《3.2.2双曲线的简单几何性质》教案、导学案、同步练习

《3.2.2双曲线的简单几何性质》教案（第一课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线的简单几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.掌握双曲线的简单几何性质.B.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.1.数学抽象：双曲线的几何性质2.逻辑推理：类比椭圆研究双曲线的几何性质3.数学运算：运用双曲线的标准方程讨论几何性质4.直观想象：双曲线的几何性质【教学重点】：运用双曲线的方程获得几何性质【教学难点】：双曲线的渐近线及离心率的意义【教学过程】教学过程教学设计意图一、问题导学类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线x2a2-y的哪些几何性质，如何研究这些性质？1、范围利用双曲线的方程求出它的范围，由方程x2x2于是，双曲线上点的坐标（x

，y

）都适合不等式，x所以x≥a或x≤-a;y∈R2、对称性x2a2-yx轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.顶点是A1-a,0（2）如图，线段A1A2它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长。（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线4、渐近线（1）双曲线x2a2-y2（2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图4、渐近线慢慢靠近5、离心率（1）定义：e=c（2）e的范围：e>1（3）e的含义：因为c>a>0,所以可以看出e>1，另外，注意到ba如果双曲线C的标准方程是y2a2-x那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，那些与焦点在x轴上的双曲线是有区别的？双曲线的几何性质标准方程图形标准方程性质范围x≤-a或x≥ay∈Ry≤-a或y≥ax∈R对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线y=±by=±a离心率a,b,c间的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)(1)双曲线与椭圆的六个不同点:

双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e>10<e<1a,b,c关系a2+b2=c2a2-b2=c2(2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为2.(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.1.判断(1)双曲线x2a2(2)双曲线x2a2(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直.()答案:(1)√(2)×(3)√2.圆锥曲线x2A.-5B.-35C.19 D.-11解析:由圆锥曲线x2所以m<-8,∴e=9-答案:B二、典例解析例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为x2即x232因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-13,0),(13,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e=ca渐近线方程为y=±bax=±2由双曲线的方程研究其几何性质的注意点(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.解:把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为x2由此可知,半实轴长a=m,半虚轴长b=n,c=m+n,焦点坐标为(m+n,0),(-m+n,0),离心率e=ca顶点坐标为(-m,0),(m,0),所以渐近线方程为y=±nmx,即y=±mn例2根据以下条件,求双曲线的标准方程.(1)过点P(3,-5),离心率为2;(2)与椭圆x29+(3)与双曲线x29-解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为x2∵e=2,∴c2a2=2,即a2=b2又双曲线过P(3,-5),∴9a2-由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为x2若双曲线的焦点在y轴上,设其方程为y2同理有a2=b2,③5a2-由③④得a2=b2=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为x2(2)由椭圆方程x29+∴焦点是F1(-5,0),F2(5,0).因此双曲线的焦点为(-5,0),(5,0).设双曲线方程为x2由已知条件,有ca=∴所求双曲线的标准方程为x24-y(3)设所求双曲线方程为x29-y2∴双曲线方程为x29-2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为x2(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2(3)与双曲线x2a2-y2b(4)与双曲线x2a2跟踪训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为53(2)过点(2,0),与双曲线y2解:(1)设所求双曲线的标准方程为x2a2-y代入c2=a2+b2,得a2=9,故双曲线的标准方程为x2(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,故可设其方程为x2将点(2,0)的坐标代入方程得λ=116故所求双曲线的标准方程为x24-y类比椭圆讨论双曲线的几何性质。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。通过典例解析，已知双曲线的几何条件求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养三、达标检测1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为()A.4 B.-4 C.-14 D.解析:由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0,则双曲线方程可化为y2-x2则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,∴b=2,∴-1m=b2=4,∴m=-1答案:C2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=±43A.C的方程为x29-yC.焦点到渐近线的距离为3D.|PF|的最小值为2解析:双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±43x,可得c=5,焦点坐标在x轴上,所以b所以C的方程为x29-焦点到渐近线的距离为d=4×54|PF|的最小值为c-a=2,D正确.答案:AD3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是.

解析:令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),∴c=4,a2=b2=12c2=12×16=8,故等轴双曲线的方程为x2-y答案:x2-y2=84.关于双曲线x2①实轴长为6;②双曲线的离心率是54;③焦点坐标为(±5,0);④渐近线方程是y=±43x;正确的说法是.(把所有正确说法的序号都填上)

解析:∵双曲线x2即y216-x2∴①实轴长为2a=8,故①错误;②双曲线的离心率是e=ca=5③焦点坐标为F(0,±5),故③错误;④渐近线方程是y=±43x,故④⑤焦点到渐近线的距离为d=|0+15|9+16答案:②④⑤5.已知F为双曲线C:x24-y29=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(解析:根据题意,双曲线C:x24-y29=1的左焦点F(-|PF|-|AP|=2a=4,①|QF|-|QA|=2a=4,②①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,∴周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.答案:32通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】引导学生类比椭圆几何性质的研究，让学生自主探究双曲线的几何性质，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。《3.2.2双曲线的简单几何性质》教案（第二课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线的简单几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.掌握双曲线的简单几何性质．B.双曲线方程的简单应用．C.理解直线与双曲线的位置关系.1.数学抽象：双曲线的几何性质2.逻辑推理：类比直线与椭圆位置关系，掌握直线与双曲线位置关系的判断3.数学运算：直线与双曲线位置关系的判断及弦长4.直观想象：双曲线的几何性质【教学重点】：直线与双曲线的位置关系.【教学难点】：直线与双曲线的位置关系.【教学过程】教学过程教学设计意图一、问题导学双曲线的几何性质标准方程图形标准方程性质范围x≤-a或x≥ay∈Ry≤-a或y≥ax∈R对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线y=±by=±a离心率a,b,c间的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)(1)双曲线与椭圆的六个不同点:

双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e>10<e<1a,b,c关系a2+b2=c2a2-b2=c2二、典例解析例4．如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分，已知塔的总高度为137.5m，塔顶直径为90m，塔的最小直径(喉部直径)为60m，喉部标高112.5m，试建立适当的坐标系，求出此双曲线的标准方程（精确到1m）解:设双曲线的标准方程为，如图所示：为喉部直径，故，故双曲线方程为.而的横坐标为塔顶直径的一半即，其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即，故，故，所以，故双曲线方程为.例5．已知点到定点的距离和它到定直线l:的距离的比是，则点的轨迹方程为?解：设点，由题知,，即.整理得：.请你将例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现？例6、过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30度的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.分析:求弦长问题有两种方法:法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长;法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).因为直线AB的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F2，所以，直线AB的方程为直线与双曲线位置关系的判断方法1．方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点归纳总结2．数形结合思想的应用(1)直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．(2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程跟踪训练1已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1，(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为eq\r(2)，求实数k的值．[思路探究]直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的关系⇒直线与双曲线的位置关系．[解](1)联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2－y2＝1，))消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝4k2＋8(1－k2)＞0，))解得－eq\r(2)＜k＜eq\r(2)，且k≠±1.∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(－eq\r(2)，－1)∪(－1,1)∪(1，eq\r(2))．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－eq\f(2k,1－k2)，x1x2＝－eq\f(2,1－k2)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(\f((1＋k2)(8－4k2),(1－k2)2))又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝eq\f(1,\r(1＋k2))，∴S△AOB＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\r(\f(8－4k2,(1－k2)2))＝eq\r(2)，即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±eq\f(\r(6),2).∴实数k的值为±eq\f(\r(6),2)或0.回顾双曲线的几何性质，提出运用几何性质解决双曲线的有关问题。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。通过典例解析，理解直线与双曲线位置关系的判断方法，及求弦长问题的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养三、达标检测1．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A．2B．eq\f(\r(6),2)C．eq\f(\r(5),2)D．1【答案】D[由题意得e＝eq\f(\r(a2＋3),a)＝2，∴eq\r(a2＋3)＝2a，∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.]2．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36D．3x2－y2＝36【答案】A[椭圆4x2＋y2＝64，即eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1，焦点为(0，±4eq\r(3))，离心率为eq\f(\r(3),2)，则双曲线的焦点在y轴上，c＝4eq\r(3)，e＝eq\f(2,\r(3))，从而a＝6，b2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.]3．直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1有公共点，则m的取值范围是()A．m≥eq\r(2)或m≤－eq\r(2)B．－eq\r(2)≤m≤eq\r(2)且m≠0C．m∈RD．－eq\r(2)≤m≤eq\r(2)【答案】D[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝mx＋1,x2－y2＝1，))得(1－m2)x2－2mx－2＝0，由题意知1－m2＝0，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m2≠0,Δ＝4m2＋8(1－m2)≥0，))解得－eq\r(2)≤m≤eq\r(2).]4．如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100，俯视图为三个同心圆，其半径分别40，，30，试根据上述尺寸计算视图中该双曲线的标准方程（为长度单位米）；【解析】最窄处即双曲线两顶点间，设双曲线的标准方程为：由题意知：当（地面半径）时对应的值是；当时，的值为，解得：双曲线的标准方程是，5．已知双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1，求过点A(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.[解]法一由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3k－1，,\f(x2,4)－y2＝1，))消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq\f(8k(3k＋1),4k2－1).∵A(3，－1)为MN的中点，∴eq\f(x1＋x2,2)＝3，即eq\f(8k(3k＋1),2(4k2－1))＝3，解得k＝－eq\f(3,4).当k＝－eq\f(3,4)时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)，即3x＋4y－5＝0.法二设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)－y\o\al(2,1)＝1，,\f(x\o\al(2,2),4)－y\o\al(2,2)＝1，))两式相减，得eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),4)＝yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1)，∴eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(x2＋x1,4(y2＋y1)).∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴kMN＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(x2＋x1,4(y2＋y1))＝－eq\f(3,4).经验证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y＋1＝－eq\f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－5＝0.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1.双曲线的简单几何性质及其简单应用．2.直线与双曲线的位置关系.五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】引导学生类比直线与椭圆位置关系的判断，让学生自主探究直线与双曲线的位置关系，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。《3.2.2双曲线的简单几何性质》导学案（第一课时）【学习目标】1.掌握双曲线的简单几何性质．2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．3.根据几何条件求双曲线的标准方程.【重点和难点】重点：运用双曲线的方程获得几何性质难点：双曲线的渐近线及离心率的意义【知识梳理】双曲线的几何性质标准方程图形标准方程性质范围x≤-a或x≥ay∈Ry≤-a或y≥ax∈R对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线y=±by=±a离心率a,b,c间的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)(1)双曲线与椭圆的六个不同点:

双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e>10<e<1a,b,c关系a2+b2=c2a2-b2=c2(2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为2.(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.1.判断(1)双曲线x2a2(2)双曲线x2a2(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直.()2.圆锥曲线x2A.-5B.-35C.19 D.-11【学习过程】一、问题导学类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线x2a2-y1、范围利用双曲线的方程求出它的范围，由方程x2x2于是，双曲线上点的坐标（x

，y

）都适合不等式，x所以x≥a或x≤-a;y∈R2、对称性x2a2-yx轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.顶点是A1-a,0（2）如图，线段A1A2（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线4、渐近线（1）双曲线x2a2-y2（2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图4、渐近线慢慢靠近5、离心率（1）定义：e=c（2）e的范围：e>1（3）e的含义：因为c>a>0,所以可以看出注意到ba=c2因此双曲线的渐近线所夹得双曲线区域越狭窄.如果双曲线C的标准方程是y2a2-x那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，那些与焦点在x轴上的双曲线是有区别的？二、典例解析例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.由双曲线的方程研究其几何性质的注意点(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.例2根据以下条件,求双曲线的标准方程.(1)过点P(3,-5),离心率为2;(2)与椭圆x29+(3)与双曲线x29-2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为x2(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2(3)与双曲线x2a2-y2b(4)与双曲线x2a2(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).跟踪训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为53(2)过点(2,0),与双曲线y2【达标检测】1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为()A.4 B.-4 C.-14 D.2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=±43x,则下列结论正确的是()A.C的方程为x2B.C的离心率为5C.焦点到渐近线的距离为3D.|PF|的最小值为23.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是.

4.关于双曲线x2①实轴长为6;②双曲线的离心率是54;③焦点坐标为(±5,0);④渐近线方程是y=±43x;正确的说法是.(把所有正确说法的序号都填上)

5.已知F为双曲线C:x24-y29=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(【课堂小结】【参考答案】知识梳理1.答案:(1)√(2)×(3)√2.解析:由圆锥曲线x2所以m<-8,∴e=9-答案:B学习过程二、典例解析例1解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为x2即x232因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-13,0),(13,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e=ca渐近线方程为y=±bax=±2跟踪训练1解:把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为x2由此可知,半实轴长a=m,半虚轴长b=n,c=m+n,焦点坐标为(m+n,0),(-m+n,0),离心率e=ca顶点坐标为(-m,0),(m,0),所以渐近线方程为y=±nmx,即y=±mn例2解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为x2∵e=2,∴c2a2=2,即a2=b2又双曲线过P(3,-5),∴9a2-由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为x2若双曲线的焦点在y轴上,设其方程为y2同理有a2=b2,③5a2-由③④得a2=b2=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为x2(2)由椭圆方程x29+∴焦点是F1(-5,0),F2(5,0).因此双曲线的焦点为(-5,0),(5,0).设双曲线方程为x2由已知条件,有ca=∴所求双曲线的标准方程为x24-y(3)设所求双曲线方程为x2将点(-3,23)代入得λ=14∴双曲线方程为x2即双曲线的标准方程为x2跟踪训练2解:(1)设所求双曲线的标准方程为x2a2从而b=4,c=53代入c2=a2+b2,得a2=9,故双曲线的标准方程为x2(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,故可设其方程为x2将点(2,0)的坐标代入方程得λ=116故所求双曲线的标准方程为x24-y达标检测1.解析:由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0,则双曲线方程可化为y2-x2则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,∴b=2,∴-1m=b2=4,∴m=-1答案:C2.(多选)解析:双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±43所以ba所以C的方程为x2离心率为e=53焦点到渐近线的距离为d=4×54|PF|的最小值为c-a=2,D正确.答案:AD3.解析:令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),∴c=4,a2=b2=12c2=12×16=8,故等轴双曲线的方程为x2-y答案:x2-y2=84.解析:∵双曲线x2即y216-x2∴①实轴长为2a=8,故①错误;②双曲线的离心率是e=ca=5③焦点坐标为F(0,±5),故③错误;④渐近线方程是y=±43x,故④⑤焦点到渐近线的距离为d=|0+15|9+16答案:②④⑤5.解析:根据题意,双曲线C:x24-y2双曲线图像如图.|PF|-|AP|=2a=4,①|QF|-|QA|=2a=4,②①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,∴周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.答案:32《3.2.2双曲线的简单几何性质》导学案（第二课时）【学习目标】1.掌握双曲线的简单几何性质．2.双曲线方程的简单应用．3.理解直线与双曲线的位置关系.【重点和难点】重点：直线与双曲线的位置关系难点：直线与双曲线的位置关系【知识梳理】双曲线的几何性质标准方程图形标准方程性质范围x≤-a或x≥ay∈Ry≤-a或y≥ax∈R对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线y=±by=±a离心率a,b,c间的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)(1)双曲线与椭圆的六个不同点:

双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e>10<e<1a,b,c关系a2+b2=c2a2-b2=c2【学习过程】一、典例解析例4．如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分，已知塔的总高度为137.5m，塔顶直径为90m，塔的最小直径(喉部直径)为60m，喉部标高112.5m，试建立适当的坐标系，求出此双曲线的标准方程（精确到1m）例5．已知点到定点的距离和它到定直线l:的距离的比是，则点的轨迹方程为?请你将例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现？例6、过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30度的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.直线与双曲线位置关系的判断方法1．方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点归纳总结2．数形结合思想的应用(1)直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．(2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程跟踪训练1已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1，(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为eq\r(2)，求实数k的值．【达标检测】1．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A．2B．eq\f(\r(6),2)C．eq\f(\r(5),2)D．12．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36D．3x2－y2＝363．直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1有公共点，则m的取值范围是()A．m≥eq\r(2)或m≤－eq\r(2)B．－eq\r(2)≤m≤eq\r(2)且m≠0C．m∈RD．－eq\r(2)≤m≤eq\r(2)4．如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100，俯视图为三个同心圆，其半径分别40，，30，试根据上述尺寸计算视图中该双曲线的标准方程（为长度单位米）；5．已知双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1，求过点A(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.【课堂小结】1.双曲线的简单几何性质及其简单应用．2.直线与双曲线的位置关系.【参考答案】学习过程二、典例解析例4．解:设双曲线的标准方程为，如图所示：为喉部直径，故，故双曲线方程为.而的横坐标为塔顶直径的一半即，其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即，故，故，所以，故双曲线方程为.例5．解：设点，由题知,，即.整理得：.例6、分析:求弦长问题有两种方法:法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长;法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).因为直线AB的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F2，所以，直线AB的方程为跟踪训练1[思路探究]直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的关系⇒直线与双曲线的位置关系．[解](1)联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2－y2＝1，))消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝4k2＋8(1－k2)＞0，))解得－eq\r(2)＜k＜eq\r(2)，且k≠±1.∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(－eq\r(2)，－1)∪(－1,1)∪(1，eq\r(2))．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－eq\f(2k,1－k2)，x1x2＝－eq\f(2,1－k2)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(\f((1＋k2)(8－4k2),(1－k2)2))又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝eq\f(1,\r(1＋k2))，∴S△AOB＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\r(\f(8－4k2,(1－k2)2))＝eq\r(2)，即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±eq\f(\r(6),2).∴实数k的值为±eq\f(\r(6),2)或0.达标检测1．【答案】D[由题意得e＝eq\f(\r(a2＋3),a)＝2，∴eq\r(a2＋3)＝2a，∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.]2．【答案】A[椭圆4x2＋y2＝64，即eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1，焦点为(0，±4eq\r(3))，离心率为eq\f(\r(3),2)，则双曲线的焦点在y轴上，c＝4eq\r(3)，e＝eq\f(2,\r(3))，从而a＝6，b2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.]3．【答案】D[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝mx＋1,x2－y2＝1，))得(1－m2)x2－2mx－2＝0，由题意知1－m2＝0，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m2≠0,Δ＝4m2＋8(1－m2)≥0，))解得－eq\r(2)≤m≤eq\r(2).]4．【解析】最窄处即双曲线两顶点间设双曲线的标准方程为：由题意知：当（地面半径）时对应的值是；当时，的值为，解得：双曲线的标准方程是，5．[解]法一由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3k－1，,\f(x2,4)－y2＝1，))消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq\f(8k(3k＋1),4k2－1).∵A(3，－1)为MN的中点，∴eq\f(x1＋x2,2)＝3，即eq\f(8k(3k＋1),2(4k2－1))＝3，解得k＝－eq\f(3,4).当k＝－eq\f(3,4)时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)，即3x＋4y－5＝0.法二设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)－y\o\al(2,1)＝1，,\f(x\o\al(2,2),4)－y\o\al(2,2)＝1，))两式相减，得eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),4)＝yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1)，∴eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(x2＋x1,4(y2＋y1)).∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴kMN＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(x2＋x1,4(y2＋y1))＝－eq\f(3,4).经验证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y＋1＝－eq\f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－5＝0.《3.2.2双曲线的几何性质-基础练》同步练习（第一课时）一、选择题1．双曲线的左焦点与右顶点之间的距离等于（）A．6 B．8 C．9 D．102．已知双曲线方程为，则（）A．实轴长为，虚轴长为2 B．实轴长为，虚轴长为4C．实轴长为2，虚轴长为 D．实轴长为4，虚轴长为3．下列双曲线不是以为渐近线的是A． B． C． D．4．点M为双曲线上任意一点，点O是坐标原点，则的最小值是（）A．1 B． C．2 D．5．（多选题）已知曲线.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线6．（多选题）已知双曲线C:x2-y24=1,则下列说法正确的有(A.双曲线C的离心率等于半焦距的长B.双曲线y2-x2C.直线x=55被圆x2+y2=1截得的弦长为D.直线y=kx+b(k,b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2二、填空题7．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于________.8.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是________.9．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则________.10．若双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为________.三、解答题11．若点是双曲线上的点，试求该双曲线的实轴长､虚轴长､焦距､焦点坐标､顶点坐标､离心率､渐近线方程.12.已知点，，动点满足条件，记动点的轨迹为W.（1）求的方程；（2）若是上任意一点，求的最小值.《3.2.2双曲线的几何性质-基础练》同步练习答案解析（第一课时）一、选择题1．双曲线的左焦点与右顶点之间的距离等于（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】由已知得左焦点的坐标为，右顶点的坐标为，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.故选：B.2．已知双曲线方程为，则（）A．实轴长为，虚轴长为2 B．实轴长为，虚轴长为4C．实轴长为2，虚轴长为 D．实轴长为4，虚轴长为【答案】B【解析】双曲线方程化为标准方程为，可得，所以双曲线的实轴长为，虚轴长为4.故选：B3．下列双曲线不是以为渐近线的是A． B． C． D．【答案】C【解析】A中渐近线为，B中渐近线为，D中渐近线为，C项渐近线为,故选C4．点M为双曲线上任意一点，点O是坐标原点，则的最小值是（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】设M(x,y),∵点M为双曲线上,∴=故选B.5．（多选题）已知曲线.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.6．（多选题）已知双曲线C:x2-y2A.双曲线C的离心率等于半焦距的长B.双曲线y2-x2C.直线x=55被圆x2+y2=1截得的弦长为D.直线y=kx+b(k,b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2【答案】ACD【解析】双曲线C:x2-y24=1,可得a=1,b=2,c=5,所以双曲线的离心率为e=5=c,所以A正确;双曲线C:x2-y24=1的渐近线方程为y=±2x,双曲线y2-x24=1的渐近线方程为y=±12x,所以B不正确;直线x=55被圆x二、填空题7．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于________.【答案】4【解析】双曲线的一个焦点坐标是，一条渐近线的方程为，因此焦点到渐近线的距离.8.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是________.【答案】26【解析】由题得|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16.∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21.∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.9．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则________.【答案】4【解析】因为，所以10．若双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】双曲线渐近线互相垂直可知为等轴双曲线，即：离心率三、解答题11．若点是双曲线上的点，试求该双曲线的实轴长､虚轴长､焦距､焦点坐标､顶点坐标､离心率､渐近线方程.【解析】因为点在双曲线上，所以，解得，于是双曲线方程为，即，所以双曲线的焦点在x轴上，且.因此实轴长，虚轴长，焦距为，焦点坐标为，顶点坐标为，离心率.渐近线方程为.12.已知点，，动点满足条件，记动点的轨迹为W.（1）求的方程；（2）若是上任意一点，求的最小值.【解析】（1）由已知可得动点的轨迹是双曲线的右支，且，，所以，.故的方程为.（2）设点，则，因为，所以，令，则，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为8.《3.2.2双曲线的几何性质-基础练》同步练习（第二课时）一、选择题1．双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（）A． B． C． D．2．直线与双曲线的交点个数是（）A．1 B．2 C．1或2 D．03．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有()A．条 B．条 C．条 D．条5．（多选题）已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，则下列表述正确的有（）A．B．C．双曲线的离心率为D．在平面直角坐标系中，双曲线的焦点在轴上6．（多选题）已知双曲线过点，则下列结论正确的是（）A．C的焦距为4 B．C的离心率为C．C的渐近线方程为 D．直线与C有两个公共点二、填空题7.已知双曲线（）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______.8．设双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线的其中一条渐近线交于点P，则的面积是________.9．如图，在梯形中，已知，，双曲线过三点，且以为焦点，则双曲线的离心率为_____________.10.斜率存在的直线点且与双曲线：有且只有一个公共点，则直线斜率为_____________.三、解答题11.由甲舰、乙舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航。某日，甲舰在乙舰正东方向处，丙舰在乙舰北偏西方向，相距处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？12．已知双曲线：的离心率为，点是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点，，求．《3.2.2双曲线的几何性质-基础练》同步练习答案解析（第二课时）一、选择题1．双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】双曲线，即，所以，由离心率为，所以，解得，所以双曲线，则渐近线方程为，故选：D.2．直线与双曲线的交点个数是（）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】A【解析】由题意，双曲线，可得其渐近线方程为，因为直线与双曲线的一条渐近线平行，所以它与双曲线只有1个交点．故选：A.3．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当直线与双曲线的渐近线平行时，，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示：因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，所以的取值范围为，故选：D.4．已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有()A．条 B．条 C．条 D．条【答案】C【解析】双曲线，过的直线垂直于轴时，；双曲线两个顶点的距离为，满足的直线有条，一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.故选：C5．（多选题）已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，则下列表述正确的有（）A．B．C．双曲线的离心率为D．在平面直角坐标系中，双曲线的焦点在轴上【答案】CD【解析】因为双曲线的两条渐近线方程分别为，，所以，所以，故AB不正确；所以双曲线的离心率；在平面直角坐标系中，双曲线的焦点在轴上.故CD正确.故选：CD.6．（多选题）已知双曲线过点，则下列结论正确的是（）A．C的焦距为4 B．C的离心率为C．C的渐近线方程为 D．直线与C有两个公共点【答案】AC【解析】由双曲线过点，可得，则双曲线的标准方程为：；所以，因为椭圆C的焦距为，所以选项A正确；因为椭圆C的离心率为，所以选项B不正确；因为椭圆C的渐近线方程为，所以选项C正确；将直线与双曲线联立消可得：，，所以直线与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确；故选：AC.二、填空题7.已知双曲线（）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______.【答案】【解析】依题意有，即，解得，所以渐近线的方程为.8．设双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线的其中一条渐近线交于点P，则的面积是________.【答案】【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为：，焦点，，则直线与双曲线的渐近线交于点，，不妨设，则.9．如图，在梯形中，已知，，双曲线过三点，且以为焦点，则双曲线的离心率为_____________.【答案】【解析】设双曲线的方程为，由双曲线是以为焦点，，，把代入，可得，即，又，，设，，，，解得，，可得，代入双曲线的方程可得，即，解得，所以.10.斜率存在的直线点且与双曲线：有且只有一个公共点，则直线斜率为_____________.【答案】或【解析】由题意，设直线的方程为，代入双曲线方程化简可得，当即时，只有一解，满足直线与双曲线有且只有一个公共点；当时，令，解得，此时方程有两个相等实数根，满足直线与双曲线有且只有一个公共点；所以或.三、解答题11.由甲舰、乙舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航。某日，甲舰在乙舰正东方向处，丙舰在乙舰北偏西方向，相距处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？【解析】设分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则点在线段的垂直平分线上，又易知，线段的中点，∴直线的方程为①又，∴点在以焦点的双曲线的右支上，∴双曲线方程为②联立①②，得点坐标为，，因此甲舰行进的方向角为北偏东.12．已知双曲线：的离心率为，点是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点，，求．【解析】（1）由题可得，解得，，所以双曲线的方程为；（2）双曲线的右焦点为所以经过双曲线右焦点且倾斜角为30°的直线的方程为.联立得．设，，则，．所以.《2.6.2双曲线的几何性质(1)-提高练》同步练习一、选择题1.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．12．若双曲线的焦距等于10，则实数m的值等于（）A．20 B． C． D．3．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线距离为，则双曲线实轴长（）A． B． C． D．4.我们把方程分别为x2a2A.离心率 B.渐近线C.焦点 D.顶点5.（多选题）已知双曲线的右焦点为，点A坐标为，点P双曲线左支上的动点，且的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为（）A． B．2 C． D．36．（多选题）把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有（）A．函数的图象不经过第三象限B．函数在R上单调递增C．函数的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D．函数不存在零点二、填空题7．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为_________.8．已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________.9.双曲线C:x24-10.设双曲线，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，为双曲线上的一动点，若，则双曲线的离心率为__________.三、解答题11.已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点，（1）求双曲线的方程；（2）若点为轴上一定点，为双曲线右支上一点，求线段长的最小值.12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．《2.6.2双曲线的几何性质(1)-提高练》同步练习答案解析一、选择题1.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由双曲线的几何性质可得，双曲线的渐近线方程为，又因为渐近线方程为，即，故，选C．2．若双曲线的焦距等于10，则实数m的值等于（）A．20 B． C． D．【答案】C【解析】当时，方程化为，双曲线的焦点在x轴上，则，依题意有，解得；当时，方程化为，双曲线的焦点在y轴上，则，依题意有，解得.综上，.故选：C3．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线距离为，则双曲线实轴长（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，双曲线的一个渐近线为即，设双曲线的的右焦点为，则，所以焦点到渐近线的距离，又离心率，所以，所以双曲线实轴长.4.我们把方程分别为x2a2A.离心率 B.渐近线C.焦点 D.顶点【答案】B【解析】共轭双曲线x2a2-y2b2=1和5.（多选题）已知双曲线的右焦点为，点A坐标为，点P双曲线左支上的动点，且的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为（）A． B．2 C． D．3【答案】ABC【解析】由右焦点为，点的坐标为，，的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得的最小值不小于9又为双曲线的左焦点，可得，，当，，三点共线时，取最小值，所以，即，因为，可得．故选：．6．（多选题）把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有（）A．函数的图象不经过第三象限B．函数在R上单调递增C．函数的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D．函数不存在零点【答案】ACD【解析】由题意，方程，当时，，表示椭圆在第一象限的部分；当时，，表示双曲线在第四象限的部分；当时，，表示双曲线在第二象限的部分；当时，，此时不成立，舍去，其图像如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A是正确的；由函数的图象可得，该函数在为单调递减函数，所以B不正确；由图象可得，函数的图象上的点到原点的距离的最小的点在的图象上，设点，则点满足时，，即则，当时，，所以C正确；令，可得，即，则函数的零点，即为函数与的交点，又由直线为双曲线和渐近线，所以直线与函数没有交点，即函数不存在零点，所以D是正确的.故选：ACD.二、填空题7．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为_________.【答案】【解析】由题意可得：，则实轴长为：，虚轴长为，由题意有：，解得：，代入可得双曲线方程为.8．已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________.【答案】6【解析】结合题意，绘制图像：根据双曲线的性质可知，得到，所以，而，所以，所以最小值为6.9.(2019全国高考)双曲线C:x24-【答案】3【解析】由已知可得a=2,b=2,则c=a2+b2=∵|PO|=|PF|,∴xP=62.又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=22x上,∴yP=∴S△PFO=12|OF|·|yP|=110.设双曲线，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，为双曲线上的一动点，若，则双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】由题意，设，，则，所以，因为，，所以两式相减可得，即，因为，所以，则.三、解答题11.已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点，（1）求双曲线的方程；（2）若点为轴上一定点，为双曲线右支上一点，求线段长的最小值.【解析】（1）因为，则双曲线的实轴、虚轴相等所以可设双曲线方程为因为双曲线过点（4，），所以，即所以双曲线方程为（2）设，令①当即时，当时，，②当即时，当时，，12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．【解析】(1)椭圆方程可化为，焦点在x轴上，且c＝，故设双曲线方程为，则有解得a2＝3，b2＝2.所以双曲线的标准方程为.(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝6，故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而cos∠MF2F1＝，所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．《3.2.2双曲线的简单几何性质(2)-提高练》同步练习一、选择题1.已知双曲线的一条渐近线与双曲线的—条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A． B． C．或 D．或2．已知点P是双曲线C：x21的一条渐近线y＝kx（k＞0）上一点，F是双曲线C的右焦点，若△OPF的面积为5，则点P的横坐标为（）A． B． C． D．3．斜率存在的直线点且与双曲线：有且只有一个公共点，则直线斜率为（）A． B． C．2或 D．或4．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论错误的是（）A．曲线的方程为；B．左焦点到一条渐近线距离为；C．直线与曲线有两个公共点；D．过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条；5．（多选题）双曲线的左、右焦点分别为，点为的左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，，垂足为.当的最小值为3时，的中点在双曲线上，则（）A．的方程为 B．的离心率为C．的渐近线方程为 D．的方程为6.（多选题）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（