多元函数条件极值的几种求解方法

1、多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式221前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此

2、对函数极值的研究是非常必要的。函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算

3、被重新研究。 同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。通过对求解多元函数条件极值问题的研究，从中找到求出极值的不同方法，在不同的实际应用中对相关问题运用与其相适应的方法，从而在

4、解决问题的过程达到最优化。学生在遇到不同的问题时能够从中找到突破口，能让这些求解放法扎根于学生的思维中，运用到学生的实际问题中去，并且在解决实际问题的同时，自己的思维能力以及解题能力得到较好的发展。2 多元函数极值2.1多元函数无条件极值在解决实际问题中，我们已经看到了最大值最小值的重要性。求函数的最大值、最小值时，涉及到函数的自变量往往不止一个，因此，就需要求多元函数的最大值、最小值。而最大值与最小值与极值有着密切的联系。首先我们给出多元函数的极值概念，并利用一元函数极值的性质，推断出多元函数极值的性质。定义 2.1设函数在点的某邻域内有定义，若对任何，都有（或）。则称函数在点取到极大（或极

5、小）值，点称为的极大（或极小）值点。极大值（极小值）统称极值，极大值点（极小值点）统称为极值点。由定义知，若在点取极值，则当固定时，一元函数必定在取相同的极值，若也存在，利用一元函数取极值的必要条件知，即。同理一元函数在也取相同的极值，若也存在，则，因此有定理2.1（极值的必要条件）若函数在点存在偏导数且在取极值，则有 （2.11）反之，若函数在点满足（2.11），则称点为的稳定点或驻点。若存在偏导数，则其极值点必是稳定点，但反之不一定成立。例，但在点处不取极值。这是因为在点的任何一个邻域中，若，当在一，三象限时，。当在二四象限时，。因此，不是极值。若在点取极值，的偏导数只有两种情形：（i）都

6、存在，则，。即点为稳定点。（ii）至少有一个不存在。因此，的极值点一定包含在稳定点火偏导数不存在点统称为极值点的怀疑点之中。例 2.1 设存在点处偏导数不存在，但时，有，因此，为极小值。极值点的怀疑点找出来后，若是偏导数不存在的点，可用函数值不等式来检验点是否为极值点；若是稳定点，我们又下面的定理。定理2.2（极值的充分条件）设函数在点的某邻域连续且有一阶与二阶连续偏导数，如果，设，则（1）当时，一定为极值，并且当（或）时，为极小值；当（或）时，为极大值；（2）当时，不是极值；（3）当，还不能断定是否为极值，须作进一步研究。由前述定理知，若在有界闭区域上连续，则在上一定能取到最大值与最小值。即

7、存在，有，对一切，有。最大值，最小值也可以在边界点取到，也可以在内部取到。当在内部取到时，最大值、最小值点一定是极值点，则一定是稳定点或偏导数不存在点。因此，最大值、最小值点一定包含在区域内部的稳定点和偏导数不存在点的点及边界点（边界函数值最大值与最小值点）之中（注意与区间端点不同的是闭区域的边界点又无数个，若，边界点是边界曲线上的点，若，边界点是边界曲线上的点，若，边界点是曲面上的点），这些怀疑点中函数值中的最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值。若根据实际问题一定有最大值（或最小值），而内部有唯一可疑点，则改点的函数无须判断一定是最大值（或最小值）。例 2.2 设是由轴，轴及直线所

8、围成的三角形区域（图2.1）求函数在上的最大值。解：由函数无偏导数不存在的点，图2.1 例题2.2示意图 解方程组 （定理2.1）解得而在边界或或上，。因此是唯一的可疑点，所以为最大值。2.2 多元函数条件极值前面我们讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域。但在实际问题中还有另外一中类型的极值问题，其极值点的搜索范围还受到许多条件限制。例如要设计一个容量为的长方体无上盖水箱，试问水箱长、宽、高各等于多少时，其所用的材料最少（即表面积最小）。设水箱的长、宽、高分别为则表面积为（3.1）定义域是，而且必须满足条件（3.2）像这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题，不带约束条件的极

9、值问题称为无条件极值问题。条件极值问题的一般形式是在条件组（3.3）的限制下，求目标函数（3.4）以前像这类极值时，只能用消元法化为无条件极值问题。前面的例子，由条件（3.2），解出代入（3.1）式，有由于在定义域内无偏导数存在的点，解方程组（定理2.1）解得由实际问题表面积无最大值，只有最小值，因此，当时表面积最小。然而，在一般情况下，要从条件组（3.3）中解出个变元并非容易，甚至解不出来，因此，我们要开辟解决问题的新途径。从而产生了拉格朗日乘数法这种不直接依赖消元而求解条件极值的有效方法。为了便于理解我们看比较简单的情形。在所给条件（3.5）下，求目标函数（3.6）的极值。设和具有连续的偏

10、导数，且，由隐函数存在定理，方程（3.5）确定一个隐函数，且它的偏导数为，于是所求条件极值问题化为求函数（3.7）无条件极值问题。这用已经讲过的方法就可解决。然而在实际计算中，要从（3.5）解出来，往往是很困难的，这时就可用下面介绍的拉格朗日（Lagrange）乘数法来解。 定义2.3设为（3.7）的极值点，由必要条件知，极值点必须满足条件：（3.8）应用符合函数求导法则及式（3.8），得即所求问题的解必须满足关系式若将上式的公共比值记为，必须满足：（3.9）因此，除了应满足约束条件（3.5）外，还应满足方程组（3.9），换句话说，函数在约束条件下的极值点是下列方程组的解：（3.10）容易看到

11、，（3.10）式恰好是四个独立变量的函数（3.11）取到极值的必要条件，这里引进的函数称为Lagrange函数。它将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题，通过解方程组（3.10），解得，然后再研究相应的是否真是问题的极值点。这种方法，就称为Lagrange乘数法，它可以推广到多个变量与多个约束条件的情形，对于（3.4），（3.3）两式所表示的一般约束条件极值的拉格朗日函数是其中为拉格朗日的乘数。 若是函数的极值点，则一定存在个常数，使是函数的稳定点，因此函数极值点的可疑点，一定在拉格朗日函数的稳定点前个坐标构成的点之中，往往可以借助于物理意义或者实际经验来判断所得点是否为极值点。2.

12、3多元函数条件极值的解法在求解多元函数无条件极值问题时,我们可以根据极值存在的充分条件来判断函数是否在驻点处取得极值,而在多元函数条件极值问题的求解过程中,我们在使用拉格朗日乘数法求出驻点后,往往根据问题的实际意义判断函数在该点取得极值。但是对于一般情况下的条件极问题,由于没有实际实际背景做辅助判断,我们就需要寻求判断函数取得极值的方法。下面通过例题介绍几种判断方法。2.3.1直接代入消元法这种方法是将条件极值问题转化为无条件极值问题加以解决,可以用来解决一些较为简单的条件极值问题。前面介绍了关于极值的充分条件，求得其驻点后从定理2.2可以知道设函数在点的某邻域连续且有一阶与二阶连续偏导数，如

13、果，,设,则  （1）当时，一定为极值，并且当（或）时，为极小值；当（或）时，为极大值;  （2）当时，不是极值；  （3）当，还不能断定是否为极值。就可以用以上定理来解决一些相关问题，下面看几个例题。 例2.3求函数 在条件下的极值。 解：由解得， 将上试代入函数，得， 求偏导数 由方程组解得 又 根据极值存在的充分条件，在点处 所以不是极值点，从而函数在点处无极值；在点处，又，所以为极小值点，因而函数在相应点处有极小值，极小值为。 例2.4 求函数在条件下的极值。 解： 由两个条件可得 将其带入目标函数中消去变量和可得 两边求导可得 可得稳定点 由于，而，即点

14、的奇数阶导数不为零所以不是函数的极值点；又显然，故函数在处取得极大值： 而，故函数处取得极小值： 将多元函数的极值问题转化为我们熟知的一元函数极值问题使问题变得简单，缺陷在于有些条件极值很难化为无条件极值来解决。2.3.2拉格朗日乘数法首先我们利用全微分判断，在无条件极值问题中，可以利用全微分判断函数是否在驻点处取得极限值。 设函数在点处若，则函数在处取得极大值若，则函数在处取得极小值；其他情况则不能确定是否有极值。如果求函数在=0条件下的极值，可先构造拉格朗日函数 在求出驻点后，可根据在驻点处的二阶微分的符号，来判断函数是否在该点取得极值。 例2.5求函数 在条件下的极值。 解：构造拉格朗日

15、函数 解方程组 由（1）（2）（3）式可得代入（4）得于是的驻点与。又当时，即在点处，所以为极小值点，函数的极小值为；当时，即在点处，所以为极大值点，极大值为。再就是我们利用二阶偏导数矩阵判断 若要求函数则条件，下的极值还可以采用以下方法。 （1）构造拉格朗日函数 （2）求出驻点设 令 （3）利用以下定理判断函数的极值定理。 记矩阵 若正定，则在条件下，在点处取得极小值； 若负定，则在条件下，在点处取得极大值； 若不定，则在条件下，在点处无条件极值。 例2.6求函数在条件下的极值。 解：构造拉格朗日函数 解方程组 解得，下面判断是否为极值点。 由得 矩阵正定，所以函数在点处取得极小值，且极小值

16、为。2.3.3利用极值的充分条件多元函数条件极值的求解，一般是利用拉格朗日乘数法，从上面的研究讨论可以看出，当求得稳定点后，如何判断函数究竟在该点是否取得了极值，尤其当稳定点不唯一时难度更大。下面就介绍借助多元函数取得极值的充分条件来判断是否能取得极值点的问题。 极值的充分条件我们可以从定理2.2中知道，下面介绍例题来进一步研究该类问题。例2.7求函数在条件下的极值。解：设拉格朗日函数为。对求偏导数并令他们等于零，则有易得函数的稳定点为，为了判是否为所求极值，我们可以把条件看作隐函数（满足隐函数存在定理的条件），并把目标函数看作函数与的复合函数。这样就可以应用极值充分条件来做出判断。为此计算如

17、下：当时，由此可见所求的稳定点为极小值点。当约束条件的方程个数超过一个时，这种方法的使用受到了限制。2.3.4 借助柯西不等式求解柯西不等式是一个重要的不等式，它在数学的各个分支都有着十分重要的应用。我们还发现利用柯西不等式求函数极值较为简便。这是由于某些函数可以转化成柯西不等式的形式，从而利用柯西不等式求出极值。 柯西不等式：对于任意实数和，有当且仅当，即与成比例时取等号。下面从几个方面来说明如何利用柯西不等式求函数极值。 二维柯西不等式：等价于当且仅当时取等号。利用这一结论用来求无理函数的最值较为简便。 例2.8求函数的最大值 解：由函数解析式的定义域为且，从而可变形为 根据上述结论可得

18、小结：用这个方法求最值关键是要先对函数式进行变形，使之满足柯西不等式的条件和结构。 例2.9函数何时取最大值？最值是多少？ 解：= 又由于 得解得时，的最大值为。当且仅当时取得。 将函数式“凑”“配”成已知条件，便可以用柯西不等式求出极值。相对于高等数学中的导数求极值来说，此法更为简洁实用，更能反映出数学的灵活性。 例2.10设，求函数的最值。 解：， 由 解得或 当时， 又当时， 综上得的最大值为，最小值为。 例 2.11求函数在下的最小值。 解：根据柯西不等式可得 当且仅当取等号。又 因此当时 当时 根据柯西不等式中的相等条件，可以求得使等号成立的极值点。 例2.12求实数的值，使得 达到

19、最小值。 解：根据柯西不等式可得 即 当且仅当，即时取等号。 故所求为。例2.13在旋转椭球面上，求距平面为最近和最远的点。 解：设为旋转椭球面上的点，它到平面的距离为 那么 令，根据柯西不等式得 即 当且仅当时取等号 当时，最大，此时最小。 即在点处达到最近距离。 当时最小，此时最大。 即在点处达到最远距离。通过上述几例可以看出，柯西不等式在解决极值问题中有重要作用。因此，只要我们合理运用，就会不断发现柯西不等式的重要所在。3结论通过以上对极值问题的分析和讨论，可以得出如下结论：在解决多元函数条件极值的问题中，首先是将条件极值问题转化为无条件极值问题，然后利用极值充分性来加以判断，问题在于很多题目很难化为无条件极值从而无法解出。再就是通过拉