线性系统特征根与零输入响应分析

1、证明：1）若A矩阵的所有特征根均有负实部，响应系统的零输入响应在t-8时趋近于零，给出例子；2）若A矩阵有正实部特征根时，系统的零输入响应可能趋近于零，给出正反两个例子；3）若A矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，则当纯虚根的重数大于1时，系统的零输入响应可能会趋近于零，给出正反两个例子；（CW0）4）讨论上述各种情况与系统传递函数的零极点对消的关系，针对所举的例子作说明。系统的状态空间描述为:X=AX+BUy=CX+DU当系统的的输入为零时，则状态空间描述可写为：X=AXy=CX那么该系统的输出为(t>0):y=CeAtX(0)而eAt=L-1(SI-A)-1将式1-4代

2、入1-3中有：y=CL1(SI-A)-1X(0)设其拉氏变换为：D(S)=D(S)N(s)=(S-g)(S-a2)(S-03)?(S-寄-1)(S-%)其中N(s)的阶次大于D(s)的阶次。那么式1-6可化为：D(S)8皮国,-1再rrrzr=-r+-r+=:+?+:+-:N(S)(S-OCi)(S-0C2)(S-0(3)(S-On-1)(S-On)1-71)由于A矩阵的特征根均有负实部，即“1、勾、03?孙-1、%均在复平面的左边，那么对上式进行拉式反变换有：L-1(黑)=31ea1t+feea2t+feea3t+?+3n-1e"1t+3neantN(S).“1、2、”3?如-1、

3、%均在复平面的左边,t-8.当t-oo时，e型一0,则有当t一8时，y?0例1:设有一状态空间模型为:1 0U0-14-7.875-5.625800X+020y=00.6250.625X取初始状态为X（0）=1,其零输入响应如图表 1所示:图表2可以看到在t-8时有，其零输入响应趋近于0。2)若A矩阵有正实部特征根时，由式1-7,我们可以取练有正实部(然为出、生、口3?%-1、方中的某一个数)，那么4的拉式反变换为国eakt。S-akV为有正实部.&eakt在t一00时发散。即该系统的零输入响应在非零状态下且t00时趋近于OO若式1-6可化为D(S)=D'(S)(S-碌)N(S

4、)=(S-ai)(S-a2)?(S-俅)？(S-On-1)(S-On)则：D(S)D'(S)-=:N(S)(S-ai)(S-02)?(S-寄-i)(S-On)可以看到极点练与零点练抵消了，由式2-1与式1-6类似t->oo当t8,依然有y?0。例2：设有一状态空间模型为：-32.530.5X=400X+0U0200y=00.50.25X1取初始状态为X(0)=1,其零输入响应如图表2所示：1口/i;n5，5一图表2可以看到在t-8时有，其零输入响应趋近于8。例3:设有一状态空间模型为：-32.531X=400X+0U0200y=00.25-0.375X1取初始状态为X(0)=1,

5、其零输入响应如图表3所示：1图表3可以看到在t-8时有，其零输入响应趋近于0。例2,例3系统的特征根相同，但是他们同状态下的响应却不同，前者在t-8时其零输入响应趋近于8,而后者在t-8时其零输入响应趋近于0。s-3由于例3系统的传递函数为y=(s+2)(S-3)(s+4)，显然s-3项上下抵消，所以该系统等效的传递函数为y=高即，此时特征根3并不影响系统的输出。D(S) = _N(s) = (s-D(S)我们抽出重根项:L-1 % S3 z (S2+自1 S3ai)( S-Pk2S2(S2+ ak)2 +3k2S222) ? (S2 + ok)2 ? (S- o(n-i )( S-on)Pk

6、3S1+“4(S2+ ak)(S2+ «k)柒3©3k4(S2 +ok)2(S2+ok)2(S2+ok)2(S +ok)2 = (at + b)sin w t3)若A矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，且纯虚根的重数大于1。我们以纯虚根的重数等于2为例，朱为正实数，那么式1-6可写为：其中a,b,3均为常数，a、3w0。当t一8时，at一oo,所以有y可能趋近于8(在±8处而当式3-1能化为：D(S)=D10(82+综)2N()=(S-3(S-a?)?(S2+稣)2?(S-寄-1)(S-%)可以看出重根项可以被消除，则式3-3可写为：D(S)_D&#

7、39;(S)N(s)=(S-%)(S-吩2(S-寄-1)(S-寄)t->oo由1)可得：当t一8时，e«it0,则有当t一OO时，y?01例4：设有一状态空间模型为：-5-2.5-1.25-0.875-0.625-0.750.254000000X=040000X+0U002000000100000001001y:=00000.1250.125X取初始状态为X(0)：1=11,其零输入响应如图表4所示：图表4可以看到在t-8时有，其零输入响应趋近于8(在±8处震荡)。例5:设有一状态空间模型为:-5-2.5-2.5-3.5-2.5-324000000X=020000X+

8、0U001000000010000000100y=0.50.1250.250.250.250.25X二中看I图表5可以看到在t-8时有，其零输入响应趋近于0。例4,例5系统的特征根相同，但是他们同状态下的响应却不同，前者在t8时其零输入响应趋近于+po,而后者在t8时其零输入响应趋近于0。（s+1）（s2+2）2由于例5系统的传递函数为y=（s+（2）（s2（+2）2（S+3），显然S-3项上下抵消，所以该系统等效的传递函数为y=肃焉,此时重虚根并不影响系统的输出。4）当A矩阵的所有特征根均有负实部，响应系统的零输入响应在t-8时趋近于零，系统稳定；如例1所示。当A矩阵有正实部特征根时，系统的零输入响应可能趋近于零，此时系统部分状态不稳定。由于系统结构，可能存在系统的输出与这部分不稳定的状态无关，即存在零极点对消的情况，把正实部特征根抵消了。那么系统输出稳定。如例2、例3所示.当A矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，则当纯虚根的重数大于1时，系统的零输入响应可能会趋近于零。1.当它的重数为1时，其它特征根均有负实部，且没有被零点抵消，此时系统状态临界稳定，系统输出临界稳定。2.当存在零极点对消，把纯虚根抵消了，此时系统的输出与该特征根无关，系统状态临界稳定，系统输出稳定。3.当它的重数为2时，其它特征根均有负实部，且没有被零点抵消，此时系统状态不稳定，