平行、垂直关系的判断及应用【方法点睛【方法点睛】两直线平行、垂直的判断方法两直线平行、垂直的判断方法(1)(1)已知两直线的斜率存在已知两直线的斜率存在两直线平行两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线垂直两直线垂直两直线的斜率之积等于两直线的斜率之积等于-1-1；(2)(2)已知两直线的一般方程已知两直线的一般方程可利用直线方程求出斜率，转化为第一种方法，或利用以下方可利用直线方程求出斜率，转化为第一种方法，或利用以下方法求解：法求解： A A1 1A A2 2+ +B B1 1B B2 2=0=0 l1与与l2 重合重合

11、 的充分条件的充分条件 l 1与与l2 相交相交 的充分条件的充分条件 l1与与l2 平行平行 的充分条件的充分条件 l1与与l2 垂直垂直 的充要条件的充要条件 l1: l2: 直线方程直线方程22111112222222A xB yC0(AB0)A xB yC0(AB0)111222222ABC(A B C0)ABC112222AB(A B0)AB111222222ABC(A B C0)ABC【例【例1 1】(1)(2012(1)(2012淮南模拟淮南模拟)“a=1”)“a=1”是是“直线直线x+yx+y=0=0和直线和直线x-x-ay=0ay=0相互垂直相互垂直”的的( )( )(A)(

12、A)充分不必要条件充分不必要条件 (B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件(2)(2)已知过点已知过点A(-2,m)A(-2,m)，B(m,4)B(m,4)的直线与直线的直线与直线2x+y-1=02x+y-1=0平行，则平行，则m m的值为的值为_；(3)(3)已知四边形已知四边形ABCDABCD的四个顶点的坐标分别是的四个顶点的坐标分别是A(0,1)A(0,1)，B(1,0),B(1,0),C(3,2),D(2,3),C(3,2),D(2,3),试判断该四边形的形状试判断该四边形的形状. .【解题指南【解题指南

13、】(1)(1)本题关键是看由本题关键是看由a=1a=1是否能得出两直线垂直，是否能得出两直线垂直，由两直线垂直是否能得出由两直线垂直是否能得出a=1a=1；(2)(2)可根据两直线平行，斜率相可根据两直线平行，斜率相等，得出一个等式，解方程即可求值；等，得出一个等式，解方程即可求值；(3)(3)分别求出四条边的分别求出四条边的斜率及其边长，即可判断四边形的形状斜率及其边长，即可判断四边形的形状. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选C.C.当当a=1a=1时，直线时，直线x-ay=0 x-ay=0可化为可化为x-yx-y=0,=0,此时此时x+yx+y=0=0和直线和直线x-ay=0 x-

14、ay=0相互垂直；相互垂直；当直线当直线x+yx+y=0=0和直线和直线x-ay=0 x-ay=0相互垂直时，相互垂直时，1 11+11+1(-a)=0,(-a)=0,解得：解得：a=1,a=1,因此，因此，“a=1”a=1”是是“直线直线x+yx+y=0=0和直线和直线x-ay=0 x-ay=0相互垂直相互垂直”的充要的充要条件条件. .(2)(2)因为直线因为直线2x+y-1=02x+y-1=0的斜率的斜率k=-2k=-2，又因为过又因为过A(-2,m)A(-2,m)，B(m,4)B(m,4)的直线与直线的直线与直线2x+y-1=02x+y-1=0平行，所以平行，所以 解得解得m=-8.m

15、=-8.答案：答案：-8-8(3)(3)因为四边形的顶点坐标为因为四边形的顶点坐标为A(0,1)A(0,1)，B(1,0),C(3,2),D(2,3),B(1,0),C(3,2),D(2,3),所以所以 ABCDABCD，BCADBCAD，且，且ABBCABBC，ABAD.ABAD.4-m=-2m+2，AB0-1k=-11-0，BCCDAD2-03-23-1k=1k=-1k=1.3-12-32-0，又因为又因为即即|AB|AD|AB|AD|，所以，四边形所以，四边形ABCDABCD为长方形为长方形. .22|AB|= (0-1) +(1-0) = 2，22|AD|= (0-2) +(1-3)

16、=2 2，【互动探究【互动探究】本例本例(3)(3)中条件不变，试求该四边形的四条边所中条件不变，试求该四边形的四条边所在的直线方程在的直线方程. .【解析【解析】因为因为A(0,1)A(0,1)，B(1,0)B(1,0)，所以，所以ABAB边所在的直线方程为：边所在的直线方程为： 即即x+y-1=0;x+y-1=0;又因为又因为B(1,0)B(1,0)，C(3,2)C(3,2)，所以，所以BCBC边所在的直线方程为：边所在的直线方程为： 即即x-y-1=0 x-y-1=0；同理可得：同理可得：CDCD边所在的直线方程为：边所在的直线方程为：x+y-5=0 x+y-5=0；ADAD边所在的直线

17、方程为：边所在的直线方程为：x-y+1=0.x-y+1=0.xy+=1,11y-0 x-1=2-03-1，【反思【反思感悟感悟】通过本例的解析过程可知，处理两直线的位置通过本例的解析过程可知，处理两直线的位置关系，在两直线斜率都存在的前提下，利用两直线的斜率和在关系，在两直线斜率都存在的前提下，利用两直线的斜率和在y y轴上的截距去处理；若直线的斜率不存在，则可考虑数形结轴上的截距去处理；若直线的斜率不存在，则可考虑数形结合合. .【变式备选【变式备选】若直线若直线l过点过点(-1,2)(-1,2)且与直线且与直线2x-3y+4=02x-3y+4=0垂直，则垂直，则直线直线l的方程为的方程为_

18、._.【解析【解析】方法一：直线方法一：直线2x-3y+4=02x-3y+4=0的斜率为的斜率为: :设所求直线的斜率为设所求直线的斜率为kk，所求直线与直线所求直线与直线2x-3y+4=02x-3y+4=0垂直，垂直，k kk k=-1,k=-1,k=所求直线方程为所求直线方程为即即:3x+2y-1=0.:3x+2y-1=0.2k=,33-.23y-2=-(x+1),2方法二：由已知方法二：由已知, ,设所求直线设所求直线l的方程为：的方程为：3x+2y+C=0.3x+2y+C=0.又又l过点过点(-1,2),3(-1,2),3(-1)+2(-1)+22+C=0,2+C=0,得得:C=-1,

19、:C=-1,所以所求直线方程为所以所求直线方程为3x+2y-1=0.3x+2y-1=0.答案：答案：3x+2y-1=03x+2y-1=0两直线的交点问题两直线的交点问题【方法点睛【方法点睛】1.1.两直线交点的求法两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点；方程组的解为坐标的点即为交点；2.2.过直线过直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与与A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0交点的直线系方程交点的直线系方程A A1 1x+Bx+B1 1y+

20、Cy+C1 1+ +(A(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0.()=0.(不包括直线不包括直线A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0)=0) 【例【例2 2】(1)(1)求经过直线求经过直线x+y+1=0 x+y+1=0与直线与直线x-y+3=0 x-y+3=0的交点，且也经的交点，且也经过点过点A(8,-4)A(8,-4)的直线方程为的直线方程为_；(2)(2)已知两直线已知两直线l1 1：mx+8y+n=0mx+8y+n=0与与l2 2：2x+my-1=02x+my-1=0，若，若l1 1与与l2 2相交，相交，求实数求实数m m、n n满足的条件满足的条件.

21、 .【解题指南【解题指南】(1)(1)可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；也可用过两直线交点的直线系解决；也可用过两直线交点的直线系解决；(2)(2)两直线相交可考虑直两直线相交可考虑直线斜率之间的关系，从而得到线斜率之间的关系，从而得到m m、n n满足的条件满足的条件. .【规范解答【规范解答】(1)(1)方法一：因为直线方法一：因为直线x+y+1=0 x+y+1=0与直线与直线x-y+3=0 x-y+3=0的的交点坐标为交点坐标为(-2,1)(-2,1)，直线又过，直线又过A(8,-4)A(8,-4)，所以所求直线方程，所以所求直线方程为：为： 即

22、即x+2y=0 x+2y=0；方法二：设过直线方法二：设过直线x+y+1=0 x+y+1=0与直线与直线x-y+3=0 x-y+3=0的交点的直线方程为的交点的直线方程为x+y+1+(x-y+3)=0 x+y+1+(x-y+3)=0，又因为直线过又因为直线过A(8,-4)A(8,-4)，所以，所以8-4+1+(8+4+3)=08-4+1+(8+4+3)=0，解得，解得:=:=- - 所以，所求直线方程为所以，所求直线方程为x+2y=0.x+2y=0.答案：答案：x+2y=0 x+2y=0y+4x-8=1+4-2-8，1,3(2)(2)因为两直线因为两直线l1 1：mx+8y+n=0mx+8y+

23、n=0与与l2 2：2x+my-1=02x+my-1=0相交，因此，当相交，因此，当m=0m=0时，时，l1 1的方程为的方程为 l2 2的方程为的方程为 两直线相交，此时，两直线相交，此时，实数实数m m、n n满足的条件为满足的条件为m=0m=0，nRnR；当；当m0m0时，时，两直线相交，两直线相交， 解得解得mm4 4，此时，实数，此时，实数m m、n n满足的条件为满足的条件为mm4 4且且m0m0，nRnR, ,综上所述综上所述, ,实数实数m,nm,n满足的条件为满足的条件为mm4,nR.4,nR.ny=-8，1x=2，m82m，【互动探究【互动探究】本例本例(1)(1)中的中的

24、“且也经过点且也经过点A(8,-4)”A(8,-4)”改为改为“与直与直线线2x-y=02x-y=0垂直垂直”, ,求该直线方程求该直线方程. .【解析【解析】方法一：因为直线方法一：因为直线x+y+1=0 x+y+1=0与直线与直线x-y+3=0 x-y+3=0的交点坐标的交点坐标为为(-2,1)(-2,1)，又所求直线与直线，又所求直线与直线2x-y=02x-y=0垂直，所以所求直线的斜垂直，所以所求直线的斜率率 因此所求直线方程为：因此所求直线方程为： 即即x+2y=0.x+2y=0.1k=-2，1y-1=-(x+2)2，方法二：设过直线方法二：设过直线x+y+1=0 x+y+1=0与直

25、线与直线x-y+3=0 x-y+3=0的交点的直线方程为的交点的直线方程为x+y+1+(x-y+3)=0 x+y+1+(x-y+3)=0，即，即(1+)x+(1-)y+1+3=0,(1+)x+(1-)y+1+3=0,又因为所求直线与直线又因为所求直线与直线2x-y=02x-y=0垂直，所以所求直线的斜率垂直，所以所求直线的斜率 即有即有解得解得: : 所以，所求直线方程为所以，所求直线方程为x+2y=0.x+2y=0.1k=-2，1+1-=-1-2，1=- ,3【反思【反思感悟感悟】1.1.本例本例(1)(1)中是求直线方程中是求直线方程, ,其关键是寻找确定其关键是寻找确定直线的两个条件直线

26、的两个条件, ,可以直接求交点可以直接求交点, ,利用两点式得出方程利用两点式得出方程, ,此法此法要注意两点的纵要注意两点的纵( (或横或横) )坐标相同时坐标相同时, ,两点式方程不适用两点式方程不适用, ,也可以也可以利用直线系方程求解利用直线系方程求解, ,其关键是利用已知点求其关键是利用已知点求的值的值; ;2.2.本例本例(2)(2)考查两直线相交的条件考查两直线相交的条件, ,即斜率不等或有一条直线的即斜率不等或有一条直线的斜率不存在斜率不存在. .【变式备选【变式备选】当当m m为何值时，三条直线为何值时，三条直线l1 1：4x+y-3=04x+y-3=0与与l2 2：x+yx

27、+y=0,=0,l3 3：2x-3my-4=02x-3my-4=0能围成一个三角形能围成一个三角形? ?【解析【解析】三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点，所以点，所以解得：解得：又因为又因为l1 1：4x+y-3=04x+y-3=0与与l2 2：x+yx+y=0=0的交点为的交点为(1,-1)(1,-1)，所以，所以2+3m-42+3m-400，解得，解得2-43m(m0)2-13m，12m-m-63且，2m3；当当m=0m=0时，时，l3 3:2x-4=0,:2x-4=0,l1 1:4x+y-3=0,:4x+y-3=0,l2 2:x+y

28、=0,:x+y=0,l1 1与与l3 3的交点为的交点为(2,-5)(2,-5)，l1 1与与l2 2的交点为的交点为(1,-1),(1,-1),l2 2与与l3 3的交点为的交点为(2,-2)(2,-2)，能构成三角形，符合题意，能构成三角形，符合题意. .综上可知：综上可知：122m-,m-m.633且距离公式的应用距离公式的应用【方法点睛【方法点睛】1.1.两点间的距离的求法两点间的距离的求法设点设点A(xA(xA A,y,yA A),B(x),B(xB B,y,yB B) )，特例：特例：ABxABx轴时，轴时，|AB|=|y|AB|=|yA A-y-yB B|;|;AByABy轴时，

29、轴时，|AB|=|x|AB|=|xA A-x-xB B|.|.22ABAB|AB|= (x -x ) +(y -y ) .2.2.点到直线的距离的求法点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式必须为一般式. .3.3.两平行直线间的距离的求法两平行直线间的距离的求法(1)(1)利用利用“化归化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离任意一点到另一条直线的距离. .(2)(2)利用两平行线间的距离公式利用两平行线间的距离公式. .【提

30、醒【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时应用两平行线间的距离公式求距离时, ,要注意两平行要注意两平行直线方程中直线方程中x x、y y的系数必须相等的系数必须相等. . 【例【例3 3】已知点】已知点A(2A(2，-1)-1)，(1)(1)求过点求过点A A且与原点距离为且与原点距离为2 2的直线的直线l的方程；的方程；(2)(2)求过点求过点A A且与原点距离最大的直线且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多的方程，最大距离是多少？少？(3)(3)是否存在过点是否存在过点A A且与原点距离为且与原点距离为6 6的直线？若存在，求出方的直线？若存在，求出方程；若不存在程；若不存在. .

31、请说明理由请说明理由. .【解题指南【解题指南】(1)(1)因为已知直线过点因为已知直线过点A A，因此可选择点斜式方程，因此可选择点斜式方程，利用到原点的距离为利用到原点的距离为2 2列方程，解方程即可，但要注意对斜率列方程，解方程即可，但要注意对斜率不存在的讨论；不存在的讨论；(2)(2)易知最大距离时的直线与易知最大距离时的直线与AOAO垂直，这样问垂直，这样问题即可解决；题即可解决；(3)(3)可由可由(2)(2)知道距离的最大值，从而得出直线是知道距离的最大值，从而得出直线是否存在否存在. .【规范解答【规范解答】(1)(1)过点过点A A的直线的直线l与原点距离为与原点距离为2 2

32、，而点，而点A A的坐标的坐标为为(2,-1).(2,-1).当斜率不存在时，直线当斜率不存在时，直线l的方程为的方程为x=2x=2，此时，原点到直线，此时，原点到直线l的距的距离为离为2 2，符合题意；，符合题意；当斜率存在时，设直线当斜率存在时，设直线l的方程为的方程为y+1=k(x-2)y+1=k(x-2)，即，即kx-y-2k-1=0kx-y-2k-1=0，由已知得，由已知得 解得解得 此时直线此时直线l的方程为的方程为3x-4y-10=0,3x-4y-10=0,综上可知：直线综上可知：直线l的方程为的方程为x=2x=2或或3x-4y-10=0.3x-4y-10=0.2|-2k-1|=

33、2,k +13k=4，(2)(2)过点过点A A与原点与原点O O距离最大的直线是过点距离最大的直线是过点A A与与AOAO垂直的直线，由垂直的直线，由lAOAO，得，得k klk kOAOA=-1=-1，所以，所以 由直线的点斜式得由直线的点斜式得y+1=y+1=2(x-2)2(x-2)，即，即2x-y-5=02x-y-5=0，即直线，即直线2x-y-5=02x-y-5=0是过点是过点A A且与原点距离且与原点距离最大的直线最大的直线l的方程，最大距离是的方程，最大距离是 (3)(3)由由(2)(2)可知，过点可知，过点A A不存在到原点距离超过不存在到原点距离超过 的直线，因此的直线，因此

34、不存在过点不存在过点A A且与原点距离为且与原点距离为6 6的直线的直线. .OA1k =-=2kl，|-5|= 5.55【反思【反思感悟感悟】1.1.在解答本题时，直线斜率存在时在解答本题时，直线斜率存在时, ,根据题设根据题设条件，由点到直线的距离公式得关于斜率的方程，同时注意讨条件，由点到直线的距离公式得关于斜率的方程，同时注意讨论斜率不存在的情况；论斜率不存在的情况；2.2.求距离的最值时，除了考虑距离公式求距离的最值时，除了考虑距离公式所要求的条件，以防漏解、错解外，还要注意数形结合思想的所要求的条件，以防漏解、错解外，还要注意数形结合思想的应用应用. .【变式训练【变式训练】已知已

35、知A(4,-3),B(2,-1)A(4,-3),B(2,-1)和直线和直线l:4x+3y-2=0:4x+3y-2=0，在坐，在坐标平面内求一点标平面内求一点P P，使，使PAPA=|PB|=|PB|，且点，且点P P到直线到直线l的距离为的距离为2.2.【解析【解析】设点设点P P的坐标为的坐标为(a,b(a,b).).A(4A(4，-3)-3)，B(2,-1)B(2,-1)，线段线段ABAB的中点的中点M M的坐标为的坐标为(3(3，-2)-2)，线段线段ABAB的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为y+2=x-3,y+2=x-3,即即x-y-5=0.x-y-5=0.由题意知点由题意知点P(a

36、,bP(a,b) )在上述直线上，在上述直线上，a-b-5=0.a-b-5=0.又点又点P(a,bP(a,b) )到直线到直线l：4x+3y-2=04x+3y-2=0的距离为的距离为2 2， 即即4a+3b-2=4a+3b-2=10,10,联立联立可得可得 或或所求点所求点P P的坐标为的坐标为(1(1，-4)-4)或或|4a+3b-2|=2,5a=1b=-427a=7.8b=-7278(,-).77【变式备选【变式备选】过点过点P(-1,2)P(-1,2)引一直线，两点引一直线，两点A(2,3)A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)到到该直线的距离相等，求这条直线的方程该直线的距离相等，

37、求这条直线的方程. .【解析【解析】方法一：当斜率不存在时，过点方法一：当斜率不存在时，过点P(-1,2)P(-1,2)的直线方程的直线方程为：为：x=-1x=-1，A(2,3)A(2,3)到到x=-1x=-1的距离等于的距离等于3 3，且，且B(-4,5)B(-4,5)到到x=-1x=-1的距的距离也等于离也等于3 3，符合题意；，符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为当直线的斜率存在时，设斜率为k k，过点，过点P(-1,2)P(-1,2)的直线方程为：的直线方程为：y-2=k(x+1)y-2=k(x+1)，即，即kx-y+k+2=0kx-y+k+2=0，依题设知：依题设知：22|2k-3

38、+k+2|-4k-5+k+2|=,k +1k +1解上式得：解上式得：所以，所求直线方程为：所以，所求直线方程为：x+3y-5=0 x+3y-5=0；综上可知综上可知, ,所求直线方程为所求直线方程为x=-1x=-1或或x+3y-5=0.x+3y-5=0.方法二：依题设知：符合题意的直线共有两条，一条是过点方法二：依题设知：符合题意的直线共有两条，一条是过点P(-1,2)P(-1,2)与与ABAB平行的直线，另一条是过点平行的直线，另一条是过点P P及及ABAB中点的直线中点的直线. .因为因为A(2,3)A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)，所以，所以1k=-3，AB3-51k=-2+

39、43，因此，过点因此，过点P P与与ABAB平行的直线的方程为：平行的直线的方程为：即即x+3y-5=0;x+3y-5=0;又因为又因为A(2,3)A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)的中点坐标的中点坐标D(-1,4)D(-1,4)，所以过点所以过点P P及及ABAB中点的直线方程为中点的直线方程为x=-1x=-1；综上可知综上可知, ,所求直线方程为所求直线方程为x=-1x=-1或或x+3y-5=0.x+3y-5=0.1y-2=- (x+1),3对称问题对称问题【方法点睛【方法点睛】1.1.对称中心的求法对称中心的求法若两点若两点A(xA(x1 1,y,y1 1) )、B(xB(x2

40、2,y,y2 2) )关于点关于点P(a,bP(a,b) )对称，则由中点坐标对称，则由中点坐标公式求得公式求得a a、b b的值，即的值，即2.2.轴对称的两个公式轴对称的两个公式若两点若两点M(xM(x1 1,y,y1 1) )、N(xN(x2 2,y,y2 2) )关于直线关于直线l：Ax+By+CAx+By+C=0(A0)=0(A0)对称，对称，则线段则线段MNMN的中点在对称轴的中点在对称轴l上，而且连接上，而且连接MNMN的直线垂直于对称轴的直线垂直于对称轴l. .1212x +xy +ya=b=22，；故有故有3.3.对称问题的类型对称问题的类型(1)(1)点关于点对称；点关于点

41、对称；(2)(2)点关于直线对称；点关于直线对称；(3)(3)直线直线 关于点对称；关于点对称；(4)(4)直线关于直线对称直线关于直线对称. .以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于直线对称以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于直线对称. 12121212x +xy +yA()+B()+C=0 22.y -yB=x -xA 【例【例4 4】已知直线】已知直线l：2x-3y+1=02x-3y+1=0，点，点A(-1,-2).A(-1,-2).求：求：(1)(1)点点A A关于直线关于直线l的对称点的对称点AA的坐标；的坐标；(2)(2)直线直线l关于点关于点A A的对称直线的对

42、称直线l的方程的方程. .【解题指南【解题指南】(1)(1)可设对称点可设对称点AA的坐标为的坐标为(m,n(m,n) )，利用，利用AAAA与与直线直线l垂直以及线段垂直以及线段AAAA的中点在直线的中点在直线l上，得出关于上，得出关于m m、n n的方的方程组，解方程组即可得程组，解方程组即可得AA的坐标；的坐标；(2)(2)本题实质上是求直线的方程，可想法找到两个点的坐标，本题实质上是求直线的方程，可想法找到两个点的坐标，即可求出直线即可求出直线l的方程的方程. .也可在也可在l上任取一点，利用该点关于上任取一点，利用该点关于点点A A的对称点在直线的对称点在直线l上即可得出方程上即可得

43、出方程. .【规范解答【规范解答】(1)(1)设对称点设对称点AA的坐标为的坐标为(m,n(m,n) )，由已知可得，由已知可得解得解得 即即 n+22=-1m+13m-1n-22-3+1=022，33m=134n=13，33 4A(,).13 13 (2)(2)方法一：在方法一：在l上任取两点上任取两点(1,1)(1,1)与与(0, )(0, )，则它们关于点，则它们关于点A(-1A(-1，-2)-2)的对称点坐标为的对称点坐标为(-3,-5)(-3,-5)与与l的方程为的方程为: : 化简得化简得2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.方法二方法二: :设点设点P(x,yP(x,y) )为

44、为l上任意一点，则点上任意一点，则点P P关于点关于点A A的对称点的对称点为为P(-2-x,-4-y)P(-2-x,-4-y)，又因为，又因为PP在直线在直线l上，所以，上，所以，2(-2-x)-2(-2-x)-3(-4-y)+1=03(-4-y)+1=0，即即2x-3y-9=0. 2x-3y-9=0. 1313(-2,-)3y+5x+3=,13-2+3+53【反思【反思感悟感悟】1.1.此题是点关于线对称，线关于点对称，这类此题是点关于线对称，线关于点对称，这类问题都要抓住对称的特征解决问题问题都要抓住对称的特征解决问题. .2.(1)2.(1)利用方程思想利用方程思想;(2);(2)利用

45、中点坐标公式，找到已知点与未利用中点坐标公式，找到已知点与未知点之间的关系，最后利用曲线方程的概念代入求解知点之间的关系，最后利用曲线方程的概念代入求解. .【变式训练【变式训练】求直线求直线m m：3x-2y-6=03x-2y-6=0关于直线关于直线l：2x-3y+1=02x-3y+1=0对称对称的直线的直线mm的方程的方程. .【解析【解析】由由 解得解得m m与与l的交点的交点E(4,3)E(4,3)，E E点也在直线点也在直线mm上上. .在直线在直线m m：3x-2y-6=03x-2y-6=0上取一点上取一点A(2,0)A(2,0)，设，设A A点关于直线点关于直线l的对称的对称点点

46、B B的坐标为的坐标为 (a,b(a,b) )，则，则3x-2y-6=02x-3y+1=0， 由由 解得解得由两点式得直线由两点式得直线mm的方程为的方程为即即9x-46y+102=0.9x-46y+102=0.b-02=-1a-23a+2b+02 ()-3 ()+1=022，6 30B(,). 13 13y-3x-4=,306-3-41313【创新探究【创新探究】新定义下的直线方程问题新定义下的直线方程问题 【典例】【典例】(2012(2012上海模拟上海模拟) )在平面直角坐标系中，设点在平面直角坐标系中，设点P(x,yP(x,y) )，定义定义OP=|x|+|yOP=|x|+|y| |，

47、其中，其中O O为坐标原点为坐标原点. .对于以下结论：对于以下结论：符合符合OP=1OP=1的点的点P P的轨迹围成的图形的面积为的轨迹围成的图形的面积为2 2；设设P P为直线为直线 上任意一点，则上任意一点，则OPOP的最小值为的最小值为1 1；其中正确的结论有其中正确的结论有_(_(填上你认为正确的所有结论的序填上你认为正确的所有结论的序号号) .) .5x+2y-2=0【解题指南【解题指南】根据新定义，讨论根据新定义，讨论x x的取值，得到的取值，得到y y与与x x的分段的分段函数关系式，画出分段函数的图像，即可求出该图形的面积；函数关系式，画出分段函数的图像，即可求出该图形的面积

48、；认真观察直线方程，可举一个反例，得到认真观察直线方程，可举一个反例，得到OPOP的最小值为的最小值为1 1是假命题是假命题. .【规范解答【规范解答】由由OP=1OP=1，根据新定义得：，根据新定义得：|x|+|y|x|+|y|=1,|=1,上式可化为：上式可化为：y=-x+1(0 x1)y=-x+1(0 x1)，y=-x-1(-1xy=-x-1(-1x0)0)，y=x+1(-1x0)y=x+1(-1x0)，y=x-1(0 x1),y=x-1(0 x1),画出图像如图所示：画出图像如图所示：根据图形得到：四边形根据图形得到：四边形ABCDABCD为边长是为边长是 的正方形，所以面积的正方形，所以面积等于等于2 2，故，故正确；正确；当点当点P P为为 时，时，OP=|x|+|yOP=|x|+|y|= +0|= +01,1,所以所以OPOP的最的最小值不为小值不为1 1，故，故错误；错误；所以正确的结论有：所以正确的结论有：. .答案：答案：22(0)5，2