2013年全国高考理科数学试题及答案新课标

1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I 卷)数学(理科)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。-、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.(1)已知集合A=xx22xA0,B=tx-V5x0,b0)

2、的离心率为ab三5,则C的渐近线方程为2,、1(A)y=-x4-11(B)y=x(C)y=x32(D)y=x(5)执行右面的程序框图，如果输入的tw-1,3，则输出的s属于(A)-3,41(B)匚5,2(C)匚4,3(D)1-2,5】8667t3cm32048冗3cm3(7)设等差数列Q的前n项和为Sn,若Sm=2,Sm=0,Sm由=3,则m=(A)3(B)4(C)5(D)6(8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)16+8 冗(B)8+8 冗(C)1616 冗(D)8+16 冗(6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水，当

3、球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度，则球的(B)(D)体积为项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=22(10)已知椭圆E：与+t=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于a2b2(12)设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,cn,an右b1G,b+c=2a1,an由=an,bn+=2(A)1SJ为递减数列(B)kJ为递增数列化2nl为递增数列，n为递减数列a,(x+y2m书展开式的二(A)5(B)6(C)7(D)8A、B两点。若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(A)22工上二1453622xy

4、.(B)+工=13627(C)22二L=1271822xy/(D)一=1189(11)已知函数f(x)=-x2+2x,0f(x)之ax,则a的取值范围是(B)(-8,1(C)2-21(D)2-2,01_bnancn由一，人2(x+y2m展开式的二项式系数的最大值为(9)设m为正整数,(D)S2n/为递减数列，8/为递增数列第n卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题第 24 题为选考题，考生依据要求作答。二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.(13)已知两个单位向量 a,b的夹角为 60,c=ta+(1t)b.若 b,c=

5、0,则t=.(14)若数列Gn的前n项和为Sn=2an+1,则数列的通项公式是d=33(15)设当x=8时，函数f(x)=sinx2cosx取得最大值，则cosQ=.(16)若函数f(x)=(1x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=2对称，则f(x)的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分 12 分)如图，在4ABC中，/ABC=90,AB=G,BC=1,P为4ABC内一点，/BPC=901(I)若PB=一，求PA；2(n)若/APB=150,求tan/PBA.(18)(本小题满分 12 分)如图，三棱柱ABCAB1G中，CA=CB,AB=AA1,

6、NBAA1=60.(I)证明ABAC;(n)若平面ABC，平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1cle所成角的正(19)(本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验一1,八一,1假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为-,且各件产品2是否为优质品相互独立.(I)求这批产品通过检验的

7、概率；(n)已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望。(20)(本小题满分 12 分)已知圆M：(x+1)2+y2=1,圆N：(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(I)求C的方程；(n)l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求AB.(21)(本小题满分 12 分)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d)若曲线y=f(x)和曲线丫=(*)者6过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(I)

8、求a,b,c,d的值；(n)若x之一 2 时，f(x)kg(x),求k的取值范围.请考生在第 22、23、24 题中任选一道彳答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.(22)(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B,点C在圆上，/ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.(I)证明：DB=DC;(n)设圆的半径为1,BC=0,062u)(24)(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x1+2x+a,g(x

9、)=x+3.(I)当a=2时，求不等式f(x)-1,且当x=-3，不时，f(x)g(x),求a的取值氾围2013 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案一.选择题(1)B(2)D(3)C(7)C(8)A(9)B(4)CAACIO)D(II)D(12)B(17)解工(I)由已知得，PBC=60e,所以/尸助二30，在也尸胡中.由余弦定理得H1*=3+L2M8530。=工.424故F月二百2(H)设由已知得产8=4”.在户初中，由正弦定理得=一迦巴.-，化简得085(1=4$inc?.sin150*中城30*。)所以tana,即tanNFBA不.44(18)解：(【)取/B的中点a连结oc,。

10、4,4乩因为8=CB,所以OCL/B.由于乂=41，/助=60%故羽田为等边三角形,所以04J.H8因为OCnQ/i=0,所以平面Q/C.又4。二平面Q&C.故/E_L4c.二.填空髓(13)2=-解答题(14)(女 7由(I)知。C_L川S,OA.1AB.又平面/SCL平面孔,交线为AB,所以0cl.平面故勿,OAX,OC两两相互垂直.以。为坐标原点.况的方向为x轴的正方向，|65|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,由题设知40,0,034(0,行,0).C(0,0,百)，则前=0,0,6),而小石，=(-，.而二(0,一出,行).设k,E)是平面BBCC的法向量.则

11、*g=0,即 1 日=0.可取”(61).krt,BBi=0.+d3y=0.她/7nH,/故cos(n,AC)=-=-mii/ci5所以4c与平面BgC所成角的正弦值为邛.jj(19)解：(I)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件4.第一次取出的4件产品全是优质品为事件4,第二次取出的4件产品都是优质品为事件用，第二次取出的1件产品是优质品为事件纥，这批产品通过检验为事件，依题意有d=(4BjU(4&),且与透鸟互斥,所以pa)=p(4Rj+p(4B。=尸(4)/用4)+尸(4)P(414)4111=x+X-)6161623=,64(II)JT可能的取值为40C,500,800

12、,并且产2400)=1-2-W，尸(=500)=5，尸吠=的。)斗所以X的分布列为X400500800尸11正164砒=400+500 xL800=506.25.16164(20)解，由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径弓二1：0耳的圆心为NQ0)，半径弓二3.设圆尸的圆心为尸厂),半径为我.(I)因为圆尸与圆”外切并且与圆N内切，所以伊A/|+|/W|=(尺+/)+(3-R)=1+=4,由椭网的定义可知.曲线C是以A，N为左，右焦点，长半轴长为2,短半轴长为百的椭圆(左顶点除外)，其方程为+匕=1(H=-2).43(II)对于曲线C上任意一点尸由于|尸-|FM=2火=2W2,所以RW2.

13、当且仅当困尸的圆心为(2,0)时，R=2.所以当圆尸的半径最长时，其方程为(x-2)J+/=4,若/的倾斜角为90,则，与y轴重合，可得卜切=2A.若/的恒斜角不为90。由勺工大知/不平行于工轴，设/与工轴的交点为0则留5r=3,可求得0(一4,。)，所以可设，:尸=*(1+4).由/与圆材相切得隹L，l,I0M4Jl+Jt)五解得心士才.当人邛时，瓯邛升近代入%g,并整理得m8=0,二土产所以|月昨拒铲X-巧巧.-当时,由图形的对称性可知|/同=.综上.|4342百或|力用二弓.(21)解,(I)由已知得0)=2.爪0)=2,尸(0)=4,(0)=4,而八工)=2工+%gCc)=/(G+d+

14、c),故从而1=4,b=2,”2,d=2+CH)由(1)知，/(X)=X1+4JC+2,g(x)=2ef(x+l).设函数F(x)=(x)-/(x)=2kcl(x+】)-/-4x-2,则F(x)=2*e*(x*2)-2x-4=2(x+2乂在1).由题设可得网0)云0,即#21.令尸(X)=0得x尸-In心巧n-2.解得入当上=(i)若1应上七:则一2七W0.从而当xE(-2,*)时，F*(x)0.即尸(外在(-2,演)单调递跋，在(4的)雎调递埴故尸在1-2,+co)的最小僮为打不).而户(*)，2玉+2-,-4玉一2=一玉(马+2)30.故当工Z-2时,仪工)0.即/3)W4Q)恒成立.(i

15、i)若Jt=/,则Fx)=2eJ(x+2XeJ-e),从而当-2时，Fx)0,即F(x)在(-2,y)单调递增.而/-2)=0,故当M2-2时,F(幻?0.即/(X)其炫(切恒成立.(iii)若A，则尸(2)=-2检一+2=-”T值一。工)0.从而当工、一2时，/(H)小妖(外不可能恒成立.综上.上的取值范围是1,1.(22)解；CI)连结D&交BC于点G.由弦切角定理得，2BE=BCE.而4&EMCEE*故CBE=RCE“BECE.又因为DHLBE,所以DE为直径，/DCE=90。由勾股定理可得OS不DC.(II)由(I)知，Z.CDE=ZBDE,DB=DC,故AG是BC的中