2011届高考数学 反函数课件

1、一、定义一、定义 设函数设函数 y=f(x) 定义域为定义域为 A, 值域为值域为 C. 如果从式子如果从式子 y=f(x) 解解得得 x= (y), 且对于且对于 y 在在 C 中的任何一个值中的任何一个值, x 在在 A 中都有唯一中都有唯一确定的值和它对应确定的值和它对应, 那么式子那么式子 x= (y) 就表示就表示 x 是变量是变量 y 的函数的函数, 把把 x= (y) 叫做函数叫做函数 y=f(x) 的反函数的反函数, 记作记作: x= (y)=f- -1(y).x=f- -1(y) 一般改写成一般改写成 y=f- -1(x), 其定义域为其定义域为 C, 值域为值域为 A.二、

2、定义理解二、定义理解1.函数存在反函数的条件函数存在反函数的条件: 映射映射 f: AC 为一一映射为一一映射. 2.函数在其定义域区间上可能不存在反函数函数在其定义域区间上可能不存在反函数, 但可以在定义但可以在定义域区间的域区间的某个子区间某个子区间上存在反函数上存在反函数.3.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域. 注意注意: 反函数的定义域不能由其反函数的定义域不能由其解析式解析式来求来求.三、简单性质三、简单性质1.互为反函数的两个函数的图像关于互为反函数的两个函数的图像关于直线直线 y=x 对称对称; 2.单调函数一定存在反函

3、数单调函数一定存在反函数, 但有反函数的函数不一定是单但有反函数的函数不一定是单调函数调函数;3.奇函数不一定有反函数奇函数不一定有反函数, 偶函数在一般情况下无反函数偶函数在一般情况下无反函数; 4.互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的的 单调性单调性;5.若若 b=f(a), 则则 a=f- -1(b); 若若 a=f- -1(b), 则则 b=f(a), 即即: 若若 aA, bC, 则则 f- -1f(a)=a, ff- -1(b)=b.四、求函数的反函数的步骤四、求函数的反函数的步骤2.由由 y=f(x) 解出解出 x=f

4、- -1(y) ( (即即用用 y 表示表示 x) );3.交换交换 x=f- -1(y) 中的字母中的字母 x, y, 得得 f(x) 反函数的表达式反函数的表达式 y=f- -1(x), 1.求函数求函数 y=f(x) 中中 y 的的取值范围取值范围, 得其反函数中得其反函数中 x 的的取值范围取值范围;五、函数与其反函数图像的交点问题五、函数与其反函数图像的交点问题 如果一个函数与其反函数的图像有公共点如果一个函数与其反函数的图像有公共点, 则公共点在则公共点在直线直线 y=x 上上, 或者关于直线或者关于直线 y=x 对称地对称地成对出现成对出现.4. 标出标出 y=f- -1(x)

5、中中 x 的的取值范围取值范围.例如函数例如函数 y = - -3x+7 ; 又如函数又如函数 y =( )( ) . 161x六、典型例题六、典型例题例例1 函数函数 y= (xR, 且且 x ) 的反函数是的反函数是 ( ) 2x- -1 x- -2 12(A) y= (xR, 且且 x ) 2x- -1 x- -2 12(B) y= (xR, 且且 x 2) 2x- -1 x- -2 (C) y= (xR, 且且 x ) 2x- -1 x+2 12(D) y= (xR, 且且 x- -2) 2x- -1 x+2 - -11xoy- -11xoy1xoy1- -11xoy(D)(A)(B)

6、(C) 例例2 设函数设函数 f(x)=1- - 1- -x2 (- -1x0), 则函数则函数 y=f- -1(x)的图像可的图像可能是能是 ( )AB例例3 求下列函数的反函数求下列函数的反函数:(2) y=x|x- -2|+4x. (1) y =( )2( x ). x+1 3x- -2 2332(2) y = x+1 - -1 (x8), 3- - 9- -x (x8). (1) y= (0 x1); 3- - x2+ x 例例4 解答下列关于反函数的问题解答下列关于反函数的问题: ( (1) )已知函数已知函数 f(x) = 的图像关于直线的图像关于直线 y=x 对称对称, 求实数求

7、实数a 的值的值;3x+2 x+a ( (2) )求函数求函数 y= 1- -x 与它的反函数图像的交点坐标与它的反函数图像的交点坐标.例例5 已知已知 f(x)= , xR, 求求 f- -1( ( ) ) 的值的值.1+2x 2x 134.( (1) )a=- -3; 5. f- -1( ( ) )= - -1. 13答 案 ( (2) )( , ); (1, 0); (0, 1). 5- -1 2 5- -1 2 七、课堂练习七、课堂练习2.试求使函数试求使函数y=4x- -2x+1 存在反函数的定义域区间存在反函数的定义域区间, 并求相并求相应区间上的反函数应区间上的反函数.1.若映射

8、若映射 f: A B 中中, A=B=(x, y) | xR, yR, f: (x, y) (x+2y+2, 4x+y), 试求试求: (1) A 中的元素中的元素 (5, 5) 的象的象; (2) B 中的元中的元素素 (5, 5) 的原象的原象. 3.已知已知 f(x) = (x- -a, a ). (1) 求求 f(x) 的反函数的反函数 f- -1(x); (2) 若若f(x)=f- -1(x), 求求 a 的值的值; (3)作出满足作出满足(2)中条件的中条件的 y=f- -1(x) 的的图象图象. 2x+1 x+a 12答 案 1. (17, 25); (1, 1) 2.(-(-,

9、 0 , f- -1(x)=log2( (1- - x+1 )(-)(-1x0) ); 0, +) ), f- -1(x)=log2( (1+ x+1 )()(x- -1) ). 3. f- -1(x)= (x2); x- -2 1- -ax a=- -2. 4.求求函数函数 y=x|x|+2x 的反函数的反函数. 解解: 原函数可写成原函数可写成: y= x2+2x, x0, - -x2+2x, x0. 即即 y= (x+1)2- -1, x0, - -(x- -1)2+1, x0. 当当 x0 时时, y0, 由由 y=(x+1)2- -1 得得: x=- -1+ y+1 ; 当当 x0

10、时时, y0, 由由 y=- -(x- -1)2+1 得得: x=1- - 1- -y . 故所求反函数为故所求反函数为 y= - -1+ x+1, x0, 1- - 1- -x , x0. 解得解得 a=- -1.-4f(x)1. 5.已知点已知点 (- -2, - -4) 在函数在函数 f(x)=1- - ax2+25 (- -5x0) 的反函的反函数数 f- -1(x) 的图象上的图象上, 试讨论试讨论 f- -1(x) 的单调性的单调性.解解: 由已知由已知, 点点 (- -4, - -2) 在函数在函数 f(x)=1- - ax2+25 的的图象上图象上. - -2=1- - 16a

11、+25 . f(x)=1- - 25- -x2 .-5x0, x=- - 25- -(y- -1)2 (- -4y1). 由由 y=f(x)=1- - 25- -x2 得得 f- -1(x) =- - 25- -(x- -1)2 (- -4x1). 令令 t(x)=25- -(x- -1)2, 易知易知, t(x) 是是 - -4, 1 上的增函数上的增函数. 又又 y=- - t 是减函数是减函数, f- -1(x) =- - 25- -(x- -1)2 是是 - -4, 1 上的减函数上的减函数. 解解: (1) x1, 故故 f- -1(x) 的定义域的定义域是是 0, 1). f(x)

12、 的值域是的值域是 0, 1).又对任意的又对任意的 x1, x2 0, 1), 且且 x1x2, 有有: 6.已知函数已知函数 f(x)=( )2 (x1), f- -1(x) 是是 f(x) 的反函数的反函数, g(x)= + x +2, 求求: (1) f- -1(x) 的定义域和单调区间的定义域和单调区间; (2) g(x) 的最的最小值小值.x+1 x- -1 f- -1(x)1 0 1. x+1 x- -1 0( )21. x+1 x- -1 即即 0f(x)1. 由由 y=( )2(x1)得得: x+1 x- -1 = y , x+1 x- -1 解得解得: x= (0y1).

13、1+ y 1- - y f- -1(x)= (0 x1). 1+ x 1- - x x1 x2 1- - x2 0, 1- - x121- - x2 2 . 1- - x121- - x2 2 - -1+ - -1+ . 即为即为: f- -1(x1)f- -1(x2). 0, 1) 是是 f- -1(x) 的单调增区间的单调增区间. 解解: (2) 由已知由已知 g(x)= + x +21- - x 1+ x 2 2 . 仅当仅当 x=3- -2 2 时取等号时取等号. 当当 x=3- -2 2 时时, g(x) 取得最小值取得最小值 2 2 . 2 1+ x +1+ x (0 x0, 解不

14、等式解不等式:f- -1(x)log2 . 1+2x a2x- -1 k 1+x 解解: (1) 由已知由已知 f(0)=0, 解得解得 a=1; (2) 当当 a=1 时时, f(x)= (x R), 2x+1 2x- -1 设设 y=f(x), 则则 2xy+y=2x- -1, 2x(1- -y)=1+y (y 1), 2x= , 1- -y 1+y 1- -y 1+y x=log2 , 2x+1 2x- -1 =1- - (- -1, 1), 2x+1 2 又又 f- -1(x)=log2 (- -1xlog2 , 得得 k 1+x k 1+x 1- -x 1+x , - -1x1. - -1x1- -k, 又又 k0, 当当 0k2 时时, 1- -kx1, 原不等式的解集为原不等式的解集为 (1- -k, 1); 当当 k2 时时, - -1x0) 和定义在和定义在 R 上的奇函数上的奇函数 g(x), 当当 x0时时, g(x)=f(x),