图形变换相似三角形综合应用

1、毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 1 of 21相似三角形综合应用2014 年中考怎么考内容基本要求略高要求相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题自检自查必考点模型一 角分线模型1、内角平分线是的角平分线，则ADABCABBDACCD【证明】过作交直线于.CCEADABE，CEAD，1E 23 又平分，ADBAC，12 ，3E ，AEAC由可得：，CEADABBDAECDABBDACCD2、外角平分线的外角平分线交对边的延长线于，则BACBCDABBDACCD【证明】过作交直线于.CCEA

2、DABE，CEAD，13 24 又平分，ADCAF，12 ，34 ，AEAC由可得：，CEADABBDAECD321EDCBADCBADCBAF4321EDCBA毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 2 of 21ABBDACCD模型二 梯形模型若，则ADBCab22ADEABEBECDECSSSSaabbabEDCBA中考满分必做题考点一 与公共边有关的相似问题【例 1】 如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接交于，ABCDACBDGEADBEACF连接，若，则下列四对三角形：与；与；FD90BFABEAACDFEDDEB与；与，其中相似的为（ ）CFDABG

3、ADFCFBGABCDEFA B C D【答案】D【解析】，故2AEEF EB2DEEF EBFEDDEB【例 2】 如图，矩形中，于，恰是的中点，下列式子成立的是（ ）ABCDBEACFECDFEDCBAA B C D2212BFAF2213BFAF2212BFAF2213BFAF【答案】A【例 3】 如图，中，于，于，于，交于，、的ABCADBCDBEACEDFABFBEGFDAC延长线交于点，求证：.H2DFFG FH毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 3 of 21HGDFECBA【解析】可通过射影定理转化成证明，证明即可.AF BFFG FHBFGHFA【例

4、4】 如图，中，于为的中点，的延长线交于ABC90ACBCDABDE，BCDEAC，F求证：ACFABCFD321FDECBA【答案】，为中点，又，CDBCEBCEDEC12 290390BB ，又，又13 FF FCDFDAFAADFDCD，3390ACBADC ，ABCACDADACCDBCACFABCFD【巩固】在中，过直角顶点作斜边的垂线，取的中点，连接并延长交的RtABCBACBDBCEEDBA延长于点，求证：FFDABFBBCFEDCBA【解析】，FADFDBFDADABFBBDBC【例 5】 如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，ABCADBACADADEBCF毕业班

5、解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 4 of 21求证：2FDFB FCEFDCBA4321AEBDCF【答案】连接垂直平分，即，又AFEFADAFDF4DAF 423 ，平分，又41B 231B ADBAC12 3B ，又，CFAAFB CFAAFB2FAFC FBAFDF2FDFB FC【巩固】如上图，在中，的垂直平分线交于，交的延长线于，ABC2FDFB FCADADEBCF求证：平分ADBACEFDCBA【答案】连接，垂直平分，AFEFAD，又AFDF2DFFC FB2AFFC FBAFFBFCAFAFCBFA ，AFCBFA3B 423 41B 231B ，即平分1

6、2 ADBAC【例 6】 已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求ABC120DAEDAEBCDE，证：2BCBD CEEDCBA321EDCBA【解析】，又12060DAEBAC，1260 ，360 160E 2E 毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 5 of 21，即360ABC 120ABDACE ABDECAABCEBDAC，AB ACBD CEABACBC2ABBD CE考点二 与旋转有关的相似问题【例 7】 如图，直角梯形中，为梯形内一点，且ABCD90BCDADBCBCCDE，将绕点旋转使与重合，得到，连交于已90BECBECC90BCDCDCF

7、EFCDM知，则的值为（ ）53BCCF，:DM MCA B C D 5:33:54:33:4MFEDCBA【答案】C【例 8】 如图，四边形和均为正方形，求_.ABCDBEFG:AG DF CE ABCDEFGGFEDCBA【答案】连接。，BDBF，,ABBC BGBEABGCBE ,ABBC BGBEABGCBEAGCE,EFBE EFBE45 ,2EBFBFBE,BCCD BCCD45 ,2CBDBDBC,2BDBFFBDCBEBCBE FBDEBC2DFBDECBF:1:2 :1AG DF CE 【例 9】 （1）如图 1，等边中，为边上的动点，以为一边，向上作等边，连接ABCDABC

8、DEDC，求证：AEAEBC（2）如图 2，将（1）中的等边改为以为底边的等腰三角形，所作的改成相似ABCBCEDC于，请问：是否有？证明你的结论ABCAEBC毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 6 of 21EDCBADEBCA【答案】 （1）由，得，故ACEBCDEACACB AEBC（2）由，得，故ACEBCDEACBACB AEBC考点三 与三角形有关的相似综合题【例 10】如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边ABCPPABC形若三个三角形的面积分别为，则的面积是_123SSS，1 12，ABCPS3S2S1IHGFEDCBA【解析】

9、设的面积为，则，故ABCS3121SSSPDPEHGBHHGGCBCBCBCBCSSS 221231 1264 2SSSS 【答案】64 2【例 11】如图所示，是一个凸六边形，、分别是直线与、与、 与ABCDEFPQRBAEFFECDDC的交点，、分别是与、与、与的交点，如果ABSTUBCEDDEAFFACBAB PRCD，求证：RQEF QPBC USDE STFA TUTSURQPFEDCBA【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且、构成一个与相似的三角ABCDEFPQR形的三边，因而可以考虑通过平移变换将、集中到一起构成一个与相似的三ABCDEFPQR角形如图所示，将平移至

10、位置，则，且，CDOEOECDOECD=毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 7 of 21TSURQPOFEDCBA所以，且，FEOQ EO QRCD QREF QP因此，从而，且FEOPQROFEP FO PREF QPAB PR这说明，且，进而，且FOABFOAB=FAOBFAOB=又因为，于是，所以，CODECOBSTUBC USCO STOB TU注意到，故CODEOBFABC USDE STFA TU【例 12】已知：的高所在直线与高所在直线相交于点ABCADBEF（1）如图 l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点，ABC45ABCFFGBCABG求证：；

11、FGDCAD（2）如图 2，若，过点作，交直线于点，则之间135ABCFFGBCABGFGDCAD、满足的数量关系是_；（3）在（2）的条件下，若，将一个角的顶点与点重合并绕点旋转，5 2AG 3DC 45BB这个角的两边分别交线段于两点（如图 3），连接，线段分别与线段、线FGMN，CFCFBM段相交于两点，若，求线段的长BNP Q，32NG PQ图 1GFEDCBA图 2GFEDCBA图 3NQPABCDEFGM【答案】 （1）证明：，9045ADBABC ，45BADABC ADBD，90BEC90CBEC 90DACC CBEDAC ，90FDBCDA FDBCDA DFDCGFBD，

12、45AGFABC AGFBAD FAFGFGDCFADFAD（2）FGDCAD（3）如图，135ABC45ABD90ADB45DABDBA ADBD，FGBCGDBADAB AFFG2225 2AGFGAFAG，5FGAF，由（2）知，3CD FGDCAD2ADBD13BCDF，毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 8 of 21为等腰直角三角形FDC223 2GCDFDC分别过，作于点 于点四边形为矩形BNBHFGHNKBGKDFHB，23HFBDBHDF，3BHHG2BGBH sinNKGNG3 24NK 9 24BK 45MBNHBG MBHNBK 90MHBNKB

13、 MBHNBKMHBHNKBK1MH 1FM BCFGBCFCFN BPCMPF CBFM ，BPCMPF13 222PCPFFCKHMGFEDCBAPQN，BQCNQF BCQNFQBCCQNFFQ27CQFQ223 23 2993CQFC5 26PQCPCQ考点四 与相似有关的动点问题【例 13】如图，中，点从出发，沿方向以的速度移动，ABC39085ACCBCAB，PBBC2 / s点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间QCCA1/ sPQ，BC，与相似？CPQCBAQPCBA【答案】，设，39085ACCBCAB，35ACkABk，222ACBCAB即，解得（负值已

14、舍去）222(3 )8(5 )kk2k 6AC 设经过后与相似此时s tCPQCBA282BPtPCtCQt，本题需分两种情况：（1）当时，CABCQP毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 9 of 21，即，解得CQCPCACB8268tt2.4t （2）当时，CABCPQ，即，解得CQCPCBCA8286tt3211t 综上，当秒或秒时，与相似2.4t 3211CPQCBA【例 14】如图，在矩形中，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，ABCD126ABBC，PABAB2 /点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用 （秒）表示移动的时间QDA1/DPQ，t(06)

15、t（1）当 为何值时，为等腰直角三角形？tQAP（2）求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论QAPC（3）当 为何值时，以点为顶点的三角形与相似tQAP，ABCQPDCBA【答案】 （1）当为等腰直角三角形时，QAPAPAQ，26tt2t （2），即四边形的面积为定值11(6) 12263622QACAPCQAPCSSStt四边形QAPC（3）分 2 种情况当时，即，解得APQBAC2APBAAQBC226tt3t 当时，即，解得AQPBAC2AQBAAPBC622tt65t 综上当或时，以点为顶点的三角形与相似3t 65QAP，ABC中考满分必做题【例 1】 如图，已知在等腰ABC

16、中，AB30，过点 C 作 CDAC 交 AB 于点 D若过 A，D，C三点的圆的半径为，则线段 BC 上是否存在一点 P，使得以 P，D，B 为顶点的三角形与O3BCO 相似，若存在，则 DP 的长为_BACDBACDOP1P2毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 10 of 21（09 年浙江丽江中考试题）【解析】BCDACBACD1209030BCDB，DBDC又在 RtACD 中，DCADsin30，DB过点 D 作 DP1OC，交 BC 于点 P1，则P1DBCOB，33OBODDBDP1OC过点 D 作 DP2AB，OCDP1OBDB32OBDB323323交

17、 BC 于点 P2，则BDP2BCO，BC3OCDP2BCBD22OCBO 22332)()(DP2OC1BCBD333【例 2】 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，2） ，点 P 是线段 OA 上的一个动点（不与O，A 重合） ，过点 P 作 PQx 轴于 Q，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN连接 AN 并延长交 x 轴于点 B，连接 ON设 OQt，BMN 与MON 相似时，则BMN 的面积为_BMQOPNAyxBMQOPNAyxH图 2（09 年甘肃中考试题）【答案】或91259【解析】当 0 t 1 时，如图 1若BMNMON，则即，tNMBMOMNMtttt2222

18、tt232NM，BMSBMN BMNM当 1 t 2 时，如图32t213121213132912若BMNMON，则即，tNM，BMNMBMOMNMtttt2222tt25656t2153SBMN BMNM21215356259【例 3】 如图，ACB90，CD 是ACB 的平分线，点 P 在 CD 上，CP将三角板的直角顶点放置2在点 P 处，绕着点 P 旋转，三角板的一条直角边与射线 CB 交于点 E，另一条直角边与直线 CA、直线 CB 分别交于点 F、点 G毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 11 of 21（1）当点 F 在射线 CA 上时求证：PFPE设 C

19、Fx，EGy，求 y 与 x 的函数解析式并写出函数的定义域（2）连接 EF，当CEF 与EGP 相似时，求 EG 的长（12 年中考模拟试题）【解析】 （1）证明：过点 P 作 PMAC，PNBC，垂足分别为 M、NCD 是ACB 的平分线，PMPN由PMCMCNCNP90，得MPN901FPN902FPN90，12PMFPNE，PFPE解：CP，CNCM12CFx，PMFPNE，NEMF1xCE2xCFPN， ，即 CFPNCGGNx1CGCG1CG x1xy 2x（0 x1）x1x（2）当CEF 与EGP 相似时，点 F 的位置有两种情况：当点 F 在射线 CA 上时GPEFCE90，1

20、PEGG1，FGFE，CGCECP在 RtEGP 中，EG2CP22当点 F 在 AC 延长线上时GPEFCE90，12，32145+5，145+2，52易证34，可得54CFCP，FM122易证PMFPNE，ENFM12CFPN， ，即 CFPNCGGN1GNGNGN12ACBFPDGEACBPD备用图ACBFPGE1DACBMPFG NE15234DACBFPDEMN21G毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 12 of 21EG1 12222【例 4】 如图，在 RtABC 中，ACB90，CE 是斜边 AB 上的中线，AB10，tanA 点 P 是 CE43延长线

21、上的一动点，过点 P 作 PQCB，交 CB 延长线于点 Q设 EPx，BQy（1）求 y 关于 x 的函数关系式及定义域；（2）连接 PB，当 PB 平分CPQ 时，求 PE 的长；（3）过点 B 作 BFAB 交 PQ 于 F，当BEF 和QBF 相似时，求 x 的值（2012 年上海模拟试题）【解析】 （1）在 RtABC 中，ACB90，AB10，tanA BCAC43AC6，BC8CE 是斜边 AB 上的中线，CEBE AB512PCQABC又PQCACB90，PCQABC ，即 CQPCBCAB458y5x45y x4（x 5）45（2）过点 B 作 BHPC 于 HPB 平分CP

22、Q，BQPQ，BHBQyBH BC ， x4 3524545245x11（3）BQFACB90，QBFABFQABC当BEF 和QBF 相似时，则BEF 和ABC 也相似APCQEBABCE备用图ABCE备用图ABPCQEHABPCQEF毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 13 of 21有两种情况：当BEFA 时在 RtEBF 中，EBF90，BE5，BF y53 （ x4） 5，解得 x10534543当BEFABC 时在 RtEBF 中，EBF90，BE5，BF y53 （ x4） 5，解得 x 53453412516当BEF 和QBF 相似时，求 x 的值为 1

23、0 或 12516【例 5】 如图 1，在 RtAOC 中，AOOC，点 B 在 OC 边上，OB6，BC12，ABOC90，动点 M 和 N 分别在线段 AB 和 AC 边上（1）求证：AOBCOA，并求 cosC 的值；（2）当 AM4 时，AMN 与ABC 相似，求AMN 与ABC 的面积之比；（3）如图 2，当 MNBC 时，以 MN 所在直线为对称轴将AMN 作轴对称变换得EMN设MNx，EMN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围（2012 年上海模拟试题）【解析】 （1）AOOC，ABOBAO90ABOC90，BA

24、OCAOBCOA，AOBCOAOB : OAOA : OCOB6，BC12，6 : OAOA : 18OA63AC12OC 2OA 23cosC OCAC（2）cosC ，C30tanABO ，ABO60OAOB3BAC30，ABBC12ABPCQEFAONBC图 1MAONCBM图 1AONECBM图 2毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 14 of 21当AMNABC 时（如图 1），AMNABCAM4，SAMN : SABC AM 2 : AB 24 2 : 12 21 : 9当AMNC 时（如图 2），AMNACBAM4，SAMN : SABC AM 2 : A

25、C 24 2 :（12）21 : 273（3）易得 SABC BCOA 12636121233MN/BC，AMNABCSAMN : SABC MN 2 : BC 2，SAMN : 36x 2 : 12 23SAMN x 2当 EN 与线段 AB 相交时，设 EN 与 AB 交于点 F（如图 3）MN/BC，ANMC30ANMBAC，AMMNx以 MN 所在直线为对称轴将AMN 作轴对称变换得EMNENMANM30，AFN90MF MN AM x121212SFMN : SAMN MF : AMy : x 2 x : x1 : 212y x 2（0 x 8）当 EN 与线段 AB 不相交时，设

26、EN 与 BC 交于点 G（如图 4）MN/BC，CN : ACBM : ABCN : 12（12x ）: 12，CN12 x333CNGCBA，SCNG : SABC CN 2 : BC 2SCNG : 36（12 x ）2 : 12 2333SCNG （12 x ）233S阴影SABC SAMN SCNG 36 x 2 （12 x ）2333即 y x 218x72（8x 12）333【例 6】 如图，ABC 中，ABC90，ABBC4，点 O 为 AB 边的中点，点 M 是 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合），ADAB，垂足为点 A连接 MO，将BOM 沿直线 MO 翻折，点 B

27、落在点 B1处，直线 MB1与 AC、AD 分别交于点 F、N（1）当CMF120 时，求 BM 的长；（2）设 BMx，y ，求 y 关于 x 的函数关系式。并写出自变量 x 的取值范围；CMF 的周长ANF 的周长（3）连接 NO，与 AC 边交于点 E，当FMCAEO 时，求 BM 的长（2012 年上海模拟试题）AONBC图 2MAONECBM图 3FAONECBM图 4GDACBNOFMB1毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 15 of 21【解析】 （1）CMF120 ，BMN60 BMO30RtMOB 中，BMOBcot302 3（2）连接 ON，OAOB

28、OB1，ONONRtANORtB1NO，AONB1ON，ANB1N又MOB1MOB，MON90OB1MB90，MB1OOB1N，OB12B1MB1N又 B1MBMx，OB1OB22 2xB1N，B1N ，AN 4x4xADAB，DAB90又B90，ADBC，CMFANFy x 2xCMF 的周长ANF 的周长CMAN14即 y x 2x（0 x 4）14（3）由题意知：EAOC45若FMCAEO，则有两种情况：FMCAEO 或FMCAOE当FMCAEO 时，有CFMAOE由（2）知AOEB1OEOMFCFMOMF，OMACOMBC45RtMOB 中，BMOBcot452当FMCAOE 时，AO

29、EOMFFMCOMFOMB60MOB 中，BMOBcot60 综上所述，当FMCAEO 时，求 BM 的长为 2 或 【例 7】 在平面直角坐标系中，点 C 的坐标为（0，4） ，A（t，0）是 x 轴上一动点，M 是线段 AC 的中点把线段 AM 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，得到线段 AB，过点 B 作 x 轴的垂线，过点 C 作y轴的垂线，两直线交于点 D，直线 DB 交 x 轴于点 E（1）若 t3，则点 B 的坐标为_，若 t3，则点 B 的坐标为_；（2）若 t 0，当 t 为何值时，BCD 的面积等于 6 ？（3）是否存在 t，使得以 B、C、D 为顶点的三角形与AOC 相似

30、？若存在，求此时 t 的值；若不存在，请说明理由（2012 年江苏模拟试题）DACBNOFMB1DACBNOMB1(F)EDACBNOFMB1EBEAOMDCyxOCyx备用图毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 16 of 21【解析】 （1）（5， ），（1， ）3232（2）当 0t 8 时，如图 1CAB90，CAOBAE90CAOACO90，BAEACO又BEAAOC90，BEAAOC ，即 AECOBEAOABCA12AE4BEt12AE2，BE t，B（t2， t）1212SBCD CDBD （ t2）（ 4 t ）6121212解得 t2 或 t4当 t

31、8 时，如图 2SBCD CDBD （ t2）（ t4 ）6121212解得 t10 或 t4（舍去）当 t2 或 t4 或 t10 时，BCD 的面积等于 6（3）当 0t 8 时，如图 1若CDBAOC，则 CDAOBDCO即 ，t 无实数解t2t若BDCAOC，同理，解得 t2 2（舍去）或 t2 255当 t 8 时，如图 2若CDBAOC，则 CDAOBDCO即 ，解得 t4 8（舍去）或 t4 8t2t33若BDCAOC，同理，t 无实数解当2t 0 时，如图 3若CDBAOC，则 CDAOBDCO即 ，t4 8 或 t4 8（舍去）t2t55若BDCAOC，同理，t 无实数解当

32、t 2 时，如图 4CDBAOC，则 CDAOBDCOBEAOMDCyx图 4BEAOMDCyx图 3BEAOMDCyx图 1BEAOMDCyx图 2毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 17 of 21即 ，t 无实数解 t2t若BDCAOC，同理，解得 t4 或 t4（舍去）存在 t2 2 或 4 8 或4 8 或4，使得以 B、C、D 为顶点的三角形与AOC 相似535【例 8】 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 l 与坐标轴相交于 A（2，0） ，B（0， ）两点，将 Rt55AOB 绕原点 O 逆时针旋转得到 RtAOB（1）求直线 l 的解析式；（2）若 O

33、AAB，垂足为 D，求点 D 的坐标；（3）如图 2，若将 RtAOB 绕原点 O 逆时针旋转 90，AB 与直线 l 相交于点 F，点 E 为 x 轴上一动点试探究：是否存在点 E，使得以点 A，E，F 为顶点的三角形和ABB 相似若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由（2012 年山西中考试题）【解析】 （1）设直线 l 的解析式为 ykxb点 A（2，0），B（0，）在直线 l 上55 解得：直线 l 的解析式为 y x 125（2）A（2，0），B（0，），OA2，OB5555AB 5OA 2OB 2OAAB 即 ODAB， OAOB ABOD1212 2 5OD，OD21

34、25512过点 D 作 DHx 轴于点 H（如图 1）则DAHADHODHADH90DAHODH在 RtAOB 中，tanBAO OBOA12tanODH ，DH2OHOHDH12yBDlAxOBA图 1yBFlAxOBA图 2yBDlAxOBA图 1HyBFlAxOBA图 2E毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 18 of 21在 RtODH 中，设 OHa，则 DH2aOH 2DH 2OD 2，a 24a 22 2a 0，a ，OH ，DH 点 D 的坐标为（ ，）（3）存在点 E，使得以点 A，E，F 为顶点的三角形和ABB 相似理由：AOB 由AOB 逆时针旋转

35、 90所得AOBAOB，BAOBAO又FBAOBA，BFABOA ，即 BFBOABABBFBOAOBOAB ，BF1，AFABBF6如图 2，当AFEABB 时，有 AEABAFAB ，AE6，OEAEAO624AE55555E1（4，0）5如图 3，当AEFABB 时，有 AEABAFAB ，AE ，OEAOAE2 655E2（，0）综上所述，存在点 E1（4，0），E2（，0），使得以点 A，E，F 为顶点的三角形和5ABB 相似课后作业1.如图 1，甲、乙两人分别从 AB 两点同时出发，点 O 为坐标原点，点，甲沿 AO 方A13，60，向、乙沿 BO 方向均以每小时 4 千米的速度行

36、走，t 小时后，甲到达 M 点，乙到达 N 点（1）请说明甲、乙两人到达点 O 前，MN 与 AB 不可能平行；（2）当 t 为何值时，OMNOBA？（3）甲、乙两人之间的距离为 MN 的长设 sMN2，求 s 与 t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值 yBFlAxOBA图 3E毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 19 of 21图 1（2012 年连云港市中考第 26 题）【答案】 （1）当 MN 都在 O 右侧时，241 22OMttOA 642163ONttOB 所以因此 MN 与 AB 不平行OMONOAOB（2）如图 2，当 MN 都在 O 右侧时，OMNB，不可能OMNOBA如图 3，当 M 在 O 左侧、N 在 O 右侧时，MONBOA，不可能OMNOBA如图 4，当 MN 都在 O 左侧时，如果OMNOBA，那么ONOAOMOB所以解得 t2462426tt图 2 图 3 图 4（3）如图 2，24OMt1 2OHt 3(1 2 )MHt(64 )(1 2 )52NHONOHttt如图 3，42OMt21OHt3(21)MHt(64 )(21)52NHO