线性代数重要知识点及典型例题答案

1、线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和aijn（1）（J1J2Jn'aljia2j2anjnj1j2jn（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：行列式行列互换，其值不变。（转置行列式DDT）行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。行列式具有分行（列）可加性将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列

2、）展开：余子式Mj、代数余子式Aj（1）ijMij定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：Dj非齐次线性方程组：当系数行列式D0时，有唯一解：XjL（j1、2n）D齐次线性方程组：当系数行列式D10时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零aii知ai3转置行列式：a2ia22a23a3ia32a33特殊行列式:对称行列式：aj ajiaiia2ia3ia12a22a32a13a23a33奇数阶的反对称行列式值为零aiia12a13三线性行列式：a2ia220a3i0a33反对称行列式：aj aji上（下）三角形行列式方法：用ka22把a2i化为零,。

3、化为三角形行列式行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念：An（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵）矩阵的运算：加法（同型矩阵）交换、结合律数乘kA（kaj）m*n-分配、结合律lm*n注意什么时候有意义A*B(aik)m*i*(bkj)i*n(aikbkj)乘法1AB=0 ,不能得 A=0或B=0AT BT一般AB=BA,不满足消去律；由转置（AT）TA（AB）T(kA)TkAJ(AB)TBTAT(反序定理)方哥：Ak1Ak2Ak1k2（Ak1）k2Ak1k2几种特殊的矩阵：对角矩

4、?车：若AB都是N阶对角阵，k是数，则kA、A+B、AB都是n阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的，A1B（非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵）初等变换1、交换两行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）的K倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的

5、（对换阵倍乘阵倍加阵）等价标准形矩阵DrIr OO O矩阵的秩r（A）:满秩矩阵降秩矩阵若A可逆，则满秩若A是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵（k）。k（aj）n,行列式kaijnknaijn逆矩阵注：AB=BA=I则A与B一定是方阵BA=AB=I则A与B一定互逆；不是所有的方阵都存在逆矩阵；若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律：111、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且（A

6、1）1Ai1.12、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且（kA）-Ak3、可逆矩阵A的转置AT也是可逆的，且（AT）1（A1）T4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且（AB）1B1A11但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但（AB）ABA为N阶方阵，若|A|=0,则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。5、若A可逆，则A1A1伴随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵：AA1A12A21A22（代数余子式）特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2,前提是每个矩阵都可逆）A B1、分块矩阵D则DO CA» » 3 4AA22、准对角矩阵AA3* *3、 AA A A AI1

7、 A 1 A 1BC 1O C 1A 11，则 A1A211A3A4A4、A* A A 1 （A 可逆）5、* 1*1.6、A A1A （A 可逆）A7、AT*8、 AB B A判断矩阵是否可逆：充要条件是A0,此时A171rAA求逆矩阵的方法：定义法AA1I*A伴随矩阵法A1AA初等变换法A|InIn|A1只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系：设Aajm*n是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的m阶初等矩阵左乘以A:对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘以A(行变左乘，列变右乘)第三章线性方程组消元法非齐次线性方程组：增广矩阵一简化阶梯型矩

8、阵r(AB)=r(B)=r当r=n时，有唯一解；当rn时，有无穷多解r(AB)r(B),无解齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n当齐次线性方程组方程个数未知量个数，一定有非零解当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|二0齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个N维向量：由n个实数组成的n元有序数组。希腊字母表示(加法数乘)特殊的向量：行(列)向量，零向量依负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系：|线性组合或线性表示(量组间的线性相关(无)：定义P79向量组的秩：极大无关组(定义P188)定理：如果j,j,.j是向量组1,2,.s的线性无关的部

9、分组，则它是j1J2Jr1ss极大无关组的充要条件是：1,2,.s中的每一个向量都可由i,i,.i线性表出。I，2，sJ1'J2'Jr秩:极大无关组中所含的向量个数。定理：设A为m*n矩阵，则r（A）r的充要条件是：A的列（行）秩为r。现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量“3若k则”是3线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合向量组间的线性相关（无）注：n个n维单位向量组一定是线性无关一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关含有零向量的向量组一定是线性相关若两个向量成比

10、例，则他们一定线性相关向量3可由1,2,.n线性表示的充要条件是r（1T2TnT）r（1T2TnTT）判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设k1k2.kn,求k1k2.kn（适合维数低的）2、向量间关系法P；83：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关3、分量法（n个m维向量组）B80：线性相关（充要）r（1T2T.nT）n线性无关（充要）r（1T2T.nT）n推论当m=n时，相关，则1T2T3T0；无关，则1T2T3T0当m<n时，线性相关2, 23,s 1推广：若向量1,2,.s组线性无关，则当s为奇数时，向量组也线性无关；当s为偶数时，向量组也线性相关。可由向量组 1, 2,.

11、s线性表出，且定理：如果向量组1,2,.s,线性相关，则向量表示法唯一的充分必要条件是1,2,.s线性无关。极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的;不全为零的向量组的极大无关组一定存在；无关的向量组的极大无关组是其本身；向量组与其极大无关组是等价的。齐次线性方程组（I）解的结构：解为1,2(I)的两个解的和2仍是它的解;(I)解的任意倍数k还是它的解；(I)解的线性组合G1c22.css也是它的解，c1,c2，cs是任意常数。非齐次线性方程组(II)解的结构：解为1,2.(II)的两个解的差12仍是它的解；若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX

12、=O的一个解，则u+v是(II)的一个解。定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩r(A)rn,则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r个解。若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的全部解，则u+v是(II)的全部解。第四章向量空间向量的内积实向量定义：(a, 3)=Ta1bla2b2.anbn性质：非负性、对称性、线性性(%k 3)=k( % 3)；,2(k%k 3)=k (% 3);(“+3,)=(“， )+(即 )+(自)+(8 );rsr s(ki i, lj j)kilj( i, j), , , Rn,i 1j 1i 1 j 1向量的长度IIJ(

13、,)0的充要条件是a=0； a是单位向量的充要条件是(a,单位化向量的夹角a) =1正交向量：a 3是正交向量的充要条件是(a, 3) =0正交的向量组必定线性无关正交矩阵：n阶矩阵AAAT AT A I性质:1、若A为正交矩阵，则A可逆，且A1AT,且A1也是正交矩阵;2、若A为正交矩阵，则A1;3、若A、B为同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵;4、n阶矩阵A=（a。）是正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组是标准正交向量;第五章矩阵的特征值和特征向量特征值、特征向量为A的一A是N阶方阵，若数使AX=X,即（I-A）=0有非零解，则称个特征值，此时，非零解称为A的属于特征值的特征向量。|A|=

14、1*注：1、AX=X2、求特征值、特征向量的方法IA0求i将i代入（I-A）X=0求出所有非零解3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的）C1特殊：（I）n的特征向量为任意N阶非零向量或C2（Ci不全为零）Cn4、特征值：若（0）是A的特征值一11贝UA-mm则a则kAk2一.右A=A贝=0或1若A=1贝U=-1或1若Ak=O贝U=0迹tr(A)：迹(A)二如a22ann性质：1、N阶方阵可逆的充要条件是A的特征值全是非零的2 、A与A1有相同的特征值3 、N阶方阵A的不同特征值所对应的特征向量线性无关4 、5、P281相似矩阵定义P283:A、B是N阶矩阵，若存在可逆矩阵P,

15、满足P1APB,则矩阵A与B相似，记作AB性质1、自身性：AA,P=I2 、对称性：若AB则BAP1APBAPBP1(P1)1BP1A113 、传递性：若AB、BC则ACP1AP1BP2BP2C-1-(P1P2)1A(P1P2)C4、若AB，则A与B同(不)可逆5、若AB，则A1B1P1APB两边同取逆，P1A1PB16、若AB，则它们有相同的特征值。(特征值相同的矩阵不一定相似)7、若AB，则r(A)r(B)初等变换不改变矩阵的秩例子：P1APB则A100PB100P11P1APOA=OP1APIA=I1P1APIA=I矩阵对角化定理：N阶矩阵A与N阶对角形矩阵相似的充要条件是A有N个线性无

16、关的特征向量注：1、P与人中的xi与i顺序一致2、A则人与P不是唯一的推论：若n阶方阵A有n个互异的特征值，则AA(P281)定理：n阶方阵Aa的充要条件是对于每一个Ki重特征根i,都有r(iIA)nKi注：三角形矩阵、数量矩阵I的特征值为主对角线。约当形矩阵1约当块：形如J的n阶矩阵称为n阶约当块；1J1约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵JJ2（Ji是约当块）Jn称为约当形矩阵。定理：任何矩阵A都相似于一个约当形矩阵，即存在n阶可逆矩阵P1APJ。第六章二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n元多项式f（）称为一个n元二次型，简称二次型。标准型：形如的二次型，称为标准型。规范型：形如

17、的二次型，称为规范型。线性变换矩阵的合同：设AB是n阶方阵，若存在一个n阶可逆矩阵C,使得则称A与B是合同的，记作AB。合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换（二次型中不含有平方项）第一章行列式.行列式的定义和性质1.余子式Mj和代数余子式Aj的定义例1行列式011101110111第二行第一列元素的代数余子式A21(A.2B.1C.1D.2测试点余子式和代数余子式的概念解析答案B011110111101111021.A21(1)M212.行列式按一行或一列展开的公式n1)AaijnaijAj,j1,2,Ln;(Aaiji1aijAij,ij11,2,Ln)n

18、2)aijAiki1kjnAkikj;j1ajd0ki例2设某3阶行列式的第二行元素分别为1,2,3,对应的余子式分别为3,2,1则此行列式的值为.测试点行列式按行（列）展开的定理212223解D(1)A212A223A23(1)(1)M212(1)M223(1)M2334310例3已知行列式的第一列的元素为1,4,3,2,第二列元素的代数余子式为2,3,4,x问x测试点行列式的任意一行（歹U）与另一行（歹U）元素的代数余子式的乘积之和为零.解因第一列的元素为1,4,3,2,第二列元素的代数余子式为2,3,4,x,故1243（3）42x0所以x1克拾3.行列式的性质1)ATA.2)3)互换行列

19、式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论4)如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5)行列式可以按任一行（列）拆开所得新行列式与原行列式的值相等a11队a132a112a122a13例4已知a21a22a233,那么a21a22a23a31a32a332a312 a322 a33行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上,6)(A.24B. 12用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式=原行列式的C.测试点解析2a112al22a13a11a12a13a21a22a232 ( 2)a21a22 a232a312a322a33a31a32a33行列式的性质12.

20、D.12答案B例5设行列式a1 b1a2b2=1a1a2C1C2=2,则a1a2b1b2C1C2A.3B.C. 1D.测试点行列式的性质aia2bib2C1C2a1a2bib2a2C1C2故应选答案D二.行列式的计算1 .二阶行列式和三角形行列式的计算2 .对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算3 .对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开4 .行列式中各行元素之和为一个常数的类型5 .范德蒙行列式的计算公式受拾吏1114113112111111的值.例6求4阶行列式测试点行列式的计算1 11 11 21 11 43 11

21、11 11 1 10 0 20 1 00 0 0(3)123233100233100203解2494992004992004090(1)(1)(2)(2)(1)(3)367677300677300607例7计算3阶行列式123233249499367677xaaaaxaaaaxaaaax例8计算行列式:测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧xaaxDaaaaaaaaxaaxx3aax3axx3aax3aaaaaaxaaxx3aaaa0xa0000xa0000xa(x3a)(xa)3.ab0L000abL00例9计算行列式Dn00aL00MMMOMM000Labb00L0a测试点行列式中有一

22、行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算解Dna b 0 L0 a b L0 0aLM M M O0 0 0 Lb 0 0 L=aA11bAn1=aM11 +b(n 1nn 1. n1) Mm a ( 1) b00L0100L20例10计算行列式D6MMOMM05L0060L00解D60 0 L0 0 LM M N0 5 L6 0 L(6)(5)(4)1)3 M M O0 0 L0 0 L0 00 0M M 6!5 00 62231xxx例11设D(x)124813927141664问(1)D(x)中，x3项的系数=?2)方程D(x)0有几个根？试写出所有的根。测试点1.范德蒙行

23、列式的判别和计算公式;2.行列式按行(歹U)展开的定理124解(1)x3项的系数A14(1)51391416(32)(42)(43)2(2)因为D(x)(2x)(3x)(4所以方程D(x)0有三个根：x1x)(32)(42)(43)2,x23,x34.第二章矩阵一、矩阵的概念1 .要弄清矩阵与行列式的区别2 .两个矩阵相等的概念3 .几种特殊矩阵(0矩阵，单位阵,三角阵，对角阵，数量阵)、矩阵的运算克拾参1.矩阵A,B的加、减、乘有意义的充分必要条件例1设矩阵A(1,2),B12123,C,则下列矩阵运算中有意义的是(34456A.ACBB.ABCC.BACD.CAB测试点：矩阵相乘有意义的充

24、分必要条件答案：B例2设矩阵A100021，则A2B013测试点：矩阵运算的定义120解A2B21000112T例3设矩阵A,B，则ATB23测试点：矩阵运算的定义丘T2解ATB(1,2)38.2.矩阵运算的性质比较矩阵运算(包括加、减、数乘、乘法等)的性质与数的运算性质的相同点和不同点(加法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律；)重点是矩阵乘法没有交换律(由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式(AB)2A2+ABBAB2;(AB)(A-B)A2+BA-AB-B2;(AB)kABABLABAkBk;(AE)2A22AE如果ABO,可能AO,BO.例如A1111，b2上，工，都不为零，但ABO

25、.23.转置对称阵和反对称阵1)转置的性质(AB)TATBT;(A)TAT;(ABC)TCTBTAT2)若ATA(ATA),则称A为对称(反对称)阵例4矩阵A,B,C为同阶方阵，则(ABC)T=()克拾四A.ATBTCTB.CTBTATC.CTATBTD.ATCTBT答案：B(1,2,3),(1,1,1),令AT测试点矩阵乘法的一个常用技巧解因为，所以A5T(T)(T)(T)(T)T)5(1,1,1)5(1,1,1)25321答案322例6A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（A.AATB.AATC.AATD.ATA解析(AAT)TAT(AT)TATAAAT.故AAT为对称阵.答案B(

26、AAT)T(AAT)T例7已知矩阵AATA(AAT).故AAT为反对称阵.AAT.故AAT为对称阵.同理ATA也为对称阵.1，、一人,E为2阶单位矩阵，令B3A23A2E,求B测试点方阵多项式的概念；2BA23A2E4.方阵的行列式的性质ATA；ABAB;克拾伍Ak11；A1A例7设A为n阶方阵,A.AC.nA答案：C为实数，则A二()BIllAD-I1n1A一12例8矩阵A,B34ATB1解析ATB1ATB1,1A%(2)(3)入2答案2.35.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异,A满秩）的充分必要条件是A 0 .当A可逆时,1AA.其中方阵A的伴随阵A的定义AnA21A22MAn1An2oMA

27、2nAnn特别当adbc 0 时,1ad bc重要公式AA A AAE； AA与A1的关系2）重要结论:若 n阶方阵A, B满足AB E ,则A,B都可逆,_ _ 1B, B A.3）逆矩阵的性质:11(A ) A;当 0时,(A)111_1_ 11一A ;(AB) BA；(AT)1(A1)T; A4）消去律：设方阵 A可逆，且ABAC(BA CA),则必有B C.（若不知A可逆,仅知A0结论不一定成立。）6.分快矩阵矩阵运算时，分快的原则：保证运算能顺利进行（包括分块矩阵和子块的运算）如克拾六BiA11A2A3,BB2,ABA21A22A23B3A1B1A21B1A12B2A22B2A13B

28、3A23B3分快矩阵的运算规则；特别是分快矩阵的转置AiA21MAI2A22MAkA2kMAm2AiAT2MA：准对角阵的逆矩阵:如果A.C.A2M二阶矩阵测试点答案：AAk伴随矩阵的定义例10三阶阵A测试点重要公式答案6E1112A31Am12MA,A2,L,Ak都是可逆阵,则A1OOA21M，则A=(,二阶方阵的伴随阵AAMA1B.D.00，则AA=AAAE.26236设A为2阶可逆矩阵，且已知(2A)12，则A=(4克拾七12B.A.23D.1C.23测试点逆矩阵的性质解由(2A) 1，所以2A答案D，求A例13设A测试点求逆矩阵的方法AE(2)+(-2)(1)(3)+3(1)(2)(2

29、)0(J52所以A15例14已知A22A8EO,则（AE)1测试点关于逆矩阵的重要推论若A,B都是n阶矩阵，且满足ABEn,则A,B都可逆，且AB,B1A.解由A22A8E。得A2A3A3E5E0,即(AE)(A3E)吏拾八日口(A3E).i1即(AE)-E,故(AE)-(A3E).551答案(AE)1-(A3E).5例15设A是n阶方阵，且(AE)2O,证明A可逆.测试点若ABE则A,B都可逆，且A1B,B1A.证因为(AE)2。，即A22AE0,所以A(A2E)E1故A可逆，且A(A2E).例16设n阶方阵A满足AmO,其中m为正整数，证明EA可逆，且(EA)1EAA2LAm1分析只要检查

30、(EA)(EAA2LAm1)E即可证因为(EA)(EAA2LAm1)EAAA2A2LAmEAmE.故(EA)1EAA2LAm1三、矩阵的初等变换和初等矩阵1 .初等变换的定义和性质称矩阵的下列三种变换为初等行变换：(1)两行互换；(2)某一行乘一个非零的数；(3)某一行的k倍加到另一行上。类似地可定义初等列变换，初等行变换，初等列变换统称为初等变换方阵经初等变换后的行列式是否变化？(分别就三种初等变换说明行列式变化的情况)初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换ErO必能将矩阵A化为标准形r,其中r为矩阵A的秩.OO如果矩阵A经过有限次的初

31、等变换变成B,则称矩阵A与B等价.等价矩阵有相等的秩，从而有相等的等价标准形.2 .初等矩阵的定义和性质1)初等矩阵的定义；初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵.2)初等变换和矩阵乘法之间的关系3)对任意mn阶矩阵A,总存在一系列m阶初等阵PhP2,L,Pk和一系列n阶初等阵Q1,Q2,L,Qi,使得克拾九PP2LPkAQQLQiErOOO4）矩阵mn阶A与B等价的充分必要条件是存在一系列m阶初等阵Pi,P2,L,Pk和一系列n阶初等阵Qi,Q2,L,Qi,使得PP2LRAQ1Q2LQiB.例17下列矩阵中，是初等矩阵的为（）A.011B.101001100C.010101010D.0031

32、00测试点初等矩阵的定义和性质100解析C.010是由单位矩阵经第三行加第一行得到的，故是初等矩阵。101答案C例18设三阶矩阵Aa11a12a13a21a22a23，若存在初等矩阵P,使得a31a32a33a112a31a122a32a132a33PAa21a22a23，则Pa31a32a33100A.010B.201102010C.001D.测试点矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系答案B四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法1矩阵的k阶子式的概念2矩阵秩的概念定义。矩阵的秩为0,对于非零矩阵A,如果有一个r阶子式不等于0,而所有的r1阶子式（如果有的话）都等于0,则称矩阵A的秩为

33、r.显然n阶可逆矩阵的秩等于n,故可逆阵又称是满秩的.阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数.3.等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩）；从而矩阵A左乘（右乘）可逆阵其秩不变.反之两个同形矩阵只要秩相等，则二者必等价4.求矩阵秩的方法1例19设矩阵A0A.所有2阶子式都不为零B.所有2阶子式都为零C.所有3阶子式都不为零D.存在一个3阶子式不为零测试点矩阵的k阶子式的概念.答案D例20设矩阵A矩阵BB的秩r(B)=测试点矩阵秩的概念答案r(B)例21设矩阵A12 ，a为何值时,(1)秩（A）1；(2)秩（A）2.测试点求矩阵秩的方法124)(1)3)(1)所以当a 9时,秩（A）1;当a9时,

34、秩（A）例22设A为mt< n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为则矩阵AC的秩为测试点用可逆矩阵左（右）乘任意矩阵 A,则A的秩不变.答案 r例23设3阶方阵A的秩为2,则与A等价的矩阵为（A.0B.0111C. 222000111D. 222333答案 B测试点 矩阵等价的概念；等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价解 因为A,C,D的矩阵的秩都为1, B的矩阵的秩等于2.故答案应为B.五、矩阵方程的标准形及解的公式AX B X A 1B; _1XA B X BA ; A1XA2 B X A11BA21.2 1例24设矩阵A, B5 3测试点解矩阵方程的方法,求矩

35、阵方程XAB的解X .验算!X BA13 1312 0 A- 5 212 562例25设A,B均为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，且满足：AB2E A B .若已知A101020 ，求矩阵1 01B.测试点解矩阵方程的方法解因为 AB E A2 B,故 AB B A2 E从而(A E)BA2 E (A E)(A E),又001010,显然AE可逆，应用消去律得100201BAE030102101201验算 AB E0200301011023031004030600100703030013042022014032_-AB040030070202102304所以确有ABEA2B足方程,23310111

36、20八-例26已知ABCD矩阵X满10'21'120'101'AXBXDC,求X。测试点求矩阵方程的解解由AXBXDC得（AB）XDC故X(AB)1(DC)立;拾参其中AB11，D12131110211213111021121310115210173011521213101152所以X验算第三章向量空间一、n维向量线性运算的定义和性质；例1.已知15223其中，1(3,4,1),2则3.测试点n维向量线性运算的定义和性质解因为15223，所以031T2(T1T5T)22450513故3(1,1,121)(请验算)入11答案3(1,1,万).例2设向量1(1,1,

37、1T,2(1,1,0)T,3(1,0,0)T,(1,0,3),(0,2,5),11112(0,1,1)T,则由1,2,3线性表出的表示式为测试点向量由向量组线性表示；组合系数的求法解考虑X11X22X33该线性方程组的增广矩阵所以答案12311100111001133(验算!)1110110110011101010000111110001101111001010000111n维向量组的线性相关性1.向量组的线性相关性的定义和充分必要条件:守拾四1)定义：设1,2,L,m是一组n维向量.如果存在m个不全为零的数1,2,L,m,使得1122Lmm0,则称向量组1,2,L,m线性相关，否则，即如果1

38、122Lmm0,必有12Lm0,则称向量组1,2,L,m线性无关.2) m个n维向量1,2,L,m(m2)线性相关的充分必要条件是至少存在某个i是其余向量的线性组合即1,2,L,m(m2)线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合例3设向量组1,2,L,s线性相关，则必可推出()A.1,2,L,s中至少有一个向量为零向量8.1, 2,L,s中至少有两个向量成比例C. 1,2,L,s中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D. 1,2,L,s中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合测试点向量组线性相关的概念答案C例4向量组1,2,L,s线性无关的充分条件是A.

39、1,2,L,s都不是零向量B. 1,2,L,s中任意两个向量都不成比例C. 1,2,l,s中任意一个向量都不能表为其余向量的线性组合D. 1,2,L,s中任意s1个向量都线性无关测试点向量组线性相关的概念；充分条件；必要条件；充分必要条件都不是零向量，但1,2线性相关.131中任意两个向量都不成比例，且其中任意312个向量都线性无关3但1,2,3线性相关.故A,B,D都不正确.答案C例5.设向量组 1, 2线性无关，证明向量组112, 212也线性无关立;拾六测试点向量组线性无关的定义证设k11k220因为112,212匕(12)k2 ( 12)0即（kik2）i（kik2）20一，k1k20

40、一八因为i,2线性无关，故，所以只能kik20.k1k20这表明若kiik220,必有kik20.据向量组线性无关的定义，知1,2也线性无关例6.若向量组i（3,i,a）,2（4,a,0）,3（i,0,a）线性无关，则a可能的取值应满足测试点 n个n维向量线性无关相应的行列式 0;i(3) ( a)(i)0a2a4 ia 04a 0一 2 一一4a 2a 2a(a 2) 0所以a0,且a2.答案a0,且a2.2 .关于线性相关的几个定理i）如果向量组i,2,L,m线性无关，而i,2,Lm,线性相关，则可由i,2,L,m线性表示，且表示法唯一.2）线性相关的向量组再增加向量所彳#的新向量组必线性

41、相关.（部分相关，则整体相关；或整体无关，则部分无关）3）若向量组i（aii,ai2,L,ain）,ii,2,L,m线性无关，则接长向量组1 （aii,ai2,L,ain,ai（ni）,ii,2,L,m必线性无关.3 .判断向量组线性相关性的方法1） 一个向量线性相关0;2）含有零向量的向量组必线性相关；3）向量个数=向量维数时，n维向量组i,2,L,n线性相关A|i2Ln|0.4）向量个数向量维数时，向量组必线性相关；5）部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）.6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；向量组的秩所含向量的个数7）向量组线性无关向量组的秩=所含向量的个数，向

42、量组线性相关8）向量组i,2,Ln线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组XiiX22LXnn0有（没有）非零解例7.设n维向量组1,2,L,m(m2)线性无关，则A.组中减少任意一个向量后仍线性无关B.组中增加任意一个向量后仍线性无关mC.存在不全为零的数k1,k2,L,km,使kii0i1D.组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出解析因为若向量组线性相关，则增加任何一个向量后仍线性相关，其等价的定理是向量组相性无关，则组中减少任意一个向量后仍线性无关答案A例 8 设向量 i (ai, bi,ci), 2( )A.若i, 2线性相关，则必有B.若1, 2线性无关，则必有C.若1, 2线性

43、相关，则必有D.若1, 2线性无关，则必有答案B(a2,b2,C2), 1 (a1,b,C1,d1), 21, 2线性相关1, 2线性无关1, 2线性无关1, 2线性相关(a2,b2,C2, d2),下列命题中正确的是例9.设向量组1,2,3线性无关，而向量组2,3,4线性相关.证明：向量4必可表为1,2,3的线性组合.测试点关于线性相关性的几个定理证1因为2,3,4线性相关，故1,2,3,4线性相关，又因为1,2,3线性无关，所以4必可表为1,2,3的线性组合.证毕.证2因为1,2,3线性无关，故2,3必线性无关，又因为2,3,4线性相关故4必能由2,3线性表示，当然可表为1,2,3的线性组

44、合.证毕.三、向量组的极大无关组及向量组的秩1 .极大无关组的定义：设1,2,L，是向量组T的一个部分组.如果(1)1,2,L,r线性无关；(2)任给T,都有,1,2,L,r线性相关，则称1,2,L,r是向量组T的一个极大无关组.2 .向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法立;拾七例10A1013的行向量组的秩测试点矩阵的秩与向量组的秩之间的关系答案例11设1,2,3,4是一个4维向量组,若已知4可以表为1,2,3的线性组合，且表示法惟一，则向量1,2,3,4的秩为(A.1B.C.3D.测试点(1)向量组的秩的概念;(2)向量由向量组

45、线性表示的概念(3)向量组线性相关和线性无关的概念因为4可以表为3的线性组合，且表示法惟一，必有1,3线性无关，因为0，由4可以表为1,2,3的线性组合，即k11k22k330k11k22k3(K1)1(k2(k3由表示法惟一，有k1,k2k2,k3k3于是有10，故3线性无关，又4可以表为1,2,3的线性组合，所以1,2,3为向量组1,2,4的一个极大无关组，故向量组2,3,4的秩为3.答案C例12设向量组1(1,1,2,1)T,2(2,2,4,2)T,3(3,0,6,1)T,4(0,3,0,4)T(1)求向量组的秩和一个极大线性无关组;(2)将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合测试点求

46、向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法(2) (1)(3) (2)(1)(4) (1)(1)(3)(3)(1)(3)2)(2)立;拾八1001010200110000所以原向量组的秩为3,1,2,3为所求的极大无关组.41223四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标1 .n维向量空间的定义：n维实向量的全体构成的集合称为n维向量空间，记为Rn.V是Rn的一个子2 .子空间的定义：设V是Rn的一个非空子集，且满足对加法运算和数乘运算封闭，则称空间，简称为向量空间V.3.生成子空间的定义：设Rn,则由它们的所有线性组合构成Rn的一个子空间，称它为由1,2,L,m生成的