《平面向量的数量积》教学设计及反思

1、精选文档平面对量的数量积教学设计及反思 交口第一中学 赵云鹏 平面对量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其学问体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新学问垂直的推断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设

2、计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。二、教学目标： 1.了解向量的数量积的抽象根源。 2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4.理解把握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的推断和计算三、重、难点：【重点】1.平面对量数量积的概念和性质 2.平面对量数量积的运算律的探究和应用【难点】平面对量数量积的应用4、 课时支配： 2课时五、教学方案及其设计意图：1平面对量数量积的物理背景 平面对量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移

3、是s，此问题中消灭了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F的所做的功为W，这里的q是矢量F和s的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使同学明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。2 平面对量数量积（内积）的定义已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并规定0与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的

4、，按数量积的定义a×b = |a|b|cosq无法得到，因此另外进行了规定。3. 两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角. ，是记法，是定义的实质它是一个实数。依据推理，当时，数量积为正数；当时，数量积为零；当时，数量积为负。4.“投影”的概念 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。 投影也是一个数量，它的符号取决于角q的大小。当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|. 因此投影可正、可负，还可为零。 依据数量积的定义，向量b在a方向上的

5、投影也可以写成 留意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分。5向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.向量数量积的几何意义在证明安排律方向起着关键性的作用。其几何意义实质上是将乘积拆成两部分：。此概念也以物体做功为基础给出。是向量b在a的方向上的投影。6两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，则 (1) ab Û a×b = 0； (2)当a与b同向时，a×b = |a|b|；当a与b反向时，a×b = -|a|b|. 特殊的a×a = |a|

6、2或 (3)|a×b| |a|b| (4)，其中为非零向量a和b的夹角。例1. (1) 已知向量a ,b，满足,a与b的夹角为,则b在a上的投影为_ (2)若,则a在b方向上投影为 _例2. 已知，按下列条件求 (1) (2) (3) a与b的夹角为 7. 平面对量数量积的运算律1交换律：a × b = b × a证：设a，b夹角为q，则a × b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2数乘结合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)证：若&

7、gt; 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3安排律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面内取一点O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方

8、向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c说明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性质：，（）（）····()·例3 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，a -

9、4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角.解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16a×b -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 两式相减：2a×b = b2代入或得：a2 = b2设a、b的夹角为q，则cosq = q = 60°评述：(1)在四边形中，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即0，应留意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，由于数量积的定义式中含有边、角两种关系.例4若记，求证： 以此作为

10、今后求模的基础。围绕向量的数量积的定义，可开发出解决几何问题中有用的学问：垂直的推断，夹角的计算和线段长度的计算。依据教学实际，有的数学学问可提出问题让同学解决，并总结、概括出一般的结论或规律，但有些学问同学听讲时，理解起来都比较困难，就需要老师的讲解，此时恰当的处理方式是：先让同学学会，再说明道理。这里，两个向量垂直的推断和夹角的计算，可通过让同学自己做题后总结出来；而计算模则需要老师讲解并加以强化：由，当b = a时，接着演示例题并练习。例2已知且a, b夹角是60°，求小结与反思： 以问题的形式，来反馈一节课的重点是否突出，难点是否突破。 问题一：关于向量的数量积的概念包括哪些

11、主要内容？如何引入的？ 问题二：说出向量数量积的几何意义及运算律。 问题三：用向量的数量积可解决几何中的哪三大问题？如何解决？l 数量积的概念包括两个非零向量的夹角的定义和范围、数量积的定义。l 向量数量积的几何意义是：a × b是向量a的模与向量b在向量a方向上的投影的乘积；运算律有三条：。l 用向量的数量积可解决几何中三大问题：垂直的推断、夹角的计算和求线段长度。； ； 。板书设计：整个板面分成三列，把重点学问数量积的定义放在中间显著位置。由其衍生出来的几何意义、运算律放在其下面，再把后面的三大问题放在中间一列的中间位置；左边一列，是两个向量夹角的相关概念；右列集中放例题。教学记：本节课的设计留意教学目标的明确；留意依据同学的认知规律而科学地进行学问序列的呈现；留意调动同学参与教学活动；留意课堂效果的实效性。高中数学教学应体现学问的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让同学经受数学学问的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增加学好数学的愿望和信念。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，挂念同学克服机械记忆概念的学习方式。老师是同学学习的引导者、组