线性代数试卷及答案详解

1、«线性代数A»试题(A卷)试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：题号一一二四五六七总分得分阅卷人一.单项选择题(每小题3分，共30分)1 .设A经过初等行变换变为B,则().(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。(A)r(A)<r(B);(B)r(A)=r(B);(C)r(A)>r(B)；(D)无法判定r(A)与r(B)之间的关系。2 .设A为n(n之2)阶方阵且|A|=0,则()。(A)A中有一行元素全为零；(B)A有两行(列)元素对应成比例；(C)A中必有一行为其余行的线性组合；(D)A的任一行为其余行的线性

2、组合。3 .设A,B是n阶矩阵(n之2),AB=0,则下列结论一定正确的是：()(A)人=0或8=0;(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=0的解.(C) BA=0;(D) R(A)R(B)<n.4 .下列不是n维向量组巴,口2,.,0线性无关的充分必要条件是()(A) 存在一组不全为零的数K,k2,.,ks使得K%+k2a2+.+ks«s0；(B) 不存在一组不全为零的数匕*2,，K使得ki%+k2c(2+ks%=O(C) «i,0(2,.,«s的秩等于S；(D) %,u2，,as中任意一个向量都不能用其余向量线性表示1 a aa 1 a5.设n阶

3、矩阵(n >3) A =.a.,若矩阵A的秩为n-1,则a必为(a a a . 1,1(A)1;(B)-，(C)-1;1 -na100b10 a2 b26.四阶行列式的值等于(0b3a30b400a4)。(A)a1a2a3a4 -bb2b3b4；(D)1n -1(B) a1a2a3a4 +hb2b3b4；(C)(aa2 bb2)(a3a4 b3b4) ；(D)(a2a3b2b3)(224bb,).7.设A为四阶矩阵且|A| = b,则A的伴随矩阵A*的行列式为()。(A) b；(B)b2;(C) b3；(D) b48 .设A为n阶矩阵满足A2+3A+In=O,In为n阶单位矩阵，则A，=

4、()(A)In；(B)A+3In；(C)-A-3In；(D)3A+I9 .设A,B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是()。(A)A与B的秩相同；(B)A与B的特征值相同；(C)A与B的特征矩阵相同；(D)A与B的行列式相同；第 #页共6页10 .设A为n阶矩阵，则A以0为特征值是人=0的(A) 充分非必要条件;(B) 必要非充分条件;(C) 既非充分又非必要条件;(D) 充分必要条件;二.填空题(每小题3分,共18分)计算行列式04322.1J79上03.二次型f (X,x2,x3)=x1 x2 x2x3 + x3x1对应的对称矩阵为4.已知 % =(0,0,1),(阴卓,0), % =(

5、啜孝,0)是欧氏空间L3的一组标准正交基,第 5页共6页则向量一：=(1,1,1*这组基下的坐标为74-15.已知矩阵A =-1的特征值为=3(二重),%=12,则x=4-4x)6.设口1,口2,口3土匀为3维列向量，记矩阵A=(C(1,O(2,O(3),B=(C(1十口2十口3户1+92+典3% +筑2 +9%)。如果 | A|=1 ,则 | B| 二2 3-1一2 11AX =B,求X。.(8分)A=.31四.(10分)设向量组由=(1,1,2,3)T,5=(1_1,1,1)1o(3=(1,3,3,5)T,5=(4,2,5,6)T,豆5=(-3,-1,-5,-7)To试求它的秩及一个极大无

6、关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。XiX2PX3-2五.(12分)讨论线，f方程组x1+px2+X3=1解的情况，并在有无穷多解时求其解pXiX2X3=11124、六.（14分）设A=12-22,（1）、求出A的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩阵T,I42b使得TAT为对角矩阵。七.（8分）对任意的矩阵A,证明：（1） A+AT为对称矩阵，A-AT为反对称矩阵；（2） A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。线性代数A参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）12345678910BCDABDCCCD二、填空题（每小题3分，共18分）1、256;n3212122、

7、-4-6-5；3、120198,1-204、1,72,0;5、4;6、2。三.解：因为矩阵A的行列式不为零可利用下列初等行变换的方法：，则A可逆，因此X=A-B.为了求A-B,0-10-1271427103.）103）103；6分）27四.解：对向量组（-1,22,33,44j55）14108分）口12产304,05作如下的初等行变换可得:从而%,二2,二3,:-91,2,3,4,5214-31114-3,3-2_1T0-22-6235-50-11-31567J10-22-62111021-25分）（8分）第 11页共6页10分)且%2ct1U-2，a4=31+3t2，a52%4五.解：对方程

8、组的增广矩阵进行如下初等行变换:，11p-2”1p11PP111)1p，10©11P-11-Pp1-p1-p212pp1-2p-11-p3-一2，一02-p-p4+2p,o0p1001-p-(2p)(p-1)-23(4分)4+2p)(1)当p100,且(2+p)(p1)/0时，即p=1,且p。2时，系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.(5分)(2)当p=1时，系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.(6分)(3)当p=-20寸，此时方程组有无穷多组解11-2-2''11-2-2'111-211.0与33q017111)©3一

9、3d0方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为10-1-1-2-1-100)0111(8分)9000，故原方程组与下列方程组同解X1一 X3 二-1令X3=0,可得上述非齐次线性方程组的一个特解£=(-1,-1,0)T；X1-x3=0,一一.，*.*它对应的齐次线性方程组X13的基础解系含有一个元素，令X2-X3=0x=1,可得。=（1,1,1）T为该齐次线性方程组的一个解，它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为k。、+ki这里ko,ki为任意常数.（12分）征多项式六.解：（1）由于A的特九-1-2-4一-一一一一一2.一|%IA|=-2九+2-2=（九+3）（%6）故

10、A的特征值为 = -3 （二重特征值）， = 6。（3分）故属于特征值 % = -3的所有-4-21-1基础解系为：1=-1,2,0T,：2=-1,0,1特征向量为k10tl+k*2,k1,k2不全为零的任意常数。（6分）当 =6时，由（I A）X =0,即:一 5-24-28-2TxJ -0-2 x2 = 0 得基5？3.0础解系为03=2,1,2T,故属于特征值入2=6的所有特征向量为k3a3,k3为非零的任意常数。（8分）（2）将1al,汽2正交化可得二1 十1,2,0T,=ot2,1To再将其,豹,P2 _ ； 4/52V5 751T町 卜 15，- 15，3T将4单位化彳导:%=12,1,2|。（12分）|1333则7产2产3是A的组单位正交的特征向量，令T =1, 2, 31=_552r5 554 5 T5-2 5一 15,53-31则T是一个正交矩阵，且T,AT=-3。（14分）:.6J七.证明：（1）因为（A+AT）T=AT+（AT）T=A+AT,因此A+AT为