医用高数第二章

1、第二章 导数和微分 一、导数的概念 二、微分及其应用 微积分学的创始人: 德国科学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)微分 历史背景导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国科学家 Newton牛顿(1642 1727)伟大的英国数学家伟大的英国数学家 , 物理学家物理学家, 天文天文学家和自然科学家学家和自然科学家. 他在数学上的卓越他在数学上的卓越贡献是创立了微积分贡献是创立了微积分. 1665年他提出正年他提出正流数流数 (微分微分) 术术 ,次年又提出反流数次年又提出反流数(积分积分)

2、术术,并于并于1671年完成流数术与无穷级数一书年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版年出版). 他他还著有自然哲学的数学原理和广义算术等还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .莱布尼兹(1646 1716)德国数学家德国数学家, 哲学家哲学家.他和牛顿同为他和牛顿同为微积分的创始人微积分的创始人 , 他在学艺杂志他在学艺杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计系统地阐述二进制计数法数法 , 并把它

3、与中国的八卦联系起来并把它与中国的八卦联系起来 .一、导数的引入一、导数的引入二、导数的定义二、导数的定义三、导数的运算三、导数的运算四、高阶导数四、高阶导数第一节导数的概念1、变速直线运动的速度自由落体运动tsv221gts202021)(21gtttgststtgtgt20)(2120)(21tggt一、导数的引入一、导数的引入tsvt00lim0gt二、导数的定义（定义二、导数的定义（定义13合并）合并） 1.定义 设函数 在点 的某一邻域内有定义，若函数的增量 与自变量增量x之比)(xf0 x0 x)()(00 xfxxfyxxfxxf)()(00 xy当x0时极限存在，则称函数 在点

4、 处可导这个极限值为 在 处的导数。)(xfy)(xf0 x记为:xxfxxfx)()(lim000 xyx0lim)(0 xf)(xf的导函数。称为)(xf的导数，求函数2xy 例例1解解).5 . 1 (),2(ff并计算xxxxx220)(limxyx0lim)(0 xf由导数定义有xxxxx20)(2lim)2(lim0 xxxx2xx2)(2即4|2) 2(2xxf3|2) 5 . 1 (5 , 1xxf导数的其它记法导数的其它记法0|xxy0|xxdxdy0|)(xxdxxdfttsttst)()(lim000变速直线运动的速度dtdsv 单侧导数单侧导数若极限xxfxxfxyxx

5、)()(limlim0000则称此极限值为)(xf在 处的右右 导数导数,0 x记作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左)0( x)0( x)(0 xf0 xxyoxy 定义定义 存在,)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf例如例如,)(xxf.1)0(f, 1)0(fxy0y = f (x)M)(0 xf xN yxx 0)( xf 考考虑虑)()(00 xfxxfy MNKxy xy 斜斜率率是是.x0令令 x0导数的几何意义导数的几何意义xy0y = f (x)M)(0 xf xN yxx 0)()(00 xfxxfy MNKxy x0令令 x0)( x

6、f 考考虑虑导数的几何意义导数的几何意义.xy 斜斜率率是是xy0y = f (x)M)(0 xf)()(00 xfxxfy MNKxy 处处切切线线的的斜斜率率 ) )表表示示曲曲线线在在点点0(xxf . .x0令令 x0.)( xf 考考虑虑导数的几何意义导数的几何意义.xyx0lim )(0 xf =tan 程。处的切线方程和法线方在点求曲线)4 , 2(02Mxy 例例2解解.,21KK 法线斜率为设切线斜率为41112kk21|xyK则4|22xx切线方程为由直线的点斜式方程得) 2( 44xy44 xy即于是法线方程为：) 2(414xy294xy即极限定义极限定义连续定义连续定

7、义)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx 导数定义导数定义xyx 0lim存在存在存在存在0lim0 yx极限存在极限存在连续连续导数存在导数存在可导性和连续性的关系可导性和连续性的关系1.可导必连续可导必连续)(lim0 xxyxyx0lim可导在0)(xxfyxxyxx00limlim0)(0 xf02.连续不一定可导连续不一定可导点连续，在0|xxy不可导。，但在0 x1|lim0 xxx因为1|lim0 xxx而数不存在。左右极限不相等，故导x0y| xy 极限存在极限存在连续连续导数存在导数存在由由定义定义求导数的步骤（三步法）求导数的步骤（三步法）f f( (x x

8、) )x x) )f f( (x xy y求求增增量量( (1 1) )x xf(x)f(x)x)x)f(xf(xx xy y算比值算比值(2)(2)x xy yl li im my y求求极极限限( (3 3) )0 0 x x 导数的运算导数的运算1.几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数xyyx0lim为常数CCxfy)(1).常数的导数0)()(xfxxfyxx0lim00常数的导数为0.0C为正整数nnxy(2).幂函数的导数nnxxxy)(nnnxxxnnxnx)()(! 2) 1(221xyyx0lim1nnx)(nx1nnx二项式定理xysin(3).正弦函数的导数xxx

9、ysin)sin(2sin)2cos(2xxxxyyx0lim02cos()sin22limxxxxx cosx xxcos)(sinxxsin)(cos2sin2cos2sinsin 2cos2sin2sinsin 2cos2cos2coscos 2sin2sin2coscos 和差化积和差化积xyyx0limxyalog(4).对数函数的导数xxxyaalog)(logxy)1 (logxxaxxxa)1 (logxxaxxx)1 (log1)010(xaa且xxaxxxx)1 (log1lim0 xxxaxxx)1 (limlog10exalog1axln1)(log xaaxln1xx

10、1)(ln0C1)(nnnxxaxxaln1)(logxx1)(lnxxcos)(sinxxsin)(cos处可导，则：在点函数xxvxu)(),()() 1 (vuvu.函数四则运算的求导法则函数四则运算的求导法则)() 2(uvvuvu)(1CuCu推论为常数C2推论处可导，则：在点函数xxwxvxu)(),(),()(uvwwuvvwuwvu2)() 3 (vuvvuvu)0(v321yxxxy求设例例解解21xxy221xx12123xy1213x5,lncosyxxy求设例例解解5)ln(cosxxy )ln5(cosxx )ln(cos5xx)(lncos5ln)(cos5xxxx

11、xxxxcos5lnsin5.)(）和（求ctgxtgx例例解解)(tgx)cossin(xxxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosx2cos1x2secxscetgx2)(xctgx2csc)(同理.csc)(sec）和（求xx例例解解)(sec xcos1xxxx2cos)(cos1cos1xx2cossinxtgx sectgxscexx)(secxctgxxcsc)(csc同理在对应的连续，其反函数在点若)()(yxxxfy3.反函数的求导法则反函数的求导法则1yxxy 可导，且在点处单调，则点xxfyy)()(1)(yxf或函数的导数与其反函

12、数的导数互为倒数说说明明：xy 0limxyx yxx0lim1yxy0lim11yx),1,0(yaaayx求设例例9解解yxayaxlog的反函数是因为且可导内单调在,),0()(log yxay0ln1ay1yxxy ayln11aylnaaxlnaaaxxln)(xxee)(.)(arccos,)(arcsinxx求例例10解解yxxysinarcsin的反函数是因为且可导内单调在,)2,2- ()(sin yxy0cos y1yxxy ycos1211)(arcsinxxy2sin11211x211)(arccosxx0C1)(nnnxxxxcos)(sinxxsin)(cosaxx

13、aln1)(logxx1)(lnxscetgx2)(xctgx2csc)(tgxscexx)(secxctgxxcsc)(cscaaaxxln)(xxee)(211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(xarctgx211)(xarcctgx4.求导公式求导公式都可导，则：和连锁规则定理)(u),(xufy)()()(xufxf5.复合函数的求导法则复合函数的求导法则dxdududyuyyxux或3sin,yxy求求例例2-13解解3,sinyu ux设设xuxyyu23cosux23sincosxx y例例),13ln(yxarctgy求设解解)13(ln112 x131

14、x3)13(ln1)13(32 xx例例解解2),43(sinlnyxy求求设设 2)43(sinln xy22)43(sin)43(sin1 xx2)43)sin(43sin(2)43(sin1 xxx)43)(43cos()43sin(2 xxx)43cot(6 xxycos11 y1.设函数，则 xxxfarctan)1 ()(22.设函数)0(f则xxfsin)(3.设函数 )(xf则一、填空题一、填空题 xycos11 y1.设函数，则xxxfarctan)1 ()(22.设函数)0(f则xxfsin)(3.设函数 )(xf则一、填空题一、填空题 2)cos1(sinxx 12cos

15、2xx二、选择题二、选择题 )(xf0 x)(0 xf )(lim0 xfxx1.设函数在处不连续，则（ ）。必存在 ； B. 必不存在 ； 必存在 ； D. 必不存在。A.)(0 xf C.)(lim0 xfxx)(xf1 x2. 设函数在处可导，且有21)1()21(lim0 xfxfx则)1(f A.21； B.41C.41 D.21 等于（ ）。二、选择题二、选择题 )(xf0 x)(0 xf )(lim0 xfxx1.设函数在处不连续，则（ ）。必存在 ； B. 必不存在 ； 必存在 ； D. 必不存在。A.)(0 xf C.)(lim0 xfxx)(xf1 x2. 设函数在处可导，

16、且有21)1()21(lim0 xfxfx则)1(f A.21； B.41C.41 D.21 DB等于（ ）。可可化化为为显显函函数数03 yx五、隐函数的导数五、隐函数的导数为为隐隐函函数数不不可可化化为为显显函函数数,0)1sin( xyexyy有的函数可化为显函数函数而有的函数不可化为显怎怎么么求求导导？隐隐函函数数 ,3xy 例例15解解的导数。确定的隐函数求由)(0 xyexyexy求导。对的复合函数，方程两边看作把xxey)0()(xxxyexye0)()()(xxxxyexye0 xxxyexyyyexeyeyyx例例17解解。处对应于点的切线方程在求曲线41742xyx14yx

17、时，当符合条件，点) 1, 4() 1, 4(BA332042yxyyyx ， Ak3) 1(2422 Bk的切线方程为：点) 1, 4( A)4(21 xy的切线方程为：点) 1 , 4(B)4(21 xy5、由参数方程所确定的函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx , 0)(,)(),( ttytx且且都都可可导导设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxd

18、tdydxdy 即即解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方程方程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax例例2-17.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即八、对数求导法八、对数求导法) 0)()()()(xuxuxfxv1 1：幂指函数：幂指函数2 2：较复杂的乘积，商或根式函数求导时：较复杂的乘积，商或根式函数求导时可利用先取对数后求导的方法计算可利用先取对数后求导的方法计算xxyytanlncos1例例18对以下

19、函数求导对以下函数求导sin(1)(tan)xyx （1）解：等式两边取对数得）解：等式两边取对数得sinlnln(tan )xyx xxtanlnsinsin(tan)(coslntansec)xyxxxx 等式两边对等式两边对x求导求导xxx2sectansin33311)2(xxy)1ln()1ln(3111ln31)11ln(ln33333331xxxxxxy33311xxy（2）解：）解：等式两边取对数得等式两边取对数得62323212)1313(311xxxxxxyy等式两边对等式两边对x求导求导623331211xxxxy1)(nnnxx证明：证明：nxy等式两边取对数得等式两边

20、取对数得xnylnln xnyy1xnyy xnxyn1nnxy初等函数在其定义域内都连续，但不都可导初等函数在其定义域内都连续，但不都可导导函数在某点处无意义，并不表示该函数导函数在某点处无意义，并不表示该函数在该点不可导在该点不可导解释解释40页页四、高阶导数四、高阶导数.),(atfs求求加加速速度度，其其位位移移函函数数为为一一物物体体做做变变速速直直线线运运动动设设 的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy类似地 , 二阶导数的

21、导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为 n 阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数二阶导数 , 记作y )(xf 的导数为依次类推 ,分别记作则称例例. 设求解解:特别有:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x32)2)(1()1( xxy)1()1()1()( nxnynn则则为为自自然然数数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 例例.),1ln()(nyxy求求设设 解解xy

22、 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn例例. 设,sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n一、导数的引入一、导数的引入二、导数的定义二、导数的定义三、导数的运算三、导数的运算四、高阶导数四、高阶导数总结xyx0lim)(xf可导可导连续连续求求导导方方程程两两边边对对 x先取对数后求导先取对数后求导隐函数的导数隐函数

23、的导数对数求导法对数求导法一、微分的概念一、微分的概念二、微分的几何意义二、微分的几何意义三、微分的基本公式及其运算法则三、微分的基本公式及其运算法则四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用第二节微分及其应用微分的概念微分的概念 0 xxxx 020 xA xx 02)( x2200()Axxx 20)(2xxx关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为例例x的微分微分,)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于x 的常数)则称)(xfy而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd)( xoxA在点0 x可微可微,定义定义.设设x22

24、0)(xxxA20)(2xxx可微可微可导可导证证: “ ”已知)(xfy 在点 可微 ,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA)(0 xfA即)( xoxA “ ”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0)()(0 xoxxf 线性主部 即xxfy)(d0在点 的可导,0 x则说明说明:xxfy)(d,)()(. 1xoxxfy0 x时yyd2.当 dxx dxdyxf )(导数又称为微商导数又称为微商.处处的的微微分分在在点点为为函函数数称称xxfydy)( xxfy)(d例例 设设 y = x3，求，

25、求 x = 1 处的微分处的微分.解解 y = (1 + + x)3 13 = 3 x + + 3( x)2 + + ( x)3.所以函数所以函数 y = x3 在点在点 x = 1 处的微分是处的微分是dy = 3 x . 为了方便起见，把自变量的增量为了方便起见，把自变量的增量 x 写成写成 dx ，即即 x = dx. dy = Adx . 对比课本例对比课本例 24做法做法xyoMN.f (x)dy x )(0 xf )(dxyy xyx0lim tan 很很小小时时当当 x )()(xxfxf xxf )(00 xxx 0)(0 xf)( x .dydy =tan x二二. . 微分

26、微分的几何意义的几何意义 y即：即：. yxxfxf )()(微分是切线纵坐标的增量微分是切线纵坐标的增量1. .基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式dc =三、微分的基本公式及其运算法则三、微分的基本公式及其运算法则0.dx = x - -1dx.dex =exdx.dax =axlnadx. xdln.d1xx xadlog.dln1xaxdsin x =cos xdx.dcos x = - - sin xdx.dtan x =sec2 xdx.dcot x =- - csc2 xdx.dsec x =sec xtan xdx.dcsc x =- - csc xcot xdx. x

27、darccos xdarctan xdarccot xdarcsin.d112xx .d112xx .d112xx .d112xx 2. .微分的四则运算微分的四则运算定理定理 2设函数设函数 u、v 可微，可微， 则则d(u v) = du dv.d(uv) = udv + + vdu. )0(ddd2 uuuvvuuv3. .复合函数的微分复合函数的微分定理定理 6设函数设函数 y = f (u)， u = (x) 均可均可微，微，dy = f (u) (x) dx .则则 y = f ( (x) 也可微，也可微， 且且由于由于du = (x) dx，所以上式可写为所以上式可写为dy =

28、f (u) du .从上式的形式看，从上式的形式看， 它与它与 y = f (x) 的微分的微分 dy = f (x)dx 形式一样，这叫形式一样，这叫一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性. 其意义是：不管其意义是：不管 u 是自变量还是中间变量，函是自变量还是中间变量，函数数 y = f (u) 的微分形式总是的微分形式总是 dy = f (u)du .一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性. (1)ln(1)1:1xxxyexedydxexeye 解解1例例求求下下列列函函数数的的微微分分增加类型增加类型例例 2,11 22xxy 设设求求 dy .解解2211ddxxy 222222)1

29、(111)1 (xxxxx)d()d(.d)1(422xxx 2222)1()2xd1(d)2)(1(xxxxxx 此页隐藏此页隐藏例例 3设设 y = sin(2x)，求微分，求微分 dy . 解解 dy = cos 2x d(2x) = 2cos 2xdx .例例 4设设 y = e- -3x cos 2x，求，求 dy . 解解 dy = d(e- -3x cos 2x) = e- -3x dcos 2x + + cos 2xde- -3x = - -e- -3x sin 2xd(2x) + + e- -3x cos 2x d(- -3x ) = - -e- -3x (2sin 2x + + 3cos 2x)dx ，由此也可知由此也可知y = - -e- -3x (2sin 2x + + 3cos 2x) .sinsinsinsinsin()coscos( cossin)( cossin)axaxaxaxaxaxaxaxaxaxyebxdydydebxbx deedbxbx edaxebxdbxasimbxdxbbxdxebbxabx dxyebbxabxee 课课本本例例题题求求 （不不讲讲）四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用当当 | x | 很小时很小时( (记作记作 | x | 1) )， y dy .即即f (x0 + + x) -