线性代数试题及答案

1、线性代数习题和答、单项选择题（本大题共第一部分选择题（共28分）14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式a11a21a12a22二ma13a11a23a21=n,则行列式A.m+nC.n-ma11a12'a13a21a22a23B.-(m+n)D.m-n2.设矩阵A=03则A-1等于（A.C.00已300012>D.3-13.设矩阵*.,八是八的伴随矩阵，则A中位于（1,2）的元素是（A.-6C.24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有（A.A=0C.A#0时B=C5.已

2、知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（B.6D.2)B.B#C时A=0D.|A|¥0时B=CA.1C.36.设两个向量组A.有不全为B.有不全为C.有不全为D.有不全为AT)等于(B.2D.451,0的数0的数0的数22,as和31,32,，3s均线性相关，则（0的数入入入入入2,2,2,2入s使入1(X1+入2a2+入sas=0和入1B1+入2B2+入sBs=0入s使入1（入s使入1（s3s=07 .设矩阵A的秩为r,则A中（A.所有r-1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08 .设Ax=b是一非齐次线性方程组，A.刀1+刀2是Ax=0的一个解C.Y1-Y2是Ax=0的一

3、个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（人.秩（A）n1+31)+入2(“2+2)+入s(as+3s)=01-31)+入2(a2-32)+入s(入s和不全为0的数B.所有D.所有Y2是其任意B.；D.21Y1+2as-3s)=0科2,，Ws使入1“1+入2a2+入s“s=0r-1阶子式全为0r阶子式都不为02个解，则下列结论错误的是（22是Ax=b的一个解11-Y2是Ax=b的一个解)B.秩(A尸n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10 .设A是一个n（>3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数入和向量a使Aa=Xa,则a是A的属于特征值入的特征向量B.如存在数入和非零向量a,使

4、（入E-A）a=0,则入是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值，“1,a2,"3依次是A的属于入1,入2,入3的特征向量，则a1,a2,a3有可能线性相关11 .设入0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入°的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（）A.k<3C.k=3B.k<3D.k>312 .设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A1=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13 .设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）A. A与B

5、相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D.A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（12A.口1C.03I,4/00、2-3-35)&41B.Q6)111、D.120402>第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。1 1115.356=9253616 .设A=1-11B='123）.则A+2B=.411）1-1-24，17 .设A=（aj）3%3,|A|=2,Aj表示|A|中元素司的代数余子式（i,j=1,2,3）,则（anA21+a12A22+a13A23）

6、+（a21A21+a22A22+a23A23）+（a31A21+a32A22+a33A23）=.18 .设向量（2,-3,5）与向量（-4,6,a）线性相关，则a=.19 .设A是3X4矩阵，其秩为3,若刀1,刀2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20 .设A是mXn矩阵，A的秩为r（<n）,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.21 .设向量a、3的长度依次为2和3,则向量a+3与a-3的内积（"+3,a-3）=.22 .设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为.01062、23 .设矩阵A=1与与，已

7、知a=-1是它的一个特征向量，则a所对应的特征值为.<-2108/<2）24.设实二次型f（X1,X2,X3,X4,X5）的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为三、计算题（本大题共20,25.设A=340,L21/7小题，每小题6分，共42分）B=,23-11V-240.求(1)ABT；(2)|4A.26.试计算行列式3-521110-5-13132乂1-327.设:"41303求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组a1=试判断a4是否为a29.设矩阵A=<1-2213-24-13-141，-1203220623<4&32、-6349

8、,的线性组合;若是，则求出组合系数。求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。,030.设矩阵A=-212-24-3的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形、2-2c2.f(X1,X2,X3)=X1+2x23x3+4x1X24xx34x2X3,并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆，且（E-A）33.设Y)(1)(2)答案:0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，刀1二刀0+E1,刀2二刀0+E2均是Ax=b的解;40,1,42

9、线性无关。-1一2=E+A+A.E2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分,1.D6.D11.A2.B7.C12.B二、填空题（本大题共15.63337）3.B8.A13.D10空，每空4.D9.A14.C2分，共20分)28分)5.C10.B16.37j17. 418. -1019. Y11+C(刀2-刀1)(或Y2+C(刀2-刀1),c为任意常数20. n-r21. -522. t223. 1222224. Z1Z2Z3-Z4、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）-225.解(1)ABT=311 E 1+I2 E 2= 0.818101

10、0；|A|二(2)|4A|二43|A|=64|A|,而=-2.所以14A|=64(-2)=-128-1226.解-52110-5-1-1101-5-5-6-6-5二30 10= 40.27.解AB =A+2 B 即(A - 2E)B=A,而23尸<1(A -2E) -1-12-56-3<1所以B=(A-2E)-1A=-5-8-6-9-63./2130,0-53-2、1与01*1与0-102240112<3419J013-1121所以a4=2a1+22-卜a3，：组合系数为(2129,28.解一1,1).解二考虑44=x1a1+x2a2+x3a3,-2x1x23x3=0X1-3

11、x2=-1|2x22x3=43x14x2-x3=9.方程组有唯一解(2,1,1)T,组合系数为(2,1,1).29.解对矩阵A施行初等行变换彳-2-102"0006-2A)0328-2力963-210-'0(1)秩-2023284006-200-2171-2-1003280003©000二3=B.10;B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3.B的第1、2、4列是B的列向(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形,量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。(A的第1、2、5列或1、3、4歹U,或1、3、5列也是)30

12、.解A的属于特征值入=1七1=(2,-1,0)T,经正交标准化，得的2个线性无关的特征向量为七2=(2,0,1)T12<5/5X,刀1=-V5/5,<0/2回15、刀2=4V5/151/3,-1E 3= 2 ,经单位化得.一2所求正交矩阵为T=,1 0对角矩阵 D= 0 10 0金5/5(也可取T =0工百/5入=-8的一个特征向量为1/3刀3=2/3.123j'2/5/5245/151/3"-<5/5475/152/30而/3-2/3,00-82J15/151/3,-75/32/3.)-4/15-2/3；31.解 f(X1, X2,X3)=(X1+2X2-2x3)=(X1+2X2-2x3)2-2X22+4X2X3-7X322-2(X2-X3)2-5X32.y1=X1+2x2-2x3设=V2=X2-X3,J3=X3'彳-2因其系数矩阵C=0100X1=y1-2y2即方X2=y2+y3,X3=y301可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(X1,X2,X3)的标准形y1-2y2-5y3.四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)32 .证由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2.33