添加辅助线构造全等三角形

1、添加辅助线构造全等三角形一内容：在证明几何题目的过程中，常常需要通过全等三角形，研究两条线段(角)的相等关系,或者转移线段或角。而有些时候，这样的全等三角形在问题中，并不是十清楚显。因此，我 们需要通过添加辅助线，构造全等三角形，进而证明所需的结论。在这里，我们试图通过几个典型例题让大家初步了解添加辅助线构造全等三角形的根本 方法。当然这些方法表达的了添加辅助线的方法从简单到复杂，研究线段的长短关系表达了从相等到不等的递进关系。1 通过添加辅助线构造全等三角形直接证明线段(角)相等 1.：如图 AB=AD CB=CD例题详解(1)求证：/ B=Z D.假设AE=AF试猜测CE与CF的大小关系并

2、证明.分析:(1) 在没有学习等腰三角形的知识的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。此题中要证明/B=Z D.在条件中缺少明显全等的三角形。而连结AC以后，AC作为公共边，根据题目的条件可以看到三角形ABC全等于三角形 ADC进而证明了/ B=Z Do如果在学习了等腰三角形的知识以后还可以连结BD,通过等边对等角，再用角等量减等量得到/ B=Z D更为简单(2) 猜测CE=CF在连结AC证明了三角形 ABC全等于三角形 ADC以后，得到/ EAC2 FAC 再去证明三角形 EAC全等于三角形FAC进而证明CE=CF证明：(1)方法1、连结AC,证明 AB3A ADC进

3、而/ B=Z D。方法2、连接BD,因为 AB=AD所以，/ ABD=/ ADB同理，/ CBD2 CDB 所以，/ ABD-Z CBD=/ ADB-/ CDB 即/ B=Z D。(2)由(1)得Z B=Z D,又因为 BE=DF CB=CD故 BCEA CDF 进而 CE=CF 通过例1我们应该初步体会添加辅助线的必要性，例1(1) (2)两个小问，从添加辅助线证明一次全等得角相等，到添加辅助线证明二次全等线段等，我们感觉到了问题层次的递进。 特别是例1(1)中如果B、C、D共线的时候我们可以得到等边对等角的结论。为例2使用做铺垫。练习:求证：/ A=Z C.E(1)：如图 AB=CD AD

4、=BC分析：根据条件 AB=CDAD=BC连结公共边BD(AC)，可以发现三角形 ABD全等于三角形CBD可以发现三角形 ABC 全等于三角形ADC),在这里我们发现添加辅助线的方法非常类似。证明：连结 AC(BD),证明 ABC ADC(AABDA CDB>(2)己知：如图，/ B=Z C,求证：AB=AC分析：可以不添加辅助线把三角形ABC和ACB看成不同的三角形，证明全等。但是作AD垂直BC与点D,可以发现三角形 ABD全等于三角形 ACD证明显的更加自然。证明：方法1:易证 ABCA ACB进而AB=AC方法2:作AD丄BC垂足为点 D,证明 ABDA ACD进而证明 AB=AC

5、小结：上述例题和练习表达了“见山开道，遇水搭桥的辅助线添加方法，分析题目的条件和结论，发现只需要添加公共边就可以到达构造全等三角形，进而证明线段(角)相等的结沦。2.通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。2 .如下图，人。是厶ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF求证：AC=BF分析：欲证AC=BF只须证AC BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC BF的两个全等三角形图形， 而根据题目条件的去构造两个含有AC BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后

6、的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以三角形 ADC为根底三角形，转移线段 AC,使AC BF在三角形BFH中法一：延长 AD到 H,使得DH=AD连结BH,证明 ADCn HDB全等，得 AC=BH通过证明/ H=Z BFH得到BF=BH证明：延长 AD到 H,使得DH=AD连结BH D为BC中点 BD=DC在厶 ADCm HDB中'AD 二 DH<ZADC = ABDHSDCDL ADCA HDB(SAS) AC=BH, / H=Z HAC/ EA=EF / HAE=/ AFE又/ BFH=/ AFE BH=BF BF=AC法二：过B点作BH平行AC与AD的延长线相交于点

7、 H,证明 ADCDA HDB全等。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线得到可以两个全等三角形。而过一点作 己知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。思路二、以三角形 BFD为根底三角形。转移线段 AC,使AC BF在两个全等三角形中 法三：延长 FD至H,使得DH=FD连结HG 证明 CDHDA BDF全等。证明：延长FD至H,使得DH=FD连结HG D为BC中点 BD=CD在厶 BFDA CHD中'FD 二 HD< ABDA 二 ZCDHBD=CD BFDA CHD(SAS) / H=Z BFH/ AE=FE / HACK AFE又/ AFE=

8、/ BFH / H=/ HAC CH=CA BF=AC法四：过C点作CH平行BF与AD的延长线相交于点 H,证明 CDHDA BDF全等。小结：通过一题多种辅助线的添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。 而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移体会构造的全等三角形在转移线段 中的作用。从变换的观点可以看到， 不管是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等。熟悉法一、法三“倍长中线的辅助线包含的根本图形“八字型和“倍长中线两种 根本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很 好的效果。拓展：如下图,人

9、。是厶ABC的中线，BE交AC于E,求证：AE=EB分析：调换己知和求证的顺序是几何中提出新问题的一种常规做法。我们调换了例2的局部条件和结论的顺序提出新的问题，在解决新的问题中又稳固了上述添加辅助线的根本作法。上述四种方法仍然可以适用。练习： ：如图，AB=AC E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且 BE=CF EF交BC 于点D.求证：DE=DF ：如图，AB=AC E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且,EF交BC于点D,且D为EF的中点.求证：BE=CF分析：练习 稳固例2中典型辅助线的作法， 练习 稳固例2拓展的调换局部条件和 结论提出问题的方法。证明：辅助线已作出，证明略3.

10、通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段不等关系3、如图，ABC的中线，求证： AB+AO 2AD.分析：用例2的辅助线的添加方法，识别根本图形，并利用它们去解决不等关系的问题。AB AC 2AD不在同一个三角形中，如果能将 AD倍长，转移AC就可在同一个三角形找出与AB AC 2AD相关的线段，再利用三角形两边之和大于第三边可以很容易的解决。证明：延长 AD至E,使DE=AD连接BE/ AD ABC的中线，BD=CD)在厶 ADCm EDB中,AD = SD<ZADC = ZSDB.CDBD 、:. ADCA EDB( SAS。AC=BEo在厶 ABE中, AB+BO

11、 AE, AB+ACO 2ADo练习: 在厶ABC中，AD是 BC边上的中线，假设 AB=6, AC=10贝U AD的取值范围是 分析：范围是2V AD< &应用例3的结论解决问题，变换图形位置再识别根本图。DAMN思考题：如图，点D、E三等分 ABC的BC边.P、ED G求证：AB+A6 AD+AE设计思路：关注倍长中线法的灵活应用。解题时要善于挖掘隐含条件;善于将未知的问题转化为的问题。具体到此题就是把三等分问题转化成中点点问题。分析：方法一：倍长 AD和 AE,易得 ME=AB CN=ADAE+MB AM, AC+CN> ANAB+AE> 2AD, AD+AC&

12、gt; 2AE相加得证。方法二：倍长中线 AG易得CH=AB HE=AD延长HE交AC于PAP+EP> AE, CH+CP> HP=HE+EP可得证。(07 北京中考)如图， ABC请你在BC边上分别取两点 D E(BC的中点除外)，连结AD AE,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形;(2)请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AO AD+AE证明:(1) 令 BD=C& DE,有厶ABD和厶ACE ABE和厶ACD面积相等(2) 证法一：如图 2，分别过点D, B作CA EA的平行线，两线交于 F点，DF与AB 父于G点。所以/

13、 ACE=/ FDB / AEC玄 FBD 在厶 AECD FBD中，又 CE=BD 可证 AECA FBD在厶BFG中,所以 AC=FD AE=FB在厶 AGD中, AG+DGBG+FO FB,所以 AG+DG-A* O BG+FG-F&O.所以 AG+DG+BG+FG-AD-FBO.即 AB+FD> AD+FB所以 AB+AO AD+AE证法二：如图3，分别过点A, E作CB CA的平行线，两线交于 F点，EF与AB 交于G点，连结BF.那么四边形FECA是平行四边形.所以 FE=AC AF=CE因为BD=CE所以BD=AF所以四边形FBDA是平行四边形.所以FB=AD在厶 AGE中, AG+EO AE,在厶 BFG中，BG+FO FB,可推得 AG+EG+BG+FGAE+FB所以 AB+AO AD+AE证法三；如图4，取DE的中点O,连结AO并延长到