202X届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.3抛物线课件

1、高考高考数学数学 (山东专用)10.3抛物线A A组山东省卷、课标组山东省卷、课标卷题组卷题组(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.22xa22yb五年高考答案答案 y=x22解析解析本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法.设A(x1,y1),B(x2,y2).因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4=y1+y2+,即y1+y2=p.由消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以y1+y2=.由可得

2、=,故该双曲线的渐近线方程为y=x.2p2p2p222222,1xpyxyab222pbaba2222B B组课标卷、其他自主命题省组课标卷、其他自主命题省( (区、市区、市) )卷题组卷题组1.(2016课标全国,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.825答案答案 B不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2),则x1=,由题意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p=4.故选B.22(2 2)2p4p24p22p2.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点

3、(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案答案(1,0)解析解析本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算.由题意得a0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,不妨令A在B的上方,则A(1,2),B(1,-2),故|AB|=4=4,得a=1,故抛物线的方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).aaa3.(2017课标全国,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.答案答案6解析解析如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,

4、则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6.思路分析思路分析过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解.方法总结方法总结当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义在解题中的重要作用.4.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案答案22解析解析抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-(p0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从而-=-,得p=2.

5、2p2p22p225.(2019北京理,18,14分)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.解析解析本题主要考查抛物线、直线和圆的基本概念,重点考查直线与抛物线的位置关系,考查学生对数形结合思想的应用以及逻辑推理能力,通过直线与抛物线的位置关系考查了数学运算的核心素养.(1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.

6、(2)抛物线C的焦点为F(0,-1).设直线l的方程为y=kx-1(k0).由得x2+4kx-4=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4,直线OM的方程为y=x.令y=-1,得点A的横坐标xA=-.同理得点B的横坐标xB=-.21,4ykxxy 11yx11xy22xy设点D(0,n),则=,=,=+(n+1)2=+(n+1)2=+(n+1)2=-4+(n+1)2.令=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).DA11, 1xny DB22, 1xny DADB1212x xy y12221244x x

7、xx1216x xDADBC C组教师专用题组组教师专用题组1.(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.10,2解析解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+(k0),l与抛物线C的交点为M

8、(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=121,04141221,2ykxyx21kk214k22yx2 112,y xxx2 12y xx122 11222y xy xx xx=0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.122112211222kxxkxxx xx122121(22)()2kx xxxx22211(22)42kkkkx2 12y xx2.(2016浙江文,19,15分)如

9、图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.解析解析(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,B.又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-.

10、从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-.所以N.设M(m,0),由A,M,N三点共线得=,于是m=.2p24 ,1yxxsy212,tt221tt 212tt212tt2t2232,1ttt22ttm2222231ttttt2221tt 所以m2.经检验,m2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).思路分析思路分析 (1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后利用A,M,N三点共线可得kAM=kAN,最终求出结果.评析评析 本

11、题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.A A组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组考点一抛物线的定义和标准方程考点一抛物线的定义和标准方程三年模拟1.(2019山东临沂第十九中学调研,7)若抛物线y2=2px(p0)上的点A(x0,)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍,则p等于()A.B.1C.D.221232答案答案D由题意得,3x0=x0+,x0=,=2.p0,p=2.故选D.2p4p22p2.(201953原创冲刺卷(一)理,7)已知抛物线C:y2=4x,点A(m,0)在x轴正

12、半轴上,O为坐标原点,若抛物线上存在点P,使得OPA=90,则m的取值范围是()A.(0,4)B.(4,+)C.(0,2)D.(2,+)答案答案B设点P(b0),由OPA=90,得=0,=0,即m=4+,m4,故选B.2,4bbOPPA2,4bb2,4bmb24b3.(2019山东泰安一轮复习检测,4)从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=4,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为()A.B.C.D.2333233答案答案C设P(x0,y0),依题意可知抛物线的准线为x=-1,x0=4-1=3,y0=2,P(3,2),又F(1,0),直线PF的斜率为=

13、,故选C.332 33 134.(2019山东师大附中四模,11)已知抛物线C:y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5 4,且|AF|2,则A点到原点的距离为()A.3B.4C.4D.423答案答案B设A(x1,y1),由题意可得=,又=4x1,x1=或x1=4,|AF|2,x1=4,=16.点A到原点的距离为=4.故选B.111|xy5421y1421y2211xy161625.(2019山东济南外国语学校1月模拟,15)已知抛物线C1:y2=2px(p0)的焦点F与双曲线C2:-=1的一个焦点重合,若点F到双曲线C2的一条渐近线的距离为1,则C1的焦点F到其准线的距离为

14、.23x22yb答案答案4解析解析由题意得=c,点F(c,0)到双曲线C2的渐近线bx-y=0的距离为1,=1,又c2=3+b2,b=1,即c=2,p=2c=4,故抛物线C1的焦点F到其准线的距离为p=4.2p323bcb考点二抛物线的几何性质考点二抛物线的几何性质1.(201953原创冲刺卷(三)理,15)过抛物线y2=4x的焦点F作直线l,交抛物线于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点,则的最小值为.22|ABCD答案答案 13 12解析解析点F(1,0),设直线PQ:x=my+1,代入y2=4x,消去x,得y2-4my-4=0,设P(x1,y1),Q(x

15、2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,设以线段PQ为直径的圆的圆心为M,则点M(2m2+1,2m),半径r=|PQ|=|y1-y2|=2m2+2,过点M作MGAB于点G,MHCD于点H,连接MA,MD,则|AB|2=(2|AG|)2=4(r2-|MG|2)=4(2m2+2)2-(2m)2=16(m4+m2+1),|CD|2=(2|DH|)2=4(r2-|MH|2)=4-=4(4m2+3).令4m2+3=t(t3),则m2=,=4=4=(-1),当且仅当t=,即m2=时,有最小值,为.121221m1221m21616m 22(22)m 22(21)m 34t 22|ABCD42214

16、3mmm233144ttt22134ttt14132tt121313133422|ABCD13 122.(2019山东潍坊一模,15)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点(其中M在G、N之间且G在第一象限),若|GF|=4,|MN|=2|MF|,则p=.答案答案2解析解析如图,过M作MHl于H,由|MN|=2|MF|,得|MN|=2|MH|,MN所在直线的斜率为,MN所在直线的方程为y=,联立得得12x2-20px+3p2=0.解得xG=p,则|GF|=p+=4,即p=2.332px23,22,pyxypx32322pB B组

17、组2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组 时间:30分钟分值:45分一、选择题(每小题5分,共10分)1.(201953原创冲刺卷(四)理,10)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点坐标为F,O为坐标原点,若P为抛物线C上任意一点且|OP|=|PF|,则的最大值为()A.B.C.D.1,042 3336352答案答案 A依题意有=,则p=,所以抛物线C:y2=x,设P(x0,y0),则=,令t=x0+,t,则=,故选A.2p1412|OPPF2200014xyx200014xxx2002011134241614xxtt2311

18、11162tt 231441633t2 332.(2018河北石家庄一模,6)过抛物线y=x2的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在直线y=-1上,若ABC为正三角形,则其边长为()A.11B.12C.13D.1414答案答案 B抛物线y=x2,即x2=4y的焦点F的坐标为(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点D(x0,y0),由题意知直线AB的斜率存在,且不为零,设直线AB的斜率为k(k0),则直线AB的方程为y=kx+1,由消去y,可得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,|AB|=y1+y2+2=4k2+4,x

19、0=2k,y0=2k2+1,D(2k,2k2+1),线段AB的垂直平分线的方程为y-2k2-1=-(x-2k),1421,41yxykx1k即y=-x+2k2+3,令y=-1,得x=2k3+4k,C(2k3+4k,-1),点C到直线AB的距离|CD|=,ABC为正三角形,|CD|=|AB|,=(4k2+4),整理可得k2=2,|AB|=4k2+4=12,即正ABC的边长为12.故选B.1k422|242|1kkk2222(1)1kk322222(1)1kk32思路分析思路分析 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点D(x0,y0),由题意知直线AB的斜率存在且不为零,设直线AB的

20、斜率为k,则直线方程为y=kx+1,联立直线与抛物线方程,可得x2-4kx-4=0,根据根与系数的关系求出点D的坐标,根据抛物线的性质求出|AB|,由线段AB的垂直平分线的方程,求出点C的坐标,根据点到直线的距离公式,求出|CD|,根据正三角形的性质可得|CD|=|AB|,即可求出k2=2,则正ABC的边长即可求出.32二、填空题(共5分)3.(2019山东德州跃华中学模拟,14)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,其准线与双曲线y2-=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.23x答案答案2解析解析y2=2px的准线方程为x=-,由于ABF为等边三角形,因此不妨设A,B,又点

21、A,B在双曲线y2-=1上,-=1,解得p=2.2p,23pp,23pp23x23p23 4p三、解答题(共30分)4.(2017安徽合肥二模,19)如图,已知抛物线E:y2=2px(p0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上的动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求抛物线E的方程;(2)求点M到直线CD距离的最大值.解析解析(1)由xA=2得=4,故2pxA=4,p=1.所以抛物线E的方程为y2=2x.(2)设C,D,切线l1:y-y1=k,代入y2=2x得ky2-

22、2y+2y1-k=0,由=0解得k=,l1的方程为y=x+,同理,l2的方程为y=x+,由解得易得CD的方程为x0 x+y0y=8,其中x0,y0满足+=8,x02,2,由得x0y2+2y0y-16=0,2Ay211,2yy222,2yy212yx21y11y11y12y21y22y11221,21,2yyxyyyxy1212,2,2yyxyyy20 x20y22002 ,8yxx xy y则M(x,y)满足即点M为.点M到直线CD:x0 x+y0y=8的距离d=,易知当且仅当x0=2时,dmax=.01201202,16,yyyxyyx 0008,xxyyx 0008,yxx20022008

23、8yxxy 200162 2yx2008162 2xx008162 2xx182 29 225.(201953原创冲刺卷(五)理,19)已知抛物线E:y2=2px(p0)的焦点与椭圆C:+y2=1的右焦点重合,直线AB交抛物线E于A,B两点.(1)求p的值;(2)若直线AB过x轴上的定点(p,0),求kOAkOB的值;(3)若直线AB与椭圆C在抛物线E含焦点区域内的弧(含端点)相切,求AOB的面积的最小值.22x解析解析(1)椭圆C的右焦点为(1,0),=1,即p=2.(2分)(2)设直线AB:x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-4ty-8=0,则y1+y2=4t,y1

24、y2=-8,所以kOAkOB=-2.(6分)(3)设切点为M(x0,y0),由得x2+8x-2=0,解得x=-4+3(负值舍掉),则3-4x0.设A(x3,y3),B(x4,y4),直线AB:y-y0=k(x-x0),与椭圆方程联立,解得k=-,则直线AB:xx0+2yy0=2.由得+2y0y-2=0,则y3+y4=-,y3y4=,2p22,4xtyyx1212y yx x12221216y yy y1216y y2221,24xyyx222002xy00222,4xxyyyx204x y008yx08x则SAOB=|y3-y4|=4.令t=,则t,SAOB=4,令y=2t4+t3-t2,则y

25、=8t3+3t2-2t,易知y0在t上恒成立,则y=2t4+t3-t2在上单调递增,=.(12分)1202x01x23434()4yyy y01x2000884yxx200206432yxx2002064 1322xxx200204224xxx2234000112xxx01x2 3 24,2224322ttt2 3 24,222 3 24,22min()AOBS742C C组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟应用创新题组应用创新题组1.(201953原创冲刺卷(七)理,12)已知双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为F1,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,抛物线y2=-16ax的焦点为F,若ABF为锐角三角形,双曲线的离心率为e,则e+的最小值为()A.2B.2C.3D.822xa22yb11e3答案答案C在双曲线-=1中,当x=c时,y=,取A,因为ABF是锐角三角形,所以AFF1,则tanAFF1=tan=1,即b24a2+ac,因为b2=c2-a2,所以c2-a24a2+ac,所以e2-e-50,所以1