2004—数一真题、标准答案及解析

1、全国硕士研究生入学统一考试数学一真题、填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上)(1)曲线 y=lnx 上与直线x+y=1垂直的切线方程为.(2)已知f(ex)=xe,且 f(l)=0,则 f(x)=(3)设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分(xdy2ydx的值为(4)欧拉方程x2dy+4xdy+2y=0(xA0)的通解为.dxdx210(5)设矩阵A=120,矩阵 B 满足ABA=2BA+E,其中A为 A 的伴随矩阵，E 是单位：。01一矩阵，则 B=.(6)设随机变量 X 服从参数为九的指数分布，则PXA，5X=.二、选择题(本题

2、共 8 小题，每小题 4 分，茜分32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)xo_x2-.x&把XT0时的无穷小量口=(costdt,P=&tanVtdt,了=夕sintdt,使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A);：，.(B)：,-.(C)-,：,.(D),：.(8)设函数 f(x)连续，且f(0)A0,则存在00,使得(A)f(x)在(0,6)内单调增加.(B)f(x)在(，0)内单调减少(C)对任意的 xW(QS)有 f(x)f(0).(D)对任意的x=(-5,0)有 f(x)f(0).Q0(9)设an为

3、正项级数，下列结论中正确的是n1Q0(A)若limsnan=0,则级数an收敛.n；.nn1QO(B)若存在非零常数九，使得“m_nan=九，则级数Zan发散.nn112)设 A,B 为满足 AB=O(A)A 的列向量组线性相关,(B)A 的列向量组线性相关,(C)A 的行向量组线性相关,(D)A 的行向量组线性相关,PX|1)独立同分布，且其方差为仃20.令Y=Xi,则nid2、一.2.24.设eab2(b-a).e(16)(本题满分 11 分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆

4、时的水平速度为 700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0M106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(C)oC若级数工an收敛，则limn2an=0.n,n1卜一(D)QO若级数Zan发散,则存在非零常数n4九，使得以回tt(10)设 f(x)为连续函数，F(t)=jdyff(x)dx,则F(2)等于(A)2f(2).(B)f(2).(C)f(2).(D)0.(11)设 A 是 3 阶方阵，将A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C,则满足AQ=C 的可逆矩阵 Q 为010(A)100：1

5、01_010(B)101.(C)：001_010100011_011(D)100：001_的任意两个非零矩阵，则必有B 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关B 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关(13)设随机变量 X 服从正态分布N(0,1),对给定的 a(0ot0)的上侧.(18)(本题满分 11 分)设有方程xn+nx1=0,其中 n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn,并证明当汽A1时，级数zxH收敛.n4(19)(本题满分 12 分)设 z=z(x,y)是由x26xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，求z=z(x,y)的极值点和极值(20)(本题满分 9 分)

6、设有齐次线性方程组(1a)x1-x2*+xn=0,2x1(2a)x22xn=0,(n-2)nxnx2，(na)xn=0,试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解(21)(本题满分 9 分)12-3设矩阵A=-14-3的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论a51A 是否可相似对角化(22)(本题满分 9 分)_1_1_1设 A,B 为随机事件，且P(A)=-,P(BA)=-,P(AB)=-,令1,A发生1,B发生，X=jY=J0,A不发生0,B不发生求：(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布；(II)X 和 Y 的相关系数PXY.(23)(本题满分 9 分)设总体 X 的分布函数

7、为d1(X；)二/r,O,x1,x-1,其中未知参数11,Xi,X2，Xn为来自总体X的简单随机样本，求:(I)P的矩估计量；(II)P的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注、填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上)(1)曲线 y=lnx 上与直线x+y=1垂直的切线方程为y=x1.【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1,由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标.1，一.【详解】由y=(lnx)=1,得 x=1,可见切点为(1,0),于是所求的切线方程为xy-0=1(x-1),即y=x-1.1m.【评汪】本题也可先设切

8、点为(x0,lnx0),曲线 y=lnx 过此切点的导数为寸=一=1,得x0=1,x0Vx0由此可知所求切线方程为y0=1(x1),即y=x1.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.xx12(2)已知f(e)=xe，且 f(1)=0,则 f(x)=-(lnx)【分析】先求出f(x)的表达式，再积分即可.【详解】令ex=t,则x=lnt,于是有lntlnxf(t)=,即f(x)=.txlnx1积分得f(x)=fdx=(lnx)2+C.利用初始条件 f(1)=0,得 0=0,故所求函数为 f(x)=x2(lnx)2.2【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分(3)设L为正向

9、圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分(xdy2ydx的值为【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分二二022sin2W=【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参2【详解】正向圆周x+y=2在第一象限中的部分，可表示为Lxdy-2ydx=o2.2coS.2coS22sin.2sind-【详解】令则崇2=eHT222dy1dy1dydt1dydy-=Z+-=dx2x2dtxdt2dxx2dt2dt代入原方程，整理得d2ydy2-+3+2y=0，dt2dt1 212dy.dyaxb+bx+cy=f(x),dx2dx2可

10、化为a/常喙cy=f(et).矩阵，则*ABAA=2BAA+A,3AB=6B+A,即(3A6E)B=A,再两边取行列式，有3A6E|B=A=3,数法化为定积分计算即可(4)欧拉方程x2d2ydx2/dy4xdx+2y=0(x0)的通解为y=1+c2.xx【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换x=et化为常系数线性齐次微分方程即可而3A-6E=27,故所求行列式为B=19解此方程，得通解为上2y二ceC2e二CiC2【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令x=e，则欧拉方程21(5)设矩阵A=12-00010,矩阵 B 满足ABA1*.、.、*=2BA+E,其中A为 A 的伴随矩阵,E

11、 是单位【分析】可先用公式_*_AA=AE进行化简【详解】已知等式两边同时右乘 A,得【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*AA=AA=AE进行化简.,，、一1(6)设随机变量 X 服从参数为九的指数分布，则PX0,使得(A)f(x)在(0,6)内单调增加.(B)f(x)在(-5,0)内单调减少(C)对任意的xW(0,6)有 f(x)f(0).(D)对任意的xW(乐0)有 f(x)f(0)CA,一般均应先利用公式【详解】x口：tan.tdtlim-=lim-0-；x)0 x0 x2.ocostdt【分析】函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排

12、除导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解】由导数的定义，知f0);limf(x)f0,xx根据保号性，知存在每0,当xw(-5,0)U(0,6)时，有f(x)-f(0)n0 x即当xw(5,0)时，f(x)f(0).故应选(C).【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论.O0(9)设an为正项级数，下列结论中正确的是n=48(B)若存在非零常数九，使得limnan=九，则级数an发散.n.nn42右级数工an收敛，则limnan=0.n)二n4od(E)若级数zan发散，则存在非零常数工，使得limnan=九.Bnmn二【分析】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往

13、往可用反例通过排除法找到正确选项1一一二一二1【详解】取an=，则limnan=0,但Zan=Z发散，排除(A),(D)；nlnnn-ndnmnlnn-1二，,一.2又取an=一广,则级数乙an收敛，但limnan=c0,排除(C),故应选(B).nnnmn【评注】本题也可用比较判别法的极限形式,a1.limnan=/im=九#0,而级数Z一发放，因此级数Zan也发散，故应选(B).n-n1n4nn4ntt(10)设 f(x)为连续函数，F(t)=dy(f(x)dx,则F(2)等于(A)od若limnan=0,则级数工an收敛.n-)二(C)(A)2f(2).(B)f(2).(C)f(2).(

14、D)0.B【分析】先求导，再代入 t=2 求F(2)即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变重 t.【详解】交换积分次序，得ttF(t)=1dy(f(x)dx=If(x)dydx=f(x)(x-1)dxF(t)=f(t)(t-1),从而有F(2)=f(2),故应选(B).【评注】在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x:b(x)否则,x)f(t)dt=fb(x)b(x)-fa(x)a(x)a(x)应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上(11)设 A 是 3 阶方阵，将AQ=C 的可逆矩阵 Q 为的第

15、1 列与第2 列交换得 B,再把B 的第 2列加到第 3 列得 C,则满足(A)(B)一01(C)一01(D)一01110【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质，对矩阵，而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积.【详解】由题设，有D作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等可见，应选-01一1B0I1oo.1-oO1O1oOo-O1o.A(D).011一0110二C-【评注】涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系12)(D)(E)(F)(D)设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有AAAA的列向量组线性相关,的列向量组线性相关,的行向量组线性相关

16、,的行向量组线性相关,BBBB的行向量组线性相关.的列向量组线性相关.的行向量组线性相关.的列向量组线性相关.【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从零解进行分析讨论.【详解 1】设 A 为mn矩阵，B 为ns矩阵,A,B 是否行(或列)满秩或则由 AB=O 知,r(A)r(B)0,r(B)0.可见 r(A)n,性相关，故应选(A).【详解 2】由 AB=O 知，B 的每一列均为 Ax=0A 的列向量组线性相关.AAx=0(Bx=0)是否有非r(B)n,即 A 的列向量组线性相关,的解，而 B 为非零矩阵，即 Ax=0B 的行向量组线存在非零解，可见同理，由 AB=O 知，BTAT=O,

17、于是有BT的列向量组，从而 B 的行向量组线性相关，故应选(A).【评注】AB=O 是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的:1)AB=O=r(A)r(B):二n;2)AB=O=B 的每列均为 Ax=0 的解.(13)设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1),对给定的 a(0auj=o(,若PXx=a,则x等于(A)u-.2(B)U1:.2(C)U三(D)UI-此类问题的求解，可通过U的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论x二PX之处=PX之x+PXEx=2PX之x.2(A)Cov(X1,Y)=n2(B)Cov(X1,Y)=；【详解】由标准正态分布概率密度函数的对称性知

18、,PX1)独立同分布，且其方差为仃20.令Y=一Xi,则nidn22(C)D(XIY)=；n(D)本题用方差和协方差n12D(XI-Y)2.n的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：1-a=1-PX11.-Cov(X1,X1)Cov(X1,Xi)Cov(X1,Xi)=0,i-2,3,n.1J【详解】Cov(X1,Y)=Cov(X1,Xj)=ny=DXia:-nn【评注】本题(C),(D)两个选项的方差也可直接计算得到：如2n3n2n32二二二nnn-2n2n-22一2一二二二一nn(15)(本题满分 12 分)2、一一.2.2设eabe 时，邛(x)0,故里(x)单调减少，从而当exe2时,

19、8(x)A(e2)=4-4=0,ee即当exe 时，邛(t)0,所以中(t)单调减少，从而中仁)a 中(e2),即lnlne222，e故ln2b-ln2a4八、2(ba).e【证法 2设(x)=ln所以当因此当ex中(a),rr2424即lnb-2blna-a,ee故In2b-ln2a3(b-a).e2242【评汪】本题也可设辅助函数为中(x)=lnx-lna-二(x-a),eaxe或e2242邛(x)=ln2bln2x-(b-x),exb0)的上侧.【分析】先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】取乙为 xoy 平面上被圆x2

20、+y2=1所围部分的下侧，记 C 为由工与 Z1 围成的空间闭区域,t故v(t)=v0em.飞机滑行的最长距离为x=0v(t)dtmv0ek，dx-t,或由=v0e,知dtx(t)kkv0t出=(em-1),故最长距离为当tT8时，m【详解 3】根据牛顿第二定律,d2x得m-rdt2dx-k出d2xdt2kdx八十=0,dt其特征方程为故x=C1k+0=0,m_kt解之得,1=0,2C2e=0,vt=0dxdtt=0kC2emktJv。，得Ci=-C2m%kx(t)=mvo_kt(1-em).当 tT+8 时,x(t)贤.05(km).332I=2xdydz2ydzdx3(z-1)dxdy11

21、2x3dydz2y3dzdx3(z2-1)dxdy.%由高斯公式知33222i2xdydz2ydzdx3(z-1)dxdy6(xyz)dxdydz.二T1I:2二1J22二60di0dr0(z+r)rdz而JJ2x3dydz+2y3dzdx+3(z2-1)dxdy=-口-3dxdy=3n,、x2y2d故I=2二-3二-二.【评注】本题选择1 时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧(或内侧)，再就是在I 上直接投影积分时，应注意符号(取下侧，与 z 轴正向相反，所以取负号).(18)(本题满分 11 分)设有方程xn+nx-1=0,其中 n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn,并证明当 aA1

22、 时，级【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定【证】记fn(x)=xn+nx1.由fn(0)=-10,及连续函数的介值定理知,方程xn+nx-1=0存在正实数根xnw(0,1).当 x0 时，f；(x)=nxn,+n0,可见fn(x)在0,一)上单调增加，故方程xn+nx1=0存在惟一正实数根xn.由xn+nx1=0与xn0知11时，0:二xn：二(厂.n11二12二.。 广22-r)32_r(1-r)dr=2二.0:二xnn1-xn1,故当nn而正项级数工收敛，所以当口下1时，级数工x，收敛.ndnn1【评注】本题综合考查了介值定理和无穷级数的

23、敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要.2所以A故AC-B220-2-2y-2:z-2.x36类似地，由.2A二zA二22-x(9,3,3)口-2y*-2(二)2-2B二二二1(9,34)6.x.y(9,3,3)-2-2zz=0,2y(9,3,3)30,从而点(9,3)是 z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.2CCZB二xy=1,C=(92.2二z(-9)基本概念清楚，应该可以轻松求证(19)(本题满分 12 分)设 z=z(x,y)是由x26xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，求z=z(x,y)的极值点和极值.【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求

24、出一阶偏导,后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值2_2_2_【详解】因为x-6xy+10y-2yz-z+18=0,所以cCc：zczc2x6y2y2z=0,：:x；x-6x20y-2z-2y-2z=0.jy；:yx-3y=0,-3x10y-z=0,x=3y,z=y.再令其为零确定极值点即可，然-=0,-=0:y将上式代入2-6xy10y2-2yz-z+18=0,可得x=9,y=3,z=3二-9,-3,-3.由于-2cc 一z2-2yex：z2-2()2.x-2cz八-2z-=0,x-6-2-2yFx；x:y二z二z2-2z:y；x-2:z二0,xy一，21_1可知 ACB=0,又 A=0,从而点(-9,-3)是 z(x,y)的极大值点，极大值为366z(-9,-3)=-3.【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y,z 满足原方程.(20)(本题满分 9 分)设有齐次线性方程组(1+a)Xi+X2+Xn=0,2x1十(2+a)x2+2xn=0,(n-2)I1nxinx2+(n-a)xn=0,试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，