渐开线和渐屈线

1、渐开线和渐屈线星形线渐屈线椭圆渐屈线对数螺线Evo星状的渐开线椭圆渐开线对数螺线发票心形渐屈线外摆线渐屈线老鼠的问题心形渐开线外摆线渐开线肾形的渐屈线悬链线渐屈线Epitrochoid渐屈线肾形的渐开线悬链线渐开线渐屈线抛物线渐屈线凯莱的六次渐屈线亨伯特定理抛物线渐开线圆渐屈线双曲线渐屈线扁长的摆线渐屈线圆渐开线圆内旋轮线渐屈线Semicubical抛物线圆渐开线踏板圆内旋轮线渐开线Semicubical抛物线我缩短的摆线渐屈线Hypotrochoid渐屈线Tractory摆线渐屈线渐开线曳物线摆线渐开线付抛物线曳物线渐屈线三角肌渐屈线蹩脚的曲线三角肌渐开线蜗牛线渐屈线渐开线将一个字符串附加到

2、一个点在曲线上。扩展的字符串,以便它是曲线的切线的附件。然后风字符串,它总是紧。的轨迹点跟踪结束的字符串被称为渐开线的原始曲线,和原来的曲线称为渐屈线渐开线。以上说明了此过程圆.尽管有独特的曲线渐屈线,它有无限多的渐开线对应不同的初始点的选择。一个渐开线曲线也可以被认为是任何正交所有的切线对于一个给定的曲线。渐开线的方程(1)在哪里是切向量(2)和是弧长(3)这个可以写参数化函数表示作为(4)(5)下表列出了一些常见的渐开线曲线,其中一些上面的说明。曲线渐开线星状的渐开线星状的1/2倍心形渐开线心形3倍大悬链线渐开线曳线回光线的圈蜗牛线圆渐开线一个螺旋摆线渐开线平等的摆线三角肌渐开线三角肌1/

3、3倍椭圆渐开线不愿透露姓名的曲线外摆线渐开线小圆外旋轮线圆内旋轮线渐开线类似的圆内旋轮线对数螺旋渐开线另一个对数螺线肾形的渐开线凯莱的六次或肾形的2倍大semicubical抛物线渐开线半抛物线参见:渐屈线一个渐屈线的曲率中心轨迹(信封)的平面曲线的法线。原来的曲线是说渐开线渐屈线。给定一个平面曲线的参数化表示,渐屈线的方程(1)(2)在哪里运行点的坐标,是曲率半径(3)和单位之间的角吗切向量(4)和轴,(5)(6)结合了(7)(8)曲线的渐屈线的定义是独立于任何可微函数参数化(灰色1997)。如果曲线的渐屈线吗,然后据说是吗渐开线的。的中心密切圆曲线形式的渐屈线曲线(灰色1997,p . 1

4、997)。下表列出了一些常见的渐屈线曲线,其中一些上面的说明。曲线渐屈线星状的星状的2倍大心形心形1/3一样大凯莱的六次肾形的圆点(0,0)摆线平等的摆线三角肌三角肌3倍大椭圆椭圆渐屈线圆外旋轮线扩大圆外旋轮线圆内旋轮线类似的圆内旋轮线蜗牛线回光线的圈对于一个点光源对数螺线平等的对数螺线肾形的肾形的1/2大抛物线semicubical抛物线曳物线悬链线参见:曳物线渐屈线的渐屈线的曳物线由参数方程(1)(2)是悬链线(3)曳物线曳物线出现了对莱布尼茨在下列问题:什么是对象的路径与垂直偏移量开始时拖在一系列常数沿直线长度被水平线(Steinhaus指出1999年,页250 - 251)?通过将对象

5、与一条狗,字符串,用皮带,和沿着一条水平线拉狗的主人,曲线具有描述性名称“hundkurve”(狗曲线)在德国。莱布尼兹发现曲线使用这一事实的轴是一条渐近线曳物线(MacTutor存档)。从它的定义,曳物线正是悬链线渐开线描述一个点最初在顶点(所以悬链线是曳物线渐屈线)。曳物线有时被称为tractory或equitangential曲线。曳物线是第一个研究了惠更斯在1692年,他给它起名叫“曳物线。”之后,莱布尼茨、约翰·伯努利和其他人研究了曲线。在笛卡儿坐标,曳物线方程(1)一个参数形式(2)(3)的弧长,曲率,切向角这个参数化与是(4)(5)(6)在哪里是Gudermannian

6、.而令人惊讶的是,区域下的曲线(7)第二个参数的形式角直线相切的曳物线可以通过计算找到(8)(9)(10)然后解决并在获得回堵(11)(12)(13)1997年(灰色)。这种参数化曲率(14)的角度,参数方程可以写(15)(16)(17)(18)(洛克伍德1967,p . 123)是逆Gudermannian.一个遍历与恒速曳物线参数化是由(19)(20)当曳物线绕着它旋转渐近线,伪球面结果。这是一个表面的常数负曲率。曳物线,一个的长度切从接触点的渐近线是恒定的。的区域曳物线及其渐近线之间是有限的。参见:Gudermannian窗体顶端最小值马克斯窗体底端Gudermannian函数奇函数表示

7、要么或出现在逆方程墨卡托投影.表达了纬度的垂直位置在这种投影,所以Gudermannian函数被定义为(1)(2)真实的,这也等于定义(3)(4)Gudermannian中实现Wolfram语言作为Gudermannianz。Gudermannian的导数(5)和它的不定积分是(6)在哪里是dilogarithm.它有麦克劳林级数(7)(OEISA091912和A136606).Gudermannian连接的三角和双曲函数通过(8)(9)(10)(11)(12)(13)Gudermannian是相关的指数函数通过(14)(15)(16)(拜尔1987,p . 1987;Zwillinger 1

8、64,p . 485)。其他基本身份(17)(18)(Zwillinger 1995,p . 1995)。如果,然后(19)(20)(21)(22)(拜尔1987,p . 1987;Zwillinger 164,p . 530),在过去的身份已经被修正。一个额外的身份是由(23)(m .”的探讨。通讯,2006年4月15日)。窗体顶端最小值马克斯再保险即时通讯窗体底端Gudermannian函数也可以扩展到复杂的平面,正如上文所述。参见:(1)或积分Semicubical抛物线渐开线对于一个semicubical抛物线与参数方程(1)(2)的渐开线是由(3)(4)这是半抛物线.Semicubi

9、cal抛物线semicubical抛物线的曲线形式(1)(即。,它是半立方,因此权力)。它有参数方程(2)(3)和极坐标方程(4)的渐屈线的抛物线是一种特殊情况下的semicubical抛物线也叫-尼尔的抛物线或尖头的立方。在笛卡儿坐标,方程(5)也可以写吗(6)的Tschirnhausen立方回光线的也是一个semicubical抛物线。semicubical抛物线曲线沿着这一个粒子下行下重力描述等于垂直间距相等的时间内,使它一个等时曲线。它是由威廉-尼尔发现于1657年,是第一重要的代数曲线其弧长计算。沃利斯在1659年出版的方法,让-尼尔信贷(MacTutor归档)。发现的问题构成的曲线

10、有这个属性被莱布尼茨,1687年也解决了惠更斯(MacTutor存档)。semicubical抛物线是一个单一的家庭成员勒让德范式椭圆曲线(7)的弧长,曲率,切向角为是(8)(9)(10)参见:扁长的摆线渐屈线的渐屈线的扁长的摆线(1)(2)(与)是由(3)(4)参见:扁长的摆线路径跟踪一个定点半径,在那里是半径滚动的圆,有时也被称为一个扩展的摆线。扁长的摆线包含循环,和参数方程(1)(2)的弧长从是(3)在哪里(4)(5)参见:抛物线渐开线的渐开线的抛物线(1)(2)是由(3)(4)定义,这可以写的稍微简单的形式(5)(6)参见:物线渐屈线给定一个抛物线用参数方程(1)(2)渐屈线是由(3)

11、(4)消除和给出了隐式方程(5)与,可以帮助解决这个问题给(6)被称为是哪一个semicubical抛物线.从以上渐屈线,三可以吸引到法线抛物线,只有一个可以吸引到正常抛物线从一个点以下渐屈线.参肾的渐开线的渐开线的肾形的给出的(1)(2)开始的肾形的削减轴是由(3)(4)另一个肾形的。如果渐开线是开始而不是在吗尖端,结果是凯莱的六次.肾形的的2-cusped圆外旋轮线被称为肾形的。肾形的名字的意思是“肾形”,最初是用于two-cusped圆外旋轮线1878年由普氏(MacTutor存档)。肾形的是回光线的为原始的射线尖端的心形并反映在它。此外,惠更斯显示1678年,肾形的回光线的的圆当光源在

12、无穷远处,一个观察,他在1690年发表在他的行程de la luminere(MacTutor存档)。(Trott 2004,p。17日误州的回光线的平行光落在任何凹镜肾形的。)“平遮阳板的形状曲线”由一个弹出卡被称为“骑士的面罩”是半肾形的(Jakus和Orourke 2012)。自肾形的尖点,和方程的参数是由圆外旋轮线方程(1)与 ,(2)在哪里(3)这可以写(4)的参数方程是(5)(6)(7)笛卡儿方程(8)肾形的有区域和弧长,(9)(10)的弧长,曲率,切向角作为参数的函数是(11)(12)(13)的表达式和是有效的 .肾脏可以生成的信封的圆圈围绕给定的圆和圆的切线

13、直径(威尔斯1991)。参见:肾形的渐屈线的渐屈线的肾形的给出的(1)(2)是由(3)(4)这是另一个肾形的.老鼠的问题在老鼠的问题,也称为甲虫的问题,老鼠从一个普通的角落gon单元边长,每朝逆时针方向最亲密的邻国的鼠标速度常数。每个跟踪了老鼠对数螺线在中心的会面多边形和旅行第一个值,3,都是给数值0.5、0.666667、1、1.44721、2、2.65597、3.41421、4.27432、5.23607,.形成的曲线连接时间的定期老鼠是一个有吸引力的图称为旋转.这个问题也被称为(3、4等)(错误、狗等)问题。它可以推广到不规则的多边形和老鼠旅行以不同的速度(伯恩哈特1959)。米勒(18

14、71)认为三个老鼠一般位置与速度调整后保持原来的路径相似三角形相似。参对数螺旋渐开线对于一个对数螺线与参数方程(1)(2)的渐开线是由(3)(4)这是另一个对数螺线的一个因素和旋转一个角度 .对数螺线对数螺线是螺旋谁的极坐标方程是由(1)在哪里的距离吗起源,的角吗轴,和任意常数。对数螺线也称为螺旋增长,对数螺线,spira君子兰。它可以参数化表示(2)(3)这螺旋有关斐波纳契数,黄金比例,黄金矩形,有时被称为黄金螺旋。可以用对数螺线等距的射线通过从一个点开始沿着一个雷,并绘制垂直于邻近的射线。射线的数量趋于无穷时,序列片段的方法顺利对数螺线(希尔顿等。1997年,页2 - 3)。16

15、38年首次研究了对数螺线笛卡尔和雅各布·伯努利。伯努利螺旋深深吸引了,他有一个刻在他的墓碑上(尽管雕刻师没有画一如既往)一起的话“eadem mutata resurgo”(“我将产生相同的虽然改变了”)。托里拆利它独立工作,发现曲线的长度(MacTutor存档)。的变化率半径是(4)和角在点之间的切向和径向线是(5)所以,当 ,和螺旋的方法圆.如果是螺旋上的任何一点,那么螺旋的长度到原点是有限的。事实上,从这一点这是在距离从原点沿来衡量半径向量的距离到极只是沿着螺旋弧长。此外,任何半径从原点与螺旋的距离几何级数(MacTutor存档)。的弧长(从原点来衡量, )

16、,曲率,切向角给出了对数螺线的(6)(7)(8)的采查罗方程然后由(9)表面上的球模拟是一个恒向线.对数螺线渐屈线对于一个对数螺线给定的参数化,(1)(2)渐屈线是由(3)(4)作为第一约翰·伯努利所示,渐屈线的对数螺线因此另一个对数螺线,有和 ,在某些情况下,渐屈线是相同的原始,可以通过使新变量替换(5)然后上面的方程(6)(7)(8)(9)这相当于原始方程的形式如果(10)(11)(12)唯一的解决方案和负号在哪里存在。解决了价值观总结在下表中。10.274410631920.164270051230.121832250840.098406496750.08328106

17、1160.072597488170.064595818380.058349407390.0533203211100.0491732529引用:蜗牛线渐屈线蜗牛线渐屈线的回光线的的圆对于一个辐射点是蜗牛线渐屈线。它有参数方程(1)(2)参见:蜗牛线蜗牛线是极曲线的形式(1)也称为帕斯卡的蜗牛线。首次研究了杜勒,谁给了画图的方法Underweysung der Messung(1525)。重新发现了艾蒂安帕斯卡,布莱斯帕斯卡尔的父亲,被Gilles-Personne Roberval 1650年(MacTutor存档)。“蜗牛线”这个词来自于拉丁语limax,意思“蜗牛”。如果蜗牛线是凸的。如果,

18、蜗牛线波纹。如果,蜗牛线退化心形。如果蜗牛线有一个内部循环。如果,这是一个三等分角线(但不麦克劳林三等分角线).为,内循环区域(2)(3)(4)在哪里。类似的外信封包围的面积(5)(6)(7)因此,区域循环之间的(8)的特殊情况,这些简化(9)(10)(11)以参数化(12)(13)给出了弧长的函数作为(14)在哪里是一个第二类椭圆积分。让让整条曲线的弧长(15)在哪里是一个第二类完全椭圆积分.生成的蜗牛线可以通过指定一个固定的点序列,然后画一个圆圈的中心在一个给定的圆,所有通过。的信封这些曲线是一个蜗牛线。如果不动点在周长圆的,那么信封是一个心形.蜗牛线是一个anallagmatic曲线。蜗

19、牛线是螺旋线的圆对一个点上周长(威尔斯1991)。Hypotrochoid渐屈线的渐屈线的hypotrochoid是一个复杂的方程。上面的例子说明。参见:Hypotrochoidhypotrochoid是轮盘赌由一个点跟踪附加到圆的半径在一个固定的滚动圆的半径,在那里是一个距离从内部圈子的中心。的参数方程对于hypotrochoid是(1)(2)特殊情况包括圆内旋轮线与,椭圆与,玫瑰与(3)(4)的弧长,曲率,切向角是(5)(6)(7)在哪里是一个第二类椭圆积分.参见:圆内旋轮线定点生产的曲线在周长一个小的圆的半径滚来滚去的内部圆的半径。因此一个圆内旋轮线hypotrochoid与 

20、.推导圆内旋轮线的方程,称为角上的一个点的小圆对其中心旋转,角从大的中心圆的小圆。然后(1)所以(2)调用。如果在最小半径,然后第一点是,和笛卡尔圆内旋轮线的参数方程(3)(4)(5)(6)如果而不是第一个点是在最大半径(圆),然后圆内旋轮线的方程(7)(8)的曲率,弧长,切向角给出圆内旋轮线的(9)(10)(11)一个尖的圆内旋轮线已经。为一个整数,圆内旋轮线的方程,因此成为(12)(13)和弧长因此区域(14)(15)一个2-cusped圆内旋轮线是A线段卡纳斯(Steinhaus指出1999年,p . 1999;2003),可以被设置在方程()和()和注意的是,方程简化(16)(17)这

21、个结果是由波斯的天文学家和数学家纳西尔指出Al-Din al-Tusi(1201 - 1274),有时也被称为“土司夫妇“是他的荣誉(Sotiroudis Paschos 1999,60页;喀纳斯2003)。下表总结了这个名字和其他圆内旋轮线有特殊整数的值 .圆内旋轮线2线段 (土司夫妇)3三角肌4星状的如果是理性的,那么曲线最终关闭自己,尖点。圆内旋轮线的数量理性的的值上面的说明。如果是非理性的曲线,那么永远不会关闭。圆内旋轮线的数量非理性的的值上面的说明。尖的圆内旋轮线也可以由开始的直径的圆通过一系列的步骤,抵消一端同时抵消另一端的步骤倍相反的方向和扩展超出的边缘圆。在

22、环游圆有一次,一个尖的圆内旋轮线产生,正如上文所述(Madachy 1979)。让从一个固定的点的径向距离。为半径的扭力和弧长,一个圆内旋轮线可以给出的方程(18)(Kreyszig 1991,页63 - 64)。一个圆内旋轮线也满足(19)在哪里(20)和是角之间的半径矢量和切的曲线。圆内旋轮线的方程可以放在一种有用的解决方案变分法径向对称的问题。考虑这样一种情况,然后(21)但,所以,这使(22)(23)(24)(25)(26)(27)现在我们(28)所以(29)(30)然后(31)(32)的极角是(33)但(34)(35)(36)所以(37)(38)(39)(40)(41)计算(42)(

23、43)(44)然后给了(45)最后,堵回了(46)(47)这种形式是有用的解决方案球体与隧道问题的推广最速降线问题,找到一条隧道钻透的形状球根据高斯定律(重力变化)这样的引力场,两点之间的旅行时间的表面球在重力下最小化。参见:圆内旋轮线渐屈线为 ,(1)(2)如果,然后(3)(4)这是原始的圆内旋轮线扩展的因素和旋转把。参见圆内旋轮线渐开线的圆内旋轮线(1)(2)有渐开线(3)(4)这是另一个圆内旋轮线.圆外旋轮线路径跟踪的一个点边上的圆的半径在外面的圆的半径。因此一个圆外旋轮线的epitrochoid与。圆外旋轮线的参数方程(1)(2)一个极坐标方程可以通过计算(3)(4)所以(5

24、)但(6)所以(7)(8)请注意,是这里的参数,而不是极角。极角的中心(9)得到尖点在圆外旋轮线,因为这样旋转的将边缘点回到起始位置。(10)(11)(12)(13)所以(14)(15)一个用一个尖端称为外摆线心形,有两个尖点被称为肾形的,一个有五个尖点被称为ranunculoid.圆外旋轮线也可以由开始的直径的圆和抵消一端通过一系列步骤的等弧长周长同时抵消另一端沿周长的步骤倍。在环游圆有一次,信封一个尖的圆外旋轮线产生,正如上文所述(Madachy 1979)。圆外旋轮线有扭转(16)并满足(17)在哪里是曲率半径 ().参见:曲率半径由曲率半径(1)在哪里是曲率。在一个给定的点在

25、一个曲线,的半径吗密切圆。符号有时被用来代替吗表示曲率半径(如。1972年,劳伦斯,p。4)。让和给定的参数化的(2)(3)然后(4)在哪里和。类似地,如果写在形式的曲线,然后由曲率半径(5)在极坐标,曲率半径(6)在哪里和(灰色1997,p . 1997)。参见:双曲线渐屈线的渐屈线的双曲线用参数方程(1)(2)是(3)(4)类似于一个是哪一个蹩脚的曲线,但是有一个负号。消除给出了隐式笛卡尔渐屈线的方程(5)从一个点的两个分支之间渐屈线,两个法线可以的吗双曲线。然而,从一个点超出了渐屈线,四个法线可以绘制。双曲线灰色双曲线(复数“双曲线”;1997年,45页)是一个圆锥曲线定义为轨迹所有的点

26、在飞机不同的距离和(从两个固定的点疫源地和隔开一段距离是一个给定的积极的常数 ,(1)(希尔伯特和Cohn-Vossen 1999,p。3)。让落在左边拦截要求(2)常数是由,即,之间的距离拦截(上图左)。双曲线的射线源的重要属性焦点反映了在这样一个方式,即将离任的路径是沿着线焦点通过交点(上图右)。的特殊情况等轴双曲线,对应于一个双曲线偏心率由Menaechmus,首次研究了。欧几里得和阿里斯泰俄斯写一般的双曲线,但只有研究的一个分支。双曲线目前的名字是由阿波罗,谁是第一个研究两个分支。的焦点和圆锥曲线准线被认为是由冠毛(MacTutor存档)。双曲线轨道的形状的身体逃逸轨迹(即。

27、身体和积极的能量),比如一些彗星,对于一个固定质量,如太阳。可以由双曲线连接自由端严格的酒吧,在那里是一个焦点,另焦点用一个字符串。随着酒吧是旋转和是对酒吧(即下保持紧绷的状态。位于酒吧)轨迹的的一个分支是一个双曲线(上图左;威尔斯1991)。一个定理的阿波罗州线段双曲线的切线点和相交渐近线的点和,然后是恒定的,上图(右,威尔斯1991)。让点双曲线的笛卡尔坐标系,然后双曲线的定义给了(3)重新安排和完成广场(4)和两边同时除以结果(5)通过类比的定义椭圆,定义(6)所以双曲线的方程半长轴平行于轴和半短轴平行于轴是由(7)或者,为中心的观点而不是 ,(8)不像椭圆的,没有点实际上双曲

28、线躺在半短轴,而是比率决定了双曲线的垂直扩展。的偏心双曲线(总是满足然后定义为)(9)双曲线的标准方程,位于中心,疫源地在,和顶点。所谓的渐近线(显示为虚线在上面的数字)可以找到用0 1右边的一般方程(8),(10)因此有山坡上 .的特殊情况(左边的图上图)被称为等轴双曲线因为渐近线是垂直的.双曲线也可以定义为轨迹点的距离焦点从垂直行水平距离成正比吗被称为圆锥曲线准线,比例。让是比和到中心的距离的准线谎言,(11)(12)在哪里因此,简单的偏心 .像非圆形椭圆,都有两个截然不同的疫源地和两个相关的圆锥曲线准线,每个圆锥曲线准线被垂直的线加入两个焦点(伊夫斯1965,p .

29、1965)。的焦参数双曲线的(13)(14)(15)在极坐标为中心的双曲线的方程起源(即。,)是(16)在极坐标集中在一个焦点,(17)正如上文所述。的双中心双极坐标系方程与起源焦点是(18)参数方程给出了右分支的双曲线(19)(20)在哪里是双曲余弦和是双曲正弦双曲线的范围在正确的分支。一个参数表示范围超过两个分支的双曲线(21)(22)与和不连续性。的弧长,曲率,切向角上述参数化(23)(24)(25)在哪里是一个第二类椭圆积分.的特殊的仿射曲率双曲线的(26)的轨迹顶点的一个变量锥包含一个椭圆固定在立体图是一个双曲线疫源地的椭圆。此外,轨迹的顶点锥包含原始的双曲线椭圆。此外,怪癖的椭圆和

30、双曲线是倒数。参见:双曲线渐屈线的渐屈线的双曲线用参数方程(1)(2)是(3)(4)类似于一个是哪一个蹩脚的曲线,但是有一个负号。消除给出了隐式笛卡尔渐屈线的方程(5)从一个点的两个分支之间渐屈线,两个法线可以的吗双曲线。然而,从一个点超出了渐屈线,四个法线可以绘制。参亨伯特定理的必要的和足够的条件是一个代数曲线有一个代数渐开线是,弧长是一个两值的代数函数的坐标的四肢。此外,这个函数是一个根的二次方程谁的系数是理性的功能和 .双曲线逆曲线对于一个等轴双曲线(1)(2)与反演中心在原点,逆曲线是(3)(4)这是一个双纽线.对于一个等轴双曲线与反演中心在焦点,逆曲线是(5)(6)这是一个

31、蜗牛线.对于一个等轴双曲线与反演中心在抛物线的顶点,逆曲线是(7)(8)这是一个对环诉.对于一个非矩形双曲线与和反演中心在抛物线的顶点,逆曲线是(9)(10)这是一个麦克劳林三等分角线.参见Epitrochoid的轮盘赌由一个点跟踪附加到圆的半径滚来滚去的外固定圆的半径。这些曲线研究了杜勒(1525),Desargues(1640),惠更斯(1679),莱布尼茨,牛顿在1686年,洛必达1690年,雅各布·伯努利在1690年,洛杉矶雇佣1694年,约翰·伯努利在1695年,丹尼尔·伯努利,1725年和1745年和1781年欧拉。epitrochoid出现在杜勒的工

32、作指令和圆规和直尺测量在1525年。他叫epitrochoids蜘蛛线,因为线用于构造曲线看起来就像一只蜘蛛。的参数方程对于一个epitrochoid(1)(2)在哪里是距离滚动的中心圆。特殊情况包括蜗牛线与,圆与,圆外旋轮线与 .参(1)(2)where  is the distance from  to the center of the rolling circle. Special cases include the limaçon with , the circle 

33、;with , and the epicycloid with .SEE ALSO:Epitrochoid渐屈线的参数方程的渐屈线一个epitrochoid指定的圆半径和以抵消是(1)(2)在哪里(3)(4)参见:外摆线渐开线的渐开线的圆外旋轮线(1)(2)是另一个圆外旋轮线给出的(3)(4)外摆线渐屈线的渐屈线的圆外旋轮线(1)(2)是另一个圆外旋轮线给出的(3)(4)参见:三角肌渐开线的渐开线的三角肌(1)(2)是一个圆内旋轮线渐开线为(3)(4)这是另一个三角肌按比例缩小的倍和旋转把。三角肌一个3-cusped圆内旋轮线,也称为tricuspoid

34、。三角肌在1745年首次被欧拉与光学有关的问题。这也是调查施泰纳在1856年和有时被称为施泰纳的圆内旋轮线(洛克伍德1967;Coxeter和格雷策1967年,p . 44;MacTutor)。三角肌的方程是通过设置的方程圆内旋轮线,在那里是半径大型固定圆和是半径小的滚动圆,参数方程(1)(2)(3)(4)的弧长,曲率,切向角是(5)(6)(7)总弧长计算是一般人吗圆内旋轮线方程(8)与,这给(9)的区域是由(10)与(11)tricuspoid切的长度,两个点之间的测量 ,它再次削减曲线,是恒定的,等于。如果你画切线在和,他们是在直角.,而令人惊讶的是,三角肌可以作为转子在一个星状

35、的事实上,三角肌回光线的是一个星状的.参切向角对于一个平面曲线,切向角被定义为(1)在哪里是弧长和是曲率半径。因此,切向角是由(2)在哪里是曲率。对一个平面曲线,切向角也可以定义为(3)灰色(1997)调用转动的角度而不是切向角。三角肌渐屈线的渐屈线的三角肌(1)(2)是一个圆内旋轮线渐屈线为(3)(4)这是另一个三角肌按比例缩小的倍和旋转把。参摆线渐开线的渐开线的摆线(1)(2)是由(3)(4)在上面的图中,可以看出渐开线只是一个改变的原始拷贝吗摆线,所以摆线是自己的渐开线!参见:摆线渐线的渐屈线的摆线(1)(2)是由(3)(4)在上面的图中,可以看出渐屈线只是一个改变的原始拷贝吗摆线,所以

36、摆线是自己的渐屈线.参缩短的摆线渐屈线的渐屈线的缩短的摆线(1)(2)(与)是由(3)(4)参见:缩短的摆线缩短的摆线,有时也称为简约摆线,路径跟踪是一个固定的点半径,在那里是半径滚动的圆。缩短的摆线使用一些小提琴制造商的拱背一些仪器,和他们像那些发现在一些伟大的对阵18世纪早期的乐器,比如由弦乐器(公平联盟1999)。一个缩短的摆线参数方程(1)(2)的弧长从是(3)在哪里是一个不完整的第二类椭圆积分.参见:摆线摆线的轨迹点的边缘圆的半径沿直线滚动行它进行了研究,并在1599年被伽利略。伽利略试图找到区域重块的金属切成摆线的形状。托里拆利、费马和笛卡尔都找到了区域。摆线也研究了Roberva

37、l 1634年,发生在1658年,惠更斯在1673年,并在1696年约翰·伯努利。Roberval和雷恩发现弧长(MacTutor存档)。摆线齿轮齿也被制成,首次提出通过Desargues在1630年代(Cundy和Rollett 1989)。1696年,约翰·伯努利挑战其他数学家找到解决的曲线最速降线问题,知道的解决方案是一个摆线。莱布尼茨,牛顿,雅各布·伯努利伯努利方程和洛必达所有解决的挑战。摆线也解决了等时曲线问题在接下来的文章中,提到白鲸记:“(试试“壶)也是一个深刻的数学冥想的地方。在“百戈号”的左手试试“壶,努力与滑石环绕我,我第一次间接被显著的事实,

38、在几何所有的身体沿着摆线滑翔,滑石,例如,将来自任意点在完全相同的时间”(梅尔维尔1851)。因为它引发了争吵的频率在17世纪,数学家摆线被称为“海伦几何学家”(波伊尔1968年,p . 1968)。的摆线回光线的当光线是平行的轴是一个圆形的拱门的两倍。的径向曲线摆线是一个圆。的渐屈线和渐开线摆线是相同的摆线。如果摆线尖端在起源和它的驼峰是向上的,它的参数方程(1)(2)的线条完成在连续值对应的倍数,高度和长度。消除在上面的方程了笛卡儿方程(3)这是有效的并给出了上半年的第一个驼峰摆线。一个隐式是由笛卡尔方程(4)的弧长,曲率,切向角第一摆线的驼峰(5)(6)(7)第一驼峰(8)一个驼峰的摆线

39、,弧长和区域因此,根据曲线(9)(10)参见:次摆线一次摆线轨迹的点的距离的中心圆的半径一个固定的行上滚动。一次摆线参数方程(1)(2)如果次摆线称为缩短的摆线,如果,这是一个摆线,如果曲线是一个扁长的摆线.的弧长函数,曲率,切向角是由(3)(4)(5)在哪里是一个不完整的第二类椭圆积分和是层功能.参见:圆渐开线踏板曲线的踏板曲线的圆渐开线(1)(2)中心踏板点是阿基米德螺旋(3)(4)参见:圆一个圆是等距的点集在一架飞机从一个给定的点。的距离从中心被称为半径,点被称为中心。的两倍半径被称为直径。角一圈从它的中心是一个圆弧全角,等于或弧度.一个圆的最大可能区域对于一个给定的周长,最低可能的周长

40、对于一个给定的区域.的周长一个圆叫做周长,是由(1)这可以计算使用微积分使用的公式弧长在极坐标,(2)但自,这是简单的(3)的周长- - - - - - - - -直径比为一个圆是恒定的圆的大小改变(因为它必须自扩展平面图形的一个因素增加其周长通过),尺度,。这一比率来标示 (),已被证明先验的.知道,区域圆的计算几何或使用微积分。随着同心条的数量增加到正无穷正如上文所述,他们形成一个三角形,所以(4)这个推导过程最初是由阿基米德在测量记录一个圆(ca,公元前225年)。如果圈而不是切成楔形,楔形的数量增加到正无穷,a矩形结果,因此(5)从微积分从公式,该地区立即(6)再次使用极坐标

41、.一圈也可以被视为的极限情况正多边形与内接圆半径和外接圆半径的数量趋于无穷时(图技术被称为一个apeirogon)。这就给了周长作为(7)(8)和区域作为(9)(10)哪些是等同于自半径和收敛于相同的半径 .不幸的是,几何学家拓扑学家采用不兼容的约定”的意思球”,几何学家指的是底层的坐标空间和拓扑学家指的是表面本身的尺寸(Coxeter 1973,p . 1973)。因此,几何学家叫2的圆的周长的球体,在拓扑学家称它为1-sphere表示 .圆是一个圆锥曲线通过十字路口锥与一个飞机垂直的到锥的对称轴。这也是一个利萨曲线。一个圆的退化情况椭圆以同样的半长和半短轴(即。,偏心0

42、),一个圆的内部被称为磁盘。圆的泛化三维空间被称为球,并尺寸为一个超球面.两个圆相交的区域被称为镜头。三个对称放置的区域交叉圈(例如在维恩图解),在特殊情况下的中心是位于十字路口的其他两个,被称为鲁洛三角形.在笛卡儿坐标,一个圆的方程半径集中在是(11)在踏板坐标与踏板点中心,方程(12)圆有是由直径(13)的参数方程一个圆的半径可以由(14)(15)圈也可以参数化的理性功能(16)(17)但是一个椭圆曲线不能。上面的情节显示的序列正常的和切向量的循环。的弧长 ,曲率,切向角圆的半径表示参数化()和()(18)(19)(20)的采查罗方程是(21)在极坐标圆的方程有一个特别简单的形式

43、。(22)是一个圆的半径集中在起源,(23)是圆的半径集中在,(24)是一个圆的半径集中在 .圆的方程经过三分为、2、3(外接圆的三角形由点)(25)的中心和半径可以识别出这个圆的的分配系数二次曲线(26)在哪里和(因为没有交叉项)。完全平方给了(27)的中心可以确定为(28)(29)和半径作为(30)在哪里(31)(32)(33)(34)四个或更多的点,躺在一个圆圈表示concyclic。三分是非常concyclic因为三个noncollinear点确定一个圆。在三坐标,每个圈子都有一个方程的形式(35)与(Kimberling 1998,p . 1998)。中心的一个圆方程(35

44、)是由(36)(37)(38)(Kimberling 1998,p . 1998)。在确切的三坐标圆的方程,通过三个noncollinear点确切的三坐标 ,是(39)(Kimberling 1998,p . 1998)。包含三条线的半径的圆的程与中心是由Kimberling(1998,第223页)。参见:山羊的问题山羊的问题(或bull-tethering问题)认为一个坚固的圆形的半径山羊(或牛,或其他动物)绑定到一个点的内部或外部篱笆的长度范围,要求解决各种问题的多少可以放牧。新婚一只山羊在栅栏的内部点半径1使用链的长度必须使用,考虑链的长度,为了让山羊吃草一个一半的面积。答案是

45、通过使用的方程圆圆十字路口(1)采取给了(2)上面绘制。设置(即。的一半,)导致方程(3)不能完全解决,但已近似解(4)(OEISA133731).现在不是考虑新婚山羊的外围墙(或等价,外部的筒仓的水平横截面是一个圆),半径。假设山羊,所以不能达到进一步在栅栏上的比点对着自己的起点(霍夫曼1998年,我们已经取代了霍夫曼的牛更平淡的山羊)。山羊可能明显的内部内放牧半圆的半径其直径的切线栅栏。此外,山羊放牧可能两个区域两侧的半圆栅栏内边界和圆渐屈线外边界。为了找到这个区域的面积,假设栅栏是面向这最远的点在周长,山羊可以达到的位置。现在,注意的方程圆渐开线是由(5)(6)从几何,山羊将在径向约束和受拉之间的过渡点圆的切线,所以(7)(8)(9)将(8)和(9)和解决然后在参数表明,发生这种情况。渐开线部分的面积,然后由山羊可以放牧(10)(11)(12)添加两次这个区域半径的半圆的面积然后给出了总区域山羊可以吃草(13)grazable区域以上的比率。注意这个情况形成一个曲线