线性回归中的相关系数

1、线性回归中的相关系数山东胡大波线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法.下面为同学们介绍相关系数法.一、关于相关系数法统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当x不全为零，yi也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是：n“ xyi - nxyi 1n(x(xx)(yi-y)i1n(xi-x)2v(yi-y)2i1r就叫做变量y与x的相关系数（简称相关系数）.说明：（1）对于相关系数r,首先值得注意的是它的符号，

2、当r为正数时，表示变量x,y正相关；当r为负数时，表示两个变量x,y负相关；（2）另外注意r的大小，如果r0.751,那么正相关很强；如果r1-1,-0.75,那么负相关很强；如果r（-0.75,-0.30或rW10.30,0.75）,那么相关性一般；如果r=1-0.25,0.25，那么相关性较弱.下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线.二、典型例题剖析例1测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下:父亲身高（x）60626465666768707274儿子身高（y）63.565.26665.566.967.167.468.370.170（1）

3、对变量y与x进行相关性检验；（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；（3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高.1010_2解：（1）x=66.8,y=67,£x2=44794,工y2=44929.22,xy=4475.6,x=4462.24,i1i110-2y=4489,2xiy=44836.4,i110xiyi-nxy所以r =i11022n2出xi-nx1yi-ny-.i-44836.4104475.6(44794-44622.4)(44929.22-44890)80.480.4八“=000.98,6730.15282.04所以y与x之间具有线性相关关系.(2)

4、设回归直线方程为y=a+bx,则10工 xiyi -10xy i 4彳022、x -10xi 144836.4 - 44756 八 0 0.4685 ,44794 -44622.4a = y _bx =67 -0.4685 父66.8 =35.7042 .故所求的回归直线方程为y =0.4685x +35.7042 .(3)当 x=73英寸日y =0.4685 M73 +35.7042 =69.9047 ,所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为 点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述,69.9英寸.利用回归直线，可以对一些实这是此类问题常x747172687673677065

5、74y76757170767965776272例2 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表:际问题进行分析、 预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化. 见题型.其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩.(1) y与x是否具有相关关系；(2)如果y与x是相关关系，求回归直线方程.解：(1)由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得1010X xi 710 , X yi =723 , x =71 ,i =1i 11010_2_2Z xi =50520 , z yi =52541 .i 1i 1y =72.310Z xiyi =51467 .i=110一Xiyi -10xy i 1J 22二.xi -10x j m2-2y2 -10y51467-7172.310=,hO0.78.(5052010712)(525411072.32)由于r定0.78,由0.78>0.75知，有很大的把握认为x与y之间具有线性相关关系.(2)y与x具有线性相关关系，设回归直线方程为y=a+bx,则1051467 -10 71 72.350520 -10 7121.22Zxy-10xy,i1b=而222xi-10xi1a=y-bx=72.31.22父71=14.32.所以y关