空间力系重心

1、12第六章第六章 空间力系空间力系 重心重心 61 工程中的空间力系问题工程中的空间力系问题 62 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影 63 力对轴的矩力对轴的矩 64 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程 65 重心的概念重心的概念 66 重心坐标公式重心坐标公式 67 物体重心的求法物体重心的求法 习题课习题课 3(a) 空间汇交力系；空间汇交力系；(b) 空间平行力系；空间平行力系；(c) 空间一般力系。空间一般力系。6-1 6-1 工程中的空间力系问题工程中的空间力系问题空间力系：空间力系：作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而

2、且不能简化到某一平面时，这种力系称为空间力系。不能简化到某一平面时，这种力系称为空间力系。例如：例如：Z1P2zxyP1X1Z2X2迎迎 面面风风 力力侧侧 面面风风 力力b4力的三要素：力的三要素： 大小、方向、作用点大小、方向、作用点大小：大小：作用点：作用点： 在物体的哪点就是哪点在物体的哪点就是哪点方向：方向： 由力由力与坐标轴或平面的与坐标轴或平面的方位角确定。方位角确定。FF6-2 6-2 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影一、力在空间的表示一、力在空间的表示：bgqFxyO5bgOFxFyFz1、一次投影法（直接投影法）、一次投影法（直接投影法）g gb b cosFF

3、ZcosFFYcosFFXzyx二、力在空间坐标轴上的投影二、力在空间坐标轴上的投影gFxyOFxFyFz2、二次投影法（间接投影法）、二次投影法（间接投影法） g gcossinFFXx g gsinsinFFYyg gcosFFZz先将先将 F 投影到投影到xy面上，然后再面上，然后再投影到投影到x、y轴上。轴上。6bgOFxFyFz若以若以 表示力表示力F在直角坐标轴的投影量。在直角坐标轴的投影量。 zyxF,F,F222zyxFFFF则则F的大小和方向：的大小和方向：222222222zyxzzyxyzyxxFFFFcosFFFFcosFFFFcosg gb b 三、由坐标轴上的投影量

4、求力三、由坐标轴上的投影量求力F：76-2 6-2 力对轴的矩力对轴的矩 一、力对轴的矩的概念一、力对轴的矩的概念8 力对轴的矩力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数量。其大小等于力在垂直于转轴的平面内的投影与力代数量。其大小等于力在垂直于转轴的平面内的投影与力臂臂d （轴与平面的交点到力在平面内投影的垂直距离）的（轴与平面的交点到力在平面内投影的垂直距离）的乘积，其符号按右手法则确定。乘积，其符号按右手法则确定。力对力对z轴的矩定义：轴的矩定义： 的的面面积积 BOAdFFmFmxyxyOz 2由实例可知：力由实例可知：力F与轴共面时，力对轴之矩为

5、零。与轴共面时，力对轴之矩为零。轴的平面内分量轴的平面内分量垂直于垂直于轴的分量轴的分量平行于平行于ZFZFFxyz9二、合力矩定理二、合力矩定理 iznzzzzFmFmFmFmRm21 空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中各分力空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中各分力对同一轴的矩的代数和。对同一轴的矩的代数和。称为空间力系的合力矩定理称为空间力系的合力矩定理 与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为：与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为： 空间合力矩定理可以用来确定物体的重心位置空间合力矩定理可以用来确定物体的重心位置 +-力对轴的矩力对轴的矩的符号规定的符号规定右手法则右手法

6、则10例例1 已知已知P=2000N, C点在点在Oxy平面内。求力平面内。求力P对三个坐标对三个坐标 轴的矩。轴的矩。6045604545coscosPPsincosPPsinPPyxz解：解： mN2386045560456.coscosPsincosPPmPmPmPmzzyzxzz mN884456600.sinPPPmPmPmPmzzxyxxxx mN770455500.sinPPPmPmPmPmzzyyyxyy11 建立空间任意力系平衡方程的方法与平面力系的方法相同，建立空间任意力系平衡方程的方法与平面力系的方法相同，都是采取力系简化的方法。只是对于空间力系推导平衡条件的都是采取力系

7、简化的方法。只是对于空间力系推导平衡条件的过程比较复杂。这里只用比较直观的方法得出空间一般力系平过程比较复杂。这里只用比较直观的方法得出空间一般力系平衡方程。衡方程。6-4 6-4 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程 nFF,F,F321 设作用在刚体上有设作用在刚体上有空间一般力系空间一般力系12 如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿x、y、z三三轴移动，也不能绕轴移动，也不能绕x、y、z三轴转动。即满足三轴转动。即满足: 0 00 00 0Fm,ZFm,YFm,Xzyx空间力系一般的平衡方程空间力系一般的平衡方程 各力在三个坐标轴上的投影的代数和及

8、各力对此三轴各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三轴力矩的代数和都必须分别等于零。力矩的代数和都必须分别等于零。 共六个独立方程，可以求解独立的六个未知量。共六个独立方程，可以求解独立的六个未知量。空间一般力系平衡的充要条件：空间一般力系平衡的充要条件：13 对于空间汇交力系：（选取汇交点为原点）对于空间汇交力系：（选取汇交点为原点）则则 000FmFmFmzyx成为恒等式成为恒等式故空间汇交力系的平衡方程为：故空间汇交力系的平衡方程为：000ZYXOxyzF1F2F3Fn14对于空间平行于对于空间平行于 z 轴的平行力系：轴的平行力系： 000YXFmz成为恒等式成为恒等式故空间平行于

9、故空间平行于 z 轴的轴的平行力系的平衡方程为：平行力系的平衡方程为： 000FmFmZyxOxyzF1F2F3Fn则则151、球形铰链、球形铰链几种典型的空间约束几种典型的空间约束162、向心轴承，蝶铰链，滚珠、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱柱)轴承轴承173、滑动轴承、滑动轴承 184、止止推推轴轴承承 MxMy195、带有销子的夹板、带有销子的夹板206、空间固定端、空间固定端21最好每一个方程有一最好每一个方程有一个未知量，方便求解个未知量，方便求解解：解：选研究对象选研究对象 作受力图作受力图 选坐标列方程选坐标列方程例例1 已知已知:RC=100mm, RD=50mm,Px=466N,

10、 Py=352N, Pz=1400N。求平衡时力。求平衡时力Q和轴承和轴承A , B处的约束反力？处的约束反力？(Q力作用在力作用在C轮的最低点）轮的最低点） N35200yAyAPY，PY，Y N746020100500QcosQP，mzy22 N437020 50200503000BByxzXcosQXPPm， N729020 0AxBA，XcosQPXXX， N2040020 503002000BzBxZsinQPZm， N385020 0AzBA，ZsinQPZZZ，23物体的每个微小部分都受到重力作物体的每个微小部分都受到重力作用，可认为该力系是用，可认为该力系是空间平行力系空间平行

11、力系6-5 6-5 重心的概念重心的概念一、物体重心的概念一、物体重心的概念平行力系的中心，称为平行力系的中心，称为物体的重心物体的重心 平行力系的合力，称为平行力系的合力，称为物体的重力物体的重力二、研究物体重心的意义二、研究物体重心的意义重心位置重心位置会影响物体的平衡和稳定会影响物体的平衡和稳定例如：不倒翁玩具、飞机和船舶、高速旋转的转子等例如：不倒翁玩具、飞机和船舶、高速旋转的转子等 WWWi Wi24一、平行力系的中心一、平行力系的中心由合力矩定理可得：由合力矩定理可得：iiiCiiCiiCFRRzFzRyFyRxFx 空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点空间平行力系，当它有合力

12、时，合力的作用点C 就是就是空间平行力系的中心空间平行力系的中心6-6 6-6 重心坐标公式重心坐标公式25 如果把物体的重力都看成如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。是求平行力系的中心问题。 iiCxWxW二、重心坐标的一般公式二、重心坐标的一般公式WWWi Wi由合力矩定理：由合力矩定理：WzWzWyWyWxWxiiCiiCiiC重心坐标的一般公式重心坐标的一般公式MgWgmWii和和代代入入MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC26三、均质物体的重心坐标公式三、均质物体的重心坐标公式均质物体的重量均匀分布，设单位体积的重量

13、为均质物体的重量均匀分布，设单位体积的重量为 iiVWVWg gg g均质物体的重心坐标公式均质物体的重心坐标公式VVzzVVyyVVxxiiCiiCiiCWWWi Wi均质物体的重心只与物体的形状有关，而与物体的均质物体的重心只与物体的形状有关，而与物体的重量无关。因此重量无关。因此均质物体的重心也称为物体的形心均质物体的重心也称为物体的形心 27例如对于均质物体，重心坐标：例如对于均质物体，重心坐标：VdVzzVdVyyVdVxxVCVCVC四、均质薄板的重心四、均质薄板的重心xyCxCyCOAAyyAAxxiiCiiC平面薄板，重心有二个坐标平面薄板，重心有二个坐标 物体分割的越多，求得

14、的重心位置物体分割的越多，求得的重心位置就越准确。常用就越准确。常用积分法积分法求物体的重心位置。求物体的重心位置。对于均质薄板，重心坐标：对于均质薄板，重心坐标：AdAyyAdAxxACAC28一、对称性法一、对称性法： 具有对称轴、对称面或对称中心的物体。这种物体具有对称轴、对称面或对称中心的物体。这种物体的重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。的重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。6-7 6-7 物体重心的求法物体重心的求法分割法分割法二、组合法二、组合法：n 分割法分割法n 负面积法（或负体积法）负面积法（或负体积法）将形状比较复杂的物体分成几个简单几何图形物体，将形状比较复杂的物体

15、分成几个简单几何图形物体，然后根据重心坐标公式求出组合形体的重心。然后根据重心坐标公式求出组合形体的重心。简单图形的面积及重心坐标公式可查表简单图形的面积及重心坐标公式可查表6-129分割法分割法0Cx解：建立图示坐标解：建立图示坐标cmRycmycmR,RSS2484102180cm212 221，例例1 已知图示薄板平面，求该组合体的重心？已知图示薄板平面，求该组合体的重心？10cm8cm由对称性由对称性cm.SSySySAyAyiiC46212211负面积法（或负体积法）负面积法（或负体积法）在物体内切去一部分，这类物体的重心，仍可应用在物体内切去一部分，这类物体的重心，仍可应用分割法，

16、只是切去部分面积或体积取负值。分割法，只是切去部分面积或体积取负值。30O例例2 求半径为求半径为R，顶角为，顶角为2 的均质圆弧的均质圆弧AB的重心。的重心。三、积分法三、积分法： 解：由于对称关系解：由于对称关系q qRddL q qq q sinRRdcosRLxdLxLC2 2用数学积分求物体的重心的方法用数学积分求物体的重心的方法q qcosRx 取微段取微段圆弧重心必在圆弧重心必在Ox轴，即轴，即yC=031 0由于FmB01称CxPlPPlPxC1称称故故 称重法称重法四、实验法四、实验法： 悬挂法悬挂法可用于测定外形复杂或质量分布不均匀物体的重心可用于测定外形复杂或质量分布不均

17、匀物体的重心32一、空间力系的平衡方程一、空间力系的平衡方程空间汇交力系空间汇交力系 000ZYX空间任意力系空间任意力系000000zyxmmmZYX空间空间x轴力系轴力系000zymmX第六章第六章 空间力系习题课空间力系习题课33选研究对象选研究对象画受力图画受力图选坐标、列方程选坐标、列方程解方程、求出未知数解方程、求出未知数 二、解题步骤、技巧与注意问题：二、解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤：、解题步骤： (与平面的相同与平面的相同) 34 2、解题技巧：、解题技巧： 用取矩轴代替投影轴，解题常常方便用取矩轴代替投影轴，解题常常方便 投影轴尽量选在与未知力投影轴尽量选在与未知

18、力垂直，力矩轴选在与未知垂直，力矩轴选在与未知力平行或相交力平行或相交 一般从整体一般从整体 局部的研究方法。局部的研究方法。 摩擦力摩擦力F = N f ，方向与运动趋势方向相反。，方向与运动趋势方向相反。 力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现）力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现） 空间力偶是矢量，平面力偶是代数量。空间力偶是矢量，平面力偶是代数量。 求物体重心问题常用组合法。求物体重心问题常用组合法。 对于均质物体，重心、中心、形心为同一点。对于均质物体，重心、中心、形心为同一点。3、注意问题：、注意问题：35例例1 已知：已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求：绳求：绳BE、BF的拉力和杆的拉力和杆AB的内力的内力kN54604515011TsinQsin，TY由由C点：点：解：分别研究解：分别研究C点和点和B点作受力图点作受力图平面汇交力系平面汇交力系36kN 230 kN 419 53 54 0 60 0045 45 60 0045 45 0232321232132NTTsincossinTsinTcosTN,ZcoscosTcoscosTsinT,YcoscosTcoscosT,Xq qq qq qq qq qq qq qq q由B点：平平面面汇汇交交力力系系37此题训练：此题训练：例例2 曲杆曲杆ABCD，已