二阶等差数列及其通项公式

1、二阶等差数列及其通项公式李清振青岛城市管理职业学校一、引子：在数列知识的学习中有一种求数列通项公式类型的题目。如，试求出下列数列的通项公式： 、， - 1、， 、，上述数列，都易于通过观察、分析，而总结推断出其通项公式，分别为， .再如等差数列、等比数列，教材中已分别介绍过其通项公式。但有数列，如： 1，2，4，7，11，16，22， 1，3，6，10，15，21，28， 1，3，7，13，21，31，43，通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出通项公式却有难处。本文旨在由等差数列推导出如、这样的一类数列的通项公式，并给出一个相关定义。二、 预备知识：1、 等差数

2、列的定义：如果一个数列a1，a2，a3，an，从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d，即a2 - a1 = a3 - a2= = an - an-1 = d，则称此数列为等差数列，常数d叫等差数列的公差。2、 等差数列的通项公式：an =a1 + ( n - 1 ) d， 公 差： d = a2 - a1.三、 二阶等差数列的定义及其通项公式：a) 定义：如果一个数列a1，a2，a3，an， （）从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即 a2 - a1，a3 - a2，a4 - a3， an - an-1，成为一个等差数列，则称数列（）为二阶等差数列。 相应

3、地，d =（a3 - a2） - （a2 - a1）= a3 + a1 - 2a2称为二阶等差数列的二阶公差。显然，依此定义可以判断，、均是二阶等差数列。其二阶公差分别为1、1、2.说明：、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列.、二阶与一阶等差数列的相互关系：二阶等差数列不一定是一阶等差数列，但一阶等差数列肯定是二阶等差数列。b) 二阶等差数列的通项公式：设数列a1，a2，a3，an，是一个二阶等差数列，为了书写的方便，我们记数列a2 - a1，a3 - a2，a4 - a3，an - an-1，为 b1 , b2 , b3 , ，bn-1 , ， ()即记bn= an

4、+1 - an， (n1，nZ)则数列 () 是一个一阶等差数列。显然，对于数列()，d = b2 - b1 = a1 + a3 - 2a2，根据等差数列的通项公式,则有bn= an+1 - an = b1 + (n-1) d，（n1,nZ）由此得，an +1= an + b1 + (n-1) d依此规律，则有a2 = a1 + b1，a3 = a2 + b1+d，a4 = a3 + b1+2d，an = an-1 + b1 + (n-2 ) d，由上面各式左右分别相加，可得an = a1 +（n-1）b1 +，（）此即为二阶等差数列的通项公式，其中，b1 = a2 - a1,注：bn= an+1 - an， (n1，nZ)c) 例证：对于数列，知a1 =1，b1 =1，d=1，则由公式（）可得，an=1+（n-1）×1+=，代入验证，正确。同理可求知、的通项公式：、an = 、an = n2-n+1由此通项公式，则可求出二阶等差数列后面