第二十一章随机变量及其分布

1、第第二十一章二十一章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第二十二二十二章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第九讲第九讲 随机变量随机变量 21.2 21.2 离散型随机变量离散型随机变量1. 离散型随机变量离散型随机变量：若的所有可能取值为有限个或可数无限多个，则称为离散型随机变量. 设取值：x1, x2 , ., xk , .记P=xk=pk (k=1, 2, .).称为的概率分布. 也可列成表格形式:关于pk , (k=1, 2, .)显然有(1) pk0 (k=1, 2, .)(2)kkp1Px1, x2, ., xk , .p1, p2, ., pk , .2. 几种常见的概率

2、分布几种常见的概率分布(1) 01分布若P=1=p, P=0=q, 01分布(p是参数).其中0p1, q=1p,则称服从(2) 二项分布若knkknqpCkP (k=0, 1, 2, .n) 其中0p0, 则称服从泊松分布(为参数). 常记P()例例1. 一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从=4的泊松分布. 求(1)每分钟恰有6次呼叫的概率；(2)每分钟的呼叫数超过3次的概率.解解：设每分钟接到的呼叫次数为，由题意P(4).故4!4ekkPk(k=0, 1, 2, )(1)(2)46! 646eP1042. 0301kkPP3=1P34335. 015665. 021.3 21.3 连续型随

3、机变量连续型随机变量1. 连续型随机变量定义连续型随机变量定义 对随机变量, 若存在f (x)0 (x+) 使对a, b(ab)有baxxfbaPd)(则称为连续型随机变量，并称f(x)为的概率密度函数.（3）对a, P=a=0（4） Pab=Pab=Pa b=Pa bbaxxfd)(2.性质：性质：f (x)有(1) f (x)01d)()2(xxf0f (x)y=f (x)ba例例2. 设连续型随机变 量的概率密度为21)(xAxf确定常数A，并求P11解解：由有1)(dxxfxxAd1221dxxAxAarctan)2(2( A A1=所以1A故112d)1 (111xxXP11arct

4、an1x213. 常见的概率分布常见的概率分布(1)均匀分布若的概率密度函数为 f (x)=ab10 ax b xb则称在a, b上服从均匀分布.f (x)ab1ba0 x(2)指数分布若的概率密度函数为 f (x)=,xe0 x 0其中0为常数，则称服从指数分布(参数为)0 f (x)xx 0(3)正态分布若的概率密度函数为22)(2121)(xexf(x 0是常数，则称服从正态分布 ( , 为参数)常记为 N (, 2)x0特别地 = 0, =1时称为标准正态分布，记N(0, 1), 概率密度函数为2221)(xexx021.4 21.4 随机变量的分布函数随机变量的分布函数1. 分布函数

5、分布函数：设随机变量，对任实数x, 称函数F(x)=Px (x+)为的分布函数xx2.F(x)具有下列性质：具有下列性质：(1) 0F(x) 1 F()=0, F(+)=1(2) F(x)单调不减，即x1x2有F(x1) F(x2)(3) F(x)右连续，即x0, 有F(x0+0)=F(x0)(4) 对任意a, b(ab)有Pab=Pb P a=F(b) F(a)离散型随机变量的分布函数一般是阶跃函数：xxkkpxF)(k= 1, 2, .)其中pk=P=xk (k= 1, 2, .)连续型随机变量的分布函数为xdxxfxPxF)()(其中f(x)为的概率密度. f (x) F (x)xx0F

6、(x)x1120p1p1+ p2. 设N(, 2) 则xexFxxd21)(22)(21特别地对N(0, 1)有xxxexd21)(220 x1(x)容易证明容易证明1 (x)xxx(x)f (x)0 (x)=1 (x)例例3. 设N(0, 1), 利用(x)值表求P11.解解：(1) P12= (2) (1) = 0.97720.8413 =0.1359设N(0, 1), 则Pa1=1P|1=10.6826=0.3174 例例4. 设N(3, 4). 求P14解解： P1x1时 F(x2,y) F(x1,y) 对任意固定x，当y2y1时 F(x,y2) F(x,y1) (3) F(x,y)关

7、于x或y右连续即： F(x,y)F(x+0,y) F(x,y)F(x,y+0) (4) 对任意 (x1,y1) , (x2,y2) 其中x1x2 , y1y2 都有 P(x1X x2 , y10 , 2 0 , -1 1, 我们称(X,Y)为具有参数 1, 2, , 1 , 2 , 的二维正态随机变量设G为平面上的有界区域, 其面积为A. 若（X，Y）的密度函数为:（1）均匀分布）均匀分布（- x + ，- y + )221121),(yxf)()(2)()1 ( 212222212121212eyyxx f (x, y)=1/A ( x,y ) G0, 其他则称（X，Y）在G上服从均匀分布

8、f (x, y) =C(6x y), 0 x2, 2y40, 其他例例7. 设(X, Y)的联合概率密度为(1) 求常数C;(2) 求PX+Y3.解解：(1) yxyxfdd),(12042d)6(dyyxCx20422d26xyxyyCC881C(2)记D:(x, y) : x+y3, 0 x2, 2y4PX+Y3Dyxyxfdd),(xyyxx3210d)6(81d2454123012x2)（X，Y）的边缘分布函数）的边缘分布函数1) 边缘分布的概念边缘分布的概念定义: 设(X,Y)为二维随机变量, X(或Y)的概率分布 称为(X,Y) 关于X(或Y)的边缘分布设(X,Y)的联合分布函数为

9、F(x,y),它关于X (或Y) 的边缘分布函数为F X(x), F Y(y).则FX (x)=P( X x, Y + )=F(x,+ )FY (y)=P ( X + , Y y)=F(+ ,y)3) 离散型随机向量离散型随机向量(X, Y)的边缘分布的边缘分布设(X, Y) 的联合分布为 PX= xi, Y= yj=pij (i, j=1, 2, .)则(X, Y)关于X的边缘分布为jijiipxXPp). , 2 , 1( i( X, Y)关于Y的边缘分布为iijjjpyyPp). , 2 , 1( jyyxfxfXd),()(4) 连续型随机向量连续型随机向量(X, Y)的边缘分布的边缘

10、分布设(X, Y)的联合概率密度函数为f (x, y). 则(X, Y)关于X的边缘概率密度函数;xyxfyfYd),()(X, Y)关于Y的边缘概率密度函数.4. 边缘分布边缘分布21.7 随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性1) 定义定义: 设F(X,Y), FX (X,Y), FY (y)分别是二维随机变量(X,Y) 的分布函数及边缘分布函数, 若对于任意实数x,y有F(X,Y)=FX (X)FY (y) 即P ( X x,Yy) =P(Xx) P(Yy) , 则称随机变量X和Y相互独立。定理定理2. 对于连续型随机变量X, Y, X与Y是相互独立的 对所有的x, y有 f ( x

11、, y ) = fX( x ) fY( y ) 定理定理1. 对于离散型随机变量X, Y, X与Y是相互独立的 对(X, Y)的所有取值(xi, yj)有PX=xi, Y=yj=PX=xiPY=yj或pij =pip j (i, j=1, 2, .)2) 相互独立的条件相互独立的条件设(X, Y)为二维随机变量，z=g(x,y)是连续函数，则Z=g(X,Y)也是随机变量。21.7 二个随机变量函数的分布二个随机变量函数的分布1、离散型情况、离散型情况 (X,Y离散 Zg(X,Y)亦离散）例例8: 设X, Y相互独立且分别服从参数为1, 2的普阿松分布, 证明X+Y服从参数为1 + 2的普阿松分

12、布. 证明：证明：因为 i!ei)p(Xi ,21) (i,jj!ej)p(Yj. , 1 ,022 Z=X+Y的取值为 0, 1, 2, 3, 且Ukik-i)i,Y(XkYX0)()(kYXpkZpUkiikYiXp0),(kiikYiXp0),(21e)!(e!201ikiikkii.)2 , 1 , 0()(!e21)(21kkk X+Y服从参数为1+ 2的普阿松分布kiikYPiXp0)()()(2)(10)(*)!( !e21ikikiikikk2、连续型情况、连续型情况1) 和的分布 设 f(x, y)为(X, Y)的概率密度, FZ(z) = P(Z z) = P(X+Y z)

13、 = P(X ,Y) D其中 D为直线 x+ y = z 的左半平面 ( 即 x+y z )zyxyxyxfdd),(dxdyyxfxz),(dxduxuxfz ),(u=x+y=dudxxuxfz),(x+y=zD0 xyZ=X+Y, 则(1) ),()()( dxxzxfzFzfZZ由对称性又可得：(2) ),()()(dyyyzfzFzfZZ注：注：当X，Y相互独立时，有：(4) )()()(dyyfyzfzfYXZ(3) )()()(dxxzfxfzfYXZ这两个公式是等价的, 称之为卷积公式, 记作fX* fY ,即(5) )()()()(dxxzfxfdxyfyzfffYXYXYX

14、例例9：设相互独立服从均匀分布的随机变量X, Y的分布密度为：其它02021)(yyfY其它02021)(xxfX求随机变量Z=X+Y的分布函数和分布密度解：解： 因为X, Y相互独立 (X, Y) 的联合分布密度为：其它0202041)()(),(yxyfxfyxfYX FZ(z) = P (Z z)= P( X+Y z)zyxyxyxfdd),(Gyxdd41S4122101xyG当z 0 时S = 0 FZ(z) = 0当0 z 2 时 S = z2/2 FZ(z) = z2/8当2 4 时 S=4 FZ(z) = 141428)4(120800)(22zzzzzzzFZ其它042412

15、04)()(zzzzzFzfZZ2) 商的分布 设 f(x, y)为(X, Y)的概率密度, Z=X/Y, 则 FZ(z) = P(Z z) = P(X/Y z)zyxyxyxf/dd ),(令u=y,v=x/y, 即x=uv, y=u.这一变换的Jacobi行列式为uuvJ01zvZJuuvfzFdudv),()(dvduuuuvfz ,因而, Z=X/Y的概率密度为:duuuuzfzfZ,)(注注: 当X, Y相互独立时，有duuufuzfzfYXZ)()()(22.1数学期望数学期望1. 离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望1）定义：）定义：设离散型随机变量X的概率分布为PX=xk=

16、pk (k=1, 2, .)若级数 kkkpx绝对收敛，则称其和为X 的数学期望(或均值)记为E(X) 即kkkpxXE)(2）常见分布的期望）常见分布的期望(1)01分布: E(X)= p (2) 泊松分布：E(X)=(3) 二项分布: E(X)=np2. 连续型随机变量的期望连续型随机变量的期望1）定义）定义. 设连续型随机变量X的概率密度函数为f (x) 若xxxfd)(绝对收敛, 则称它为X 的数学期望数学期望xxxfXEd)()(或均值均值)记为E(X). 即2）常见分布的期望：）常见分布的期望： (1)均匀分布:.2)(baXE(2)正态分布: E(X)=(3)指数分布:1)(XE

17、例例1. 某人有n把钥匙, 其中只有一把钥匙能开门, 他随机地试用这些钥匙来开门(打不开就换一把), 求打开门时试用次数的数学期望.解：解：设随机变量X表示把门打开时的次数, 则1121121)( knknknnnnnkXP)1,2,3,.n(k 1n因此, 21)()(11nnkkXkPXEnknk3. 随机变量函数的期望随机变量函数的期望1)Y=g(X): 则 E(Y)=E(g(X)(2)设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)则 E(Y)=E(g(X)(1)设X为离散型随机变量，.)(kkkpxg.d)()(xxfxg2)Z=g(X,Y):则 E(Z)=E(g(X，Y)(2)设(X,Y

18、)为连续型随机变量，其概率密度为f (x,y)则 E(Z)=E(g(X,Y) iijjjiPyxg),(.d),(),( xdyyxfyxg(1)设(X,Y)为二维离散型随机变量，其概率分布为：PX=xi ,Y=yj=pij4. 期望的性质期望的性质性质1 E(C)=C (C为常数)性质3 若X，Y为任两个随机变量 则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)性质2 E(kX)=kE(X) (k为常数)性质4 若X，Y为相互独立 则有 E(XY)=E(X) E(Y)其概率分布为:PX=xk=pk例例2: 设随机变量在XYsin,上服从均匀分布),0(其它001xf(x)求E(Y).解：解：X的概率密

19、度为：dxxxfYE)(sin)(00cos11sinxdxx222. 2 方差方差1. 方差的概念与计算方差的概念与计算1）定义）定义：设X为随机变量，若E(XEX)2存在，则称其为X的方差方差，记为D(X). 即-D(X)= E(XEX)2而)(XD称为标准差标准差或根方差根方差.2）计算：）计算：对于离散型随机变量有kkkpEXxXD2)()(对于连续型随机变量有xxfEXxXDd)()()(2在具体计算上往往采用公式22)()()(EXXEXD2. 常见分布的方差常见分布的方差(1) 01分布: D(X)=pq(2) 泊松分布: D(X)=(3)二项分布: D(X)=npq(4) 均匀

20、分布:2)(121)(abXD(5) 正态分布: D(X)=2(6) 指数分布:21)(XD例例3：设随机变量X的分布密度为：其它0102)(xxxf求X的方差D(X)解解：E(X2) =xxfxd)(2102d2xxx21E(X) =xxxfd)(10d2xxx32D(X) = E(X 2) - E(X) 2 =1/2 - (2/3) 2 = 1/183. 方差的性质方差的性质(1) D(C)=0 (C为常数)(2) D(kX)=k2D(X) (k为常数)(3) 若X，Y为任意两个随机变量 则有 ：)()(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD(4) 若X，Y为相互独立的两个随机变量 则

21、有 ：)()()(YDXDYXD22.3 协方差与相关系数协方差与相关系数一一.协方差与相关系数的概念与计算方法协方差与相关系数的概念与计算方法1）定义）定义. 设(,)为二维随机变量, E (-E)(-E) 称为,的协方差, 记为即 ),(CovDDCov),(称量为，的相关系数或标)()(),(EEECov准协方差，记为DDCov),( 即 (a) 离散型jiijiipEyExCov,)()(),(b) 连续型 dxdyyxfEyExCov),()()(),(),()()(),(EEECov2）计算方法：）计算方法：(2) 公式法公式法(1) 直接法直接法DCov),(二、性质二、性质定义

22、定义1:1:若E(k)存在, 称E(k)为的k阶原点矩,记为ak 即 ak= E(k);k=1,2,三、三、 矩矩若E-E()k存在,则称其为的k阶中心矩,记为bk即 bk=E-E()k;k=1,2,定义定义2:对于(,),若E(kl)存在,称它为与的k+l阶混合矩；若E（ -E( )）k(-E()l存在,则称它为和的k+l阶中心混合矩. k,l=1,2,),(),( ) 1CovCov),(),( )2abCovbaCov),(),(),( ) 32121CovCovCov),(2)( )4CovDDD0),( , )5Cov相互独立则若例例4 设随机变量X和Y独立，都在区间1，3 上服从均

23、匀分布；引进事件A= X a ， B= Ya . 1）已知 P （ A B）= 7 / 9 求常数 a 。 2）求1/ x的数学期望解：（1）设p=P(A)。由X和Y同分布， =1- P( X a )=1-p。知P( B )=1-P(Y a)由条件知：P( A B)= P( A )+P( B )-P( A )P( B )= p+(1-p)-p(1-p)=p 2-p+1= 7 / 9由此得 p1=1/3 p 2=2/3，于是问题有二个解，即a有二个（2）E(1/X)=3ln21121)(31dxxdxxxf可能值： a1=1+2/3=5/3 a2=1+4/3=7/3解解：例例5. 设(X, Y)

24、的联合概率密度为(1) 求X,Y的边缘分布;并判断它们的独立性；(2) 求P4YX.其它01, 121),(2xyxxyxyxf12y=xxy10 x21y为解题方便, 首先作出f (x, y)的非零区域如图所示.(1)求X的边缘分布：当x 1 时, f X（x）= 0当x 1 时,xxyx12|ln21dyyxxfxxX1221)(xxln1212y=xxy10 x21y101ln1)( 2xxxxxfX即 求Y边缘分布：当y 0 时， f Y（ y）= 0当 0 y X)设 D = (x , y ) | x 1,1/x y x 于是：xxxxyxdydxyxdydx4221221222221224ln2lnxdxxxdx221221|24ln|ln1xxdxxx21211|121x(3) dxdyyxfxyYXE),()(dyyxxydxxx12121dyxdxxx13121142)11(21dxxx31| )311(2113xx此题的求解过程说明, 作出 f ( x , y )的非零区域的图像, 对正确地定出积分限是很有帮助的.例例6: 设随机变量X和Y相互独立，已知X在区间