圆锥曲线综合应用问题的4种考法

1、圆锥曲线的综合应用考法1 直线与圆锥曲线的位置关系的应用例1圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（）求点P的坐标；（）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.（）设切点坐标为则切线斜率为切线方程为即此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积由知当且仅当时，有最大值即有最小值因此点的坐标为（）设的标准方程为点由点在上知并由得又是方程的根，因此，由，得由点到直线的距离为及得解得或因此，（舍）或，从而所求的方程为练习：设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（）若直

2、线MN的斜率为，求C的离心率；（）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.【解析】（1）（2）考法2 与圆锥曲线有关的最值或取值范围的问题例2在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（）求椭圆的方程；（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点.（i）设直线BD，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；（ii）求面积的最大值.解析：（I）由题意知，可得.椭圆C的方程可化简为.将代入可得，因此，可得.因此，所以椭圆C的方程为.（II）（）设，则，因为直线AB的斜率，又，所以直线AD

3、的斜率，设直线AD的方程为，由题意知，由，可得.所以，因此，由题意知，所以，所以直线BD的方程为，令，得，即.可得.所以，即.因此存在常数使得结论成立.（）直线BD的方程，令，得，即，由（）知，可得的面积，因为，当且仅当时等号成立，此时S取得最大值，所以的面积的最大值为.练习：1.平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且点（，）在椭圆上.（）求椭圆的方程；（）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.（i）求的值；(ii)求面积的最大值.【解析】（I）由题意知又，解得，所以椭圆的方程为（II）由（I）知椭圆的方程为.（i）设由题意知.因为又，即所以，即2. PBAM

4、Fyx0已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，；（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.解析：（1）由题意知，焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，得到，代入求得或，所以或，由得或，（2）设直线的方程为，由得，于是，所以，所以的中点的坐标，由，所以，所以，因为，所以，由，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，令解得，所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时 ，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为.考法3 与圆锥曲线有关的定点、定值问题例3如图，已知抛物线，过点M(0,2)任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）.（1

5、） 证明：动点在定直线上；（2） 作的任意一条切线（不含轴）与直线相交于点，与（1）中的定直线相交于点，证明：为定值，并求此定值.练习：1.如图，椭圆E：(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1()求椭圆E的方程；()设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.ADBCOxyP ()当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立，得(2k21)x24kx20，其判别式(4k)28(2k21)0，所以，从而x1x2y1y2x1x2(y11

6、)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)1，所以，当1时，3，此时，3为定值，当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时213，故存在常数1，使得为定值3.2.已知动圆与圆：和圆都相内切，即圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于，两个不同的点（）求曲线的方程；（）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由解：（）设圆心的坐标为，半径为,，圆心的轨迹为以、为焦点的椭圆，其中， 故圆心的轨迹：（）设，直线：，则直线：，由可得 ，由可得， ， 和的比值为一个常数，这个常数为考法4 与圆锥曲线有关的存在性问题例4如图，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求的方程；(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.练习：已知双曲线:的渐近线方程为，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，点为双曲线与抛物线的一个公共点.（）求双曲线与抛物线的方程； () 过抛物线的焦点作两条相互垂直的直线，与抛物线分别交于点、，、. ()若直线与直线的倾斜角互补（点，不同于点），求直线的斜率； ()是否存在常数，使得？若存在