备战高考数学二轮复习难点2.1利用导数探求参数的范围问题教学案文

1、1 / 10难点 2.1 利用导数探求参数的范围问题利用导数探求参数的取值范围是高考考查的重点和热点，由于导数是高等数学的基础，对于中学生来说运算量大、思维密度强、解题方法灵活、综合性高等特点，成为每年高考的压轴题，因此也是学生感到头疼和茫然的一类型题，究其原因，其一，基础知识掌握不够到位(导数的几何意义、导数的应用)，其二，没有形成具体的解题格式和套路，从而导致学生产生恐惧心理，成为考试一大障碍，本文就高中阶段该类题型和相应的对策加以总结.1.与函数零点有关的参数范围问题函数f(x)的零点，即f(x) 0的根，亦即函数f(x)的图象与x轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数

2、研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数交点问题)，进而确定参数的取值范围.扛划=/rtf- + ZajJ + jr2-ax(a例1【2018安徽阜阳一中二模】已知函数乜2丿为常数，咋 .(1)当y = fW在x = |处取得极值时，若关于 *的方程/(x)-b = Q在|0,2上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围-1思路分析：(1)对函数令歹一，可得。的值，利用导数研究(QI的单调性，然后求得舄的最值，ri即可得到丿啲取值范围；(2)利用导数求出(划在K J上的最大值，则问题等价于对对任意廿Eg，不等式调性，即

3、可求出的取值范围-|c2Jr*工-pu此时3 =警严所加E乩壯递减,工e昇上递増，S./C0) = S汀(9 =-p(2)=ln|,所以(2)若对任意的，使不等式 m(a成立，求实数m的取值范1- a mfa2+ 2a- 3)成立，然后构造新函数阳閉，再对 求导，然后讨论屈，得出 的单2 蠢皿“吧詈亠甦瓷灣因为1鹏葺lfojeu12，总存在2 / 10即今 V 沪所灯 3 在P丄上单调递增，所以代刃*=f=g(汁扣)“也问题等价于对任意3 / 10 w (12)不等式In(弓十钗)十1一厲A m(aa十孑)成立、设h(a)= Ln(扌卜扌促)+1 - ft *n(a3+ 2a - 3)(1 -

4、o 0、所以在区间他2)上单调递痛 此时h 0不可能便 垃恒咸丸 故宓有，因为3D匕牝，若可知亦)在区间乩2)上单调递増，在此区间上奁如口)=恫二0茜匸拜朿口逹血町右曰曰“min 1土，占)卜诵减布此 FiE卜有/t(u) 0恒成立相矛盾*所以实数m的取值范围杲(- -器点评：本题主要考査遂樹的单调性及恒成立问題，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，厲于难 题一在处理导数犬题时，注畜分层得分的怎则，一般涉及求函数单K性时比较容易入手，求导后含参数的 冋题注意分类讨论对于叵咸立的冋題一般要构造新函数再利用导数求出跚单调性及最值，涉反到 的技巧较多，需参加体会.2.与曲线的切线有关的参数取值

5、范围问题函数y f (x)在点x x0处的导数f(Xo)就是相应曲线在点(x),f(x0)处切线的斜率，即k f (xo)，此类试题能与切斜角的范围， 切线斜率范围，以及与其他知识综合， 往往先求导数，然后转化为关于自变量X。的函数，通过求值域，从而得到切线斜率k的取值范围，或者切斜角范围问题.例 2.已知函数 f x exax2bx.(1 )当a 0 ,b1时，求 f x 的单调区间；(2)设函数 f x 在点 Pt , f t 0 t 1 处的切线为|，直线|与y轴相交于点 Q，若点 Q 的纵坐标恒小于 1,求实数 a 的取值范围.思路分析：(I)先明确函数定义域，再求函数导数 f x e

6、x1，根据导函数零点进行分类讨论：当x , 0 时，f x 0，因此减区间为，0，当 x 0 , 时，f x 0 递增区间为.,递减区间为0,(n)根据导数几何意义得切线的斜率k f t et2at b，再根据点斜式写出切线方程y etat2bt et2at b x t，得点 Q 的纵坐标 y 1 t e(at20 t 1，即不等式1 t e(at21 恒成立，而不等式恒成立问题， 一般转化为对应函数最值问题：a(1呼1, 0 t 1 的t4 / 10最大值，利用导数研究函数y(t)2e 1, 0 t 1 单调性，为单调递减，再利用洛必达法则得( (1 t)et1et11x 0,y 丄上孝一1

7、e1，因此 a，也可直接构造差函数，分类讨论最值进行求解t222试题解析：当起=0= Wh=b_Jt,广口=疋-L所以，当応(9,0)时- 3好(0,2)时P门工)所以函数/的的单调翻区间为2,0),单调磁增区间为(0十町 因为所次邛汀(F)处切的斜率S蚀+X所以切线d的方程为1-(/+ Af) -(tf +2df+*)(x-f),令0得，y = (L_2-圧fgZl)一当Odl时，Sftff点。的纵坐标恒小于只需即g-1)膏十疋号一令g(F)(f-1疋十应*-则 号()=怦+2a)i.因为0所以.1 若加工一1,即a 3-穆时，+2d0|所儿当5：0 , 1)时丿若f 即&在W、I)

8、上单调递辄所以费恒成立，所加满足题意.若加 即此-訓，卄加 所乩 当徒(oi血即凶)在(o上里调斬，所以.g強(0)7所如 T 不满足题菴若Yd J1,即-彳 5 冷时，0小(-加)丈1,则 t、gt、g t 的关系如下表：t0 , In 2aIn 2aIn 2a , 1gt0g t递减极小值递增e11所以 g1n2ag0 0，所以 2 a-不满足题意，结合，可得，当a -时,g t 0 0 t 1 时，此时点 Q 的纵坐标恒小于 1.点评：该题考查导数的几何意义、斜率的定义等基础知识，考察学生基本运算能力、灵活运用导数知识处理问题的能力，需要注意的是解决问题的途径是将存在问题转化为方程有解问

9、题利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题含参数的不等式f (x) g(x)恒成立的处理方法：y f (x)的图象永远落在y g(x)图象的上方；5 / 10构造函数法，一般构造F(x) f(x) g(x),F(x)min0:参变分离法，将不等式等价变形为a h(x), 或a h(x)，进而转化为求函数h(x)的最值.3.1 参变分离法将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数

10、的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则.例 3.【安徽省淮南市 2018 届第四次联考】已知函数f xexax33x 6 a R(e为自然对数的底数)(I)若函数f x的图像在x 1处的切线与直线x y 0垂直，求a的值；(n)对x 0,4总有f xo成立，求实数a的取值范围.思路分析：(I )求出函数的导数，由函数f x的图像在x 1处的切线与直线x y 0垂直可得f 11,3x 6从而求出a的值；(II )对x 0,4总有f x0成立，等价于对x 0,4 ?3x36上恒成立，设g x3xv6，只需a g xmin即可

11、，利用导数研究函数的单调性可得x 0,3时，g x为增函数,xx 3,4时，g x为减函数，从而g x g 3，进而可求出a的范围.试题解析：0得M3令创(克*0得3,施(Q3时，力为増函虬施(34时g何为减函数羸乜(3)=干 V 氏洱CC&点评：该题考查导数的应用等基础知识，考察学生逻辑恩维能力、基本的运算能力、数形结合息想的运用综合性较高，需要具备良好的数学素质，第二问中参变分离时，要考虑符号.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围 一般地， f(x)a恒成立，

12、只需 f(x)mina即可； f(x)Wa恒 成立， 只需 f(x)max6 / 10Wa即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解3.2 构造函数法参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题，但是有些函数解析式复杂，利用导数知识无法完成，或者是不易参变分离，故可利用构造函数法.12例 4.已知函数f(x) x 2ax In x(a R),x (1,).(1)若函数f (x)有且只有一个极值点，求实数a的取值范围；(2)对于函数f(x),fi(x),f2(x)，若对于区间D上的任意一个x，都有fi(x) f (x)f2

13、(x)， 则称 函数f (x)是函数fi(x),f2(x)在区间D上的一个“分界函数”.已知f1(x) (1 a2)lnx,f2(x) (1 a)x2，问是否存在实数a，使得函数f (x)是函数h(x),f2(x)在区间(1,)上的一个“分界函数”？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由思路分析：(I)先求函数导数：二 - ，再根据函数f(x)有且只有一个极值点，得在区间育：上有且只有一个零点，最后结合二次函数实根分布得.L. - ,解得实数二的取值范围是 ；(n)由题意得当时，工. J -恒成立，且一I 恒成立，即问题为恒成立问题，解决方法为转化为对应函数最值问题：记/ - _ .

14、- : ：.一.-J，利用导数研究其单调变化规律，确定其最大值：当二：二】时，二；单调递减，-J最大值为Cl,由I U,解得-当二LI时，.)最大值为正无穷大，即1在区间上不恒成立，同理记:厂上.才- t-：iT,利用导数研究其单调变化规律，确定其最小值：由于，一一:，；- 凡 二一，所以严(；在区间.厂匚上单调递增，其最小值为2，得亠(.7 / 10试题解析： 八町山+丄=-加十打记呂(町二兀2劭+1 ,依题意百在区间(1，如)上有目只有一个霧点呂0，得实数占的取值范围是 d 搀)j(II若囲数/是戲數击园,去在区间工亦)上的一个吩界函数竹则当量巨a杪)时/W-(l-a)?0恒成立，且孑-(

15、1-左)1口心恒成立，记阳S=/(x) (1_&)/ = 3_2)F_3斫W =W-1)阿知矶在(DQ上单调递减 在仏 E)上单调递增， 所以= m(l) = -13所以-1工在，当 eAl 时，易知口兰氐当时；则在 V 叽 这与 y 在矛廂 从而不能使3“恒成立.所以让 心“2 j2g(n)呦为宀尹+曲一贰一4曲呷 二宀诡皿，因为心)+心)丸，3 J .3 土 “、即1 -+ (心-3fn-n+ &畀=0所以2111“2,所以- |(0叨-珈(侶)+妙+巧士 (衍+审么円一恥询* g +珂=0,1 2 1 2-尹“巧)+怙卜恤响)+2何+ ) =0,所以护+乜)+对+衍乍駅辰

16、)-込八11 -tQ(t) = _ 1 =-令 W2 =t,rEE , g(t)在.1上增，在(1, + s .上减，12|tf(0.:./-：-；或二 7 严用(舍),所以叮憑用头罰得证.点评：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果 f (x) 0，则 y= f(x)在该区间为增函数；如果 f (x)v0，则 y = f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括： 求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；利用单调性证明 不等式或比较大小，常用构造函数法4.2 参数在定义域中函数解析式确定，故可先确定其

17、单调区间，然后让所给定义域区间包含在单调区间中例 6.已知函数 f(x)a lnx，曲线 f(x)a lnx在点(e, f(e)处的切线与直线 e2x y e 0 垂直.xx注：e 为自然对数的底数.(n)令: = ,设函数sM = f(x)-P-4/nx + &r，且茁(心)+ &(七)=0，求证:9 / 10h(x)xexx 1X1/Xxx 1x 1X、2e-，则h(x) 2ge (xe1)x(xe21)e 2eye2).因为x 1，所以x 2(xe 1)x(xe 1)x 1X才詁0.所以当x1时，h(x) 0，故函数h(x)在区间(1,)上是减函数.又h(1)所以当x 1

18、时，h(x)2e(x 1)( xex1)点评：本题考查了利用导数判断函数单调性等基础知识，理解单调性的概念是解题关键(1)若函数f(x)在区间(m,m 1)上存在极值，求实数m的取值范围;a In xa In x思路分析： 求函数f(x)的导数f (x)，由曲线f(x)在点(e, f(e)处的切线与直线xx21In xe x y e 0垂直可得f (e)2，可求出a的值，这时f(x)厂(x 0)，讨论导数的符号知函ex数f (x)仅当x 1时，取得极值，由1 (m, m 1)即可求实数m的取值范围；(2)当x 1时，x 1x 11 (x 1)(lnx 1) 2e人,、(x 1)(lnx 1)人

19、、2e gx令g(x)，令h(x) -e 1xxe 1xxe 1试题毎析： 因肯仗)=兰也兰，又拐题倉，得广)=4#所決XJC&=匕匹一所臥 / 3= -O)XE(OT。时/电电上JC为増国数甜雄时0 畑为减函甑所臥函数几仅当1时，取得視值.又函数在区间伽砒十1)上存在极值，所以朋 wlv 加十1所以.05“.故实数朋的取值范围罡(2)求证：当x 1时，丄凶e 12e(x 1)(xex1)f (x)2ex 1e 1(x 1)(xex1)g(x)e 1minh(x)max证之即可.(2)当 x2ex11时，他一，即为-Xg(x 1)(lnx 1)e 1 (x 1)( xex1) e 1x

20、 1羊一.令g(x)(x 1)(lnx 1)，xe 1则g (x)(x1)(lnxx2x In x十人.再令(x)xx In x，则(x) 1又因为x1，所以(x)0.所以(x)在(1,)上是增函数又因为(1)1,所以当x 1时,g(x) 0.所以g(x)在区间(1,)上是增函数.所以当xg(x)1时，g(x) g(1)，又g(1)2，故e 1 e10 / 105.与逻辑有关的参数范围问题新课程增加了全称量词和特称量词应用这一知识点，并且在考试卷中屡屡出现，使得恒成立问题花样推陈出新，别有一番风味，解决的关键是弄懂量词的特定含义x22ax ex, x 02在 x 2 处的切线斜率为三2求实数 b 的取值范围.例 7.已知函数 f x(1)求实数a的值;(2)若 x 0 时，yf x m 有两个零点，求实数m的取值范围.(3)设 gx 如3b，若对于x0 ,-,2总有 x22.71828，使得 f思路分析：（1）根据导数几何意义得7e2T，所以求导数2a x 2a列出等量关3系，求解得 a - （2）利用导数研究函数f4x22ax ex单调变化趋势：在0,1单调递减,单调递增，再考虑端点值：f 00,f(，所以要有两个零点,(3)不等式恒成立问题，一般方法为转化为对应函数最值:Xming x, 由前面讨论可知 fx