刚体力学习题课-new

1、 刚体可以看成由许多质量元组成的一个系刚体可以看成由许多质量元组成的一个系统，在其作定轴转动的过程中各质量元的位移、统，在其作定轴转动的过程中各质量元的位移、速度和加速度等线量是可以各不相同的，但是速度和加速度等线量是可以各不相同的，但是各质量元的角位移、角速度和角加速度等角量各质量元的角位移、角速度和角加速度等角量却是相同的。却是相同的。 掌握刚体运动的这种特性是解决问题的关掌握刚体运动的这种特性是解决问题的关键，因为键，因为角量是刚体整体运动特征的描述角量是刚体整体运动特征的描述，而，而线量则是刚体上各个质量元运动的描述线量则是刚体上各个质量元运动的描述。一、刚体的运动描述：一、刚体的运动

2、描述：平动平动质点的运动处理质点的运动处理 转动转动定轴转动定轴转动角量描述角量描述非非常常相相似似质质点点平平动动时时的的变变化化规规律律变变化化规规律律与与的的定定义义及及计计算算，而而且且其其、 rararvn 2 二、刚体定轴转动中的线量与角量关系：二、刚体定轴转动中的线量与角量关系：三、刚体转动定律：三、刚体转动定律： 转动惯量转动惯量 J 是一个新的概念，应熟练掌握其定义是一个新的概念，应熟练掌握其定义和计算方法，它具有可加性。要记住几种常用的绕质和计算方法，它具有可加性。要记住几种常用的绕质心轴的转动惯量，并会用平行轴定理和补偿原理来求心轴的转动惯量，并会用平行轴定理和补偿原理来

3、求解各种复合刚体的转动惯量。解各种复合刚体的转动惯量。 JM 解决刚体动力学问题，力的隔离体分析仍然是关键，解决刚体动力学问题，力的隔离体分析仍然是关键，特别是系统中既有质点平动又有刚体转动的联动问特别是系统中既有质点平动又有刚体转动的联动问题，必须将牛顿定律和转动定律联合。题，必须将牛顿定律和转动定律联合。四、质心运动（代表整个刚体与外界的作用及运动）四、质心运动（代表整个刚体与外界的作用及运动） 如计算轴对刚体的作用力等问题时特别有用如计算轴对刚体的作用力等问题时特别有用 CyiyCxixCimaFmaFamF五、刚体的机械能及守恒定律：（在计算速度五、刚体的机械能及守恒定律：（在计算速度

4、 v、升降距离升降距离 h、转过角度、转过角度 和作功等问题很方便！）和作功等问题很方便！）22221 21 21CCKmvJJE （定轴）（定轴）刚体的动能刚体的动能CPmghE 用质心的势能来代表用质心的势能来代表刚体的势能刚体的势能 六、刚体的角动量及守恒定律：六、刚体的角动量及守恒定律： （质点和刚体碰撞时特别有用）（质点和刚体碰撞时特别有用）质点和定轴刚体的碰撞，系统动量不守恒，角动质点和定轴刚体的碰撞，系统动量不守恒，角动量守恒；量守恒；质点和自由刚体的碰撞，系统动量、角动量均守质点和自由刚体的碰撞，系统动量、角动量均守恒。恒。 JLmvrL 刚刚体体：质质点点：【例题例题1】一圆

5、盘可绕通过圆心并垂直盘面的光滑轴自由转动。一圆盘可绕通过圆心并垂直盘面的光滑轴自由转动。从某一时刻起，有一外力矩作用在盘上，使其运动方程为从某一时刻起，有一外力矩作用在盘上，使其运动方程为 =8+2t-t2，求经过，求经过0.5s后，盘上离轴后，盘上离轴r=0.01m处质点的切向加速度处质点的切向加速度和法向加速度？在刚和法向加速度？在刚开始时该点的切向加速度和法向加速度开始时该点的切向加速度和法向加速度？解：先求角量，后求线量解：先求角量，后求线量2dd ,22dd ttt )sm(01. 0 )sm(02. 0)srad(2 )srad( 1 s5 . 02-22-2-1 raratn )

6、sm(04. 0 )sm(02. 0)srad(2 )srad(2 02-2002-00-20-10 raratn 【例题例题2】计算下列刚体对计算下列刚体对O轴的转动惯量轴的转动惯量JO: Olm、RM、222)(2131RlMMRmlJO O21lm 、22lm 、222221422121231 llmlmlmJOm的质量为的质量为剩余部分剩余部分 RO O 222221024132121212131 ,34mRRmRmRmJJJmmmm 孔孔孔孔总总孔孔总总试计算通过均匀球壳（质量为试计算通过均匀球壳（质量为M，半径为，半径为R）中心轴的转动惯）中心轴的转动惯量量 mrId2RRRMlr

7、mRrdsin24d2dsin2 202232dsin24sinMRRRRMRI 试计算通过均匀球（质量为试计算通过均匀球（质量为M，半径为，半径为R）中心轴的）中心轴的转动惯量转动惯量 mrId2分割成薄球壳：分割成薄球壳：22dd3Jm r2d4d mrr分割成薄圆盘：分割成薄圆盘：21dd2Jm r2dd mrzROrz sin rRdsin d zR试计算通过均匀平板（质量试计算通过均匀平板（质量为为M，尺寸见图）中心且与，尺寸见图）中心且与平板垂直轴的转动惯量平板垂直轴的转动惯量xbMmdd 2d121damIc 22dd121dxmamI )(121dd121222222baMxm

8、amIbb 【例题例题3】（1）计算下列刚体系统中）计算下列刚体系统中m1、m2的加速度和绳子的的加速度和绳子的张力；张力；（2）求）求m2从静止开始下降从静止开始下降h后的速度。后的速度。AARm 、BBRm 、1m2mgm22Tagm11Ta1T3TA 2T3TB gm22Tagm11TaamTgm222 amgmT111 AAAAARmRTRT 21321BBBBBRmRTRT 23221BBAARRa 22)(2112BAmmmmgmma 1T3TA 2T3TB 【例题例题3】（1）计算下列刚体系统中）计算下列刚体系统中m1、m2的加速度和绳子的的加速度和绳子的张力；张力；（2）求）求

9、m2从静止开始下降从静止开始下降h后的速度。后的速度。AARm 、BBRm 、1m2mahv2)2( 、BBAABBBAAARRvRmRmvmvmghmghm 2222212212)21(21)21(212121来解来解或：用机械能守恒定律或：用机械能守恒定律【例题例题4】一个质量为一个质量为 m、半径为、半径为 R 的均匀薄圆盘在水平桌的均匀薄圆盘在水平桌面上绕中心轴转动，开始角速度为面上绕中心轴转动，开始角速度为 0，当圆盘与桌面的摩擦，当圆盘与桌面的摩擦系数为系数为 时，问经过多长时间才能停下来？时，问经过多长时间才能停下来？mgRrrgMrrrgrmgMrrRff 32d2d2ddd0

10、2 为为则则小小圆圆环环受受的的摩摩擦擦力力矩矩的的小小圆圆环环，、宽宽度度为为取取一一半半径径为为力力矩矩圆圆盘盘转转动动过过程程中中的的摩摩擦擦解解：本本题题的的关关键键是是求求出出mgRMf 32 gRtRgmRMJMff 43 3421002 所所需需时时间间为为相相应应的的角角加加速速度度为为mgRMf 32 gRt 430 用角动量原理解更简单！用角动量原理解更简单！00 JtMf 【例题例题5】如图所示，有一质量为如图所示，有一质量为 M、长长为为 l 的均匀细杆静止在的均匀细杆静止在光滑的水平桌面上，可绕通过细杆一端的竖直光滑钢钉转动。有光滑的水平桌面上，可绕通过细杆一端的竖直

11、光滑钢钉转动。有一质量为一质量为 m 的小球以垂直于杆的水平速度的小球以垂直于杆的水平速度 v0 与杆的另一端碰撞，与杆的另一端碰撞，碰撞后小球以速度碰撞后小球以速度 v反向弹回。设碰撞时间很短，求碰撞后细杆反向弹回。设碰撞时间很短，求碰撞后细杆转动的角速度；若碰撞前拔去钢钉，碰撞后细杆的角速度又如何转动的角速度；若碰撞前拔去钢钉，碰撞后细杆的角速度又如何？v0vm、lM、O解：由于质点与有转轴解：由于质点与有转轴的细杆，轴对杆有冲力，的细杆，轴对杆有冲力，故动量不守恒，但对故动量不守恒，但对O点冲力矩为零，对点冲力矩为零，对O点点的角动量守恒的角动量守恒MlvvmmvlMllmv)(3310

12、20 v0vm、lM、O 若拔去钢钉，细杆成为若拔去钢钉，细杆成为水平桌面上的自由刚体，水平桌面上的自由刚体，故碰撞后细杆的运动为故碰撞后细杆的运动为随质心的平动和绕质心随质心的平动和绕质心的转动，因此水平方向的转动，因此水平方向的动量守恒和对质心轴的动量守恒和对质心轴的角动量守恒。的角动量守恒。2200lmvJlmvmvMvmvCC MlvvmMvvmvC)(6)(00 说明：对自由刚体，只有质心轴和瞬时轴的角动量可以说明：对自由刚体，只有质心轴和瞬时轴的角动量可以表示成转动惯量和角速度的乘积。表示成转动惯量和角速度的乘积。v0vm、lM、O【例题例题6】如图所示，有一质量为如图所示，有一质

13、量为 m、半径为半径为R的均匀圆柱体上的均匀圆柱体上绕有细绳。现在用力绕有细绳。现在用力F 拉该圆柱体，使其从静止开始在水平面上拉该圆柱体，使其从静止开始在水平面上作纯滚动，试判断作纯滚动，试判断摩擦力的方向。摩擦力的方向。FP: 的方向为加速度cmcmcmamFamaF解：假设没有摩擦力解：假设没有摩擦力 : : : ;的方向为的方向为所以摩擦力所以摩擦力的方向为的方向为合加速度合加速度的方向为的方向为而而faaRRRRaapcmcmp : 2212的方向为的方向为角加速度角加速度 mFRmRFRFPFP如果拉力 F 作用在离圆心 R/4 处，则摩擦力的方向又如何？ :f ,:a ;2 ;2

14、14p2cmaRRmFRmRRF 哟哟（yo-yo）球【问题】 哟哟（yo-yo）球是20世纪90年代风行世界的小玩具。它是在一个扁圆柱体的中间圆周槽内紧绕一细线构成。哟哟球从静止开始释放，下降到最低点后再自动上升。设哟哟球质量为m，半径为R，槽圆周的半径为b（bR），设细线的总长度为H，质量忽略不计。求哟哟球运动的全过程中细线所受的拉力。cJTb cmmaTmg ba cmmgT 2222RbRmgT 解：球下降或上升过程中细线的拉力221mRJ【问题】 哟哟（yo-yo）球是20世纪90年代风行世界的小玩具。它是在一个扁圆柱体的中间圆周槽内紧绕一细线构成。哟哟球从静止开始释放，下降到最低点后再自动上升。设哟哟球质量为m，半径为R，槽圆周的半径为b（bR），设细线的总长度为H，质量忽略不计。求哟哟球运动的全过程中细线所受的拉力。cJTbcoscmmaTmg ba cmmgT 222cos2RbRmgT解：球从线的低端开始转动转过的角度为，则：221mRJ【问题】 哟哟（yo-yo）球是20世纪90年代风行世界