大学二年级概率论与随机过程概率第十二节

1、 回回 顾顾1. 数学期望是一个实数数学期望是一个实数, 而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权平均平均, 与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了随机变量随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2. 数学期望的性质数学期望的性质 ).()()(,4);()()(3);()(2;)(10000YEXEXYEYXYEXEYXEXCECXECCE独立独立 一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质三、例题讲解三、例题讲解二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差四、小结四、小结第二节方差第二节方差 1. 概念的引入概念的引入 方

2、差是一个常用来体现随机变量取值分散程度方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量的量.实例实例 中美两国收入中美两国收入,其月均收入都是其月均收入都是 E(X)=1000美元美元 Ox Ox 1000 1000一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质 ).(,)(.)()Var()(),Var()(,)(,)(,222XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX记为记为为标准差或均方差为标准差或均方差称称即即或或记为记为的方差的方差为为则称则称存在存在若若是一个随机变量是一个随机变量设设 2. 方差的定义方差的定义 方差描述了方差描述了X与其平均值与其平均值E(X)的距离的

3、平均值，的距离的平均值，其中，平方确保距离均为正值其中，平方确保距离均为正值. 方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量X取值分散取值分散程度的量程度的量.如果如果D(X)值大值大, 表示表示X 取值分散程度大取值分散程度大;而如果而如果D(X) 值小值小, 则表示则表示X 的取值比较集中的取值比较集中.3. 方差的意义方差的意义 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差,d)()()(2xxfXExXD 4. 随机变量方差的计算随机变量方差的计算(1) 利用定义计算利用定义计算 .)(的概率密度的概率

4、密度为为其中其中Xxf., 2 , 1,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk .)()()(22XEXEXD 证明证明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE (2) 利用公式计算利用公式计算).()(22XEXE 证明证明22)()()(CECECD 5. 方差的性质方差的性质(1) 设设 C 是常数是常数, 则有则有. 0)( CD22CC . 0 (2) 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, C 是常数是常数, 则有则有).()(2XDCCXD 证明证明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(

5、2CXECXE ).()()(YDXDYXD (3) 设设 X, Y 相互独立相互独立, D(X), D(Y) 存在存在, 则则证明证明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE ).()(YDXD 推广推广).()()()(2121nnXDXDXDXXXD 则有则有相互独立相互独立若若,21nXXX即即取常数取常数以概率以概率的充要条件是的充要条件是,10)()4(CXXD . 1 CXP 1. 两点分布两点分布 qpXE 01)(Xp01pp 1已知随机变量已知随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有, p 22)()

6、()(XEXEXD 222)1 (01ppp.pq ppq二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差 2. 二项分布二项分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n, p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为由于二项分布是做了由于二项分布是做了n次两点分布次两点分布 1212()(+)=nnE XE XXXE XE XE Xnp因此因此其中其中Xi为两点分布为两点分布.1212()(+)=1nnD XD XXXD XD XD Xnpp 3. 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,! kekkX

7、Pk则有则有 0!)(kkekkXE 11)!1(kkke ee . 且分布律为且分布律为设设),( X 22)()()(XEXEXD )1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkekkk 222)!2(kkke ee2.2 所以所以22)()()(XEXEXD 22 . . 都等于参数都等于参数泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差 4. 均匀分布均匀分布则有则有xxxfXEd)()( baxxabd1).(21ba ., 0,1)(其它其它bxaabxf其概率密度为其概率密度为设设),(baUX).(21ba 结论结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点均匀分布的数学期望

8、位于区间的中点. 22)()()(XEXEXD 222d1 baxabxba.12)(2ab 12)(2ab 5. 指数分布指数分布 ,0,( )0.0,0.xXexf xx设随机变量服从指数分布 其概率密度为其中则有则有xxxfXEd)()( 0dxxex1.00dxxxeex 22)()()(XEXEXD 2201dxxex2211221.211.指数分布的期望和方差分别为和 6. 正态分布正态分布其概率密度为其概率密度为设设),(2NX则有则有xxxfXEd)()( xexxd21222)( tx 令令, tx ., 0,21)(222)( xexfx . ttetettd2d21222

9、2 xexXExd21)(222)( 所所以以tettd)(2122 xexxd21)(222)(2 xxfxXDd)()()(2 得得令令, tx tetXDtd2)(2222 tetettd222222 2202.2 .2 和和分别为两个参数分别为两个参数正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差2 10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2ba12)(2ab 0121分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布0, 2 ).(., 0, 10,1, 01,1)(XDxxxx

10、xfX求求其它其它具有概率密度具有概率密度设随机变量设随机变量 解解 1001d)1(d)1()(xxxxxxXE, 0 三、例题讲解三、例题讲解例例1 1020122d)1(d)1()(xxxxxxXE,61 于是于是22)()()(XEXEXD 2061 .61 ).(,., 020,cos)(2YDXYxxxfX的方差的方差求随机变量求随机变量其它其它的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量 解解xxfxXEd)()(22 , 24dcos2022 xxxxxfxXEd)()(44 204dcosxxx例例2 ,)()()(22XEXEXD 因为因为22242424316

11、 .2202 ,2431624 2242)()()(XEXEXD 所以所以 解解)5()2()52(33DXDXD )(43XD )()( 4236XEXE 1213121121031)2()(66666 XE,6493 ).52(121121213131023 XDX求求设设例例4 23333231213121121031)2()( XE)52(3 XD故故,91 )()( 4236XEXE .92954 四、小结四、小结1. 方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程取值分散程度的量度的量. 如果如果D(X)值大值大,表示表示X 取值分散程度大取值分散程度大,

12、E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果D(X)值小值小, 则表示则表示X 的的取值比较集中取值比较集中, 以以E(X) 作为随机变量的代表性好作为随机变量的代表性好.22()() () ,D XE XE X2. 方差的计算公式方差的计算公式,)()(12kkkpXExXD .d)()()(2xxfXExXD 3. 方差的性质方差的性质 ).()()(3);()(2; 0)(10200YDXDYXDXDCCXDCDX与与Y相互独立相互独立 一、协方差与相关系数的一、协方差与相关系数的 概念及性质概念及性质二二、相关系数的意义相关系数的意义三、小结三、小结第三节第三节 协方差及相关系数协方

13、差及相关系数 1. 问题的提出问题的提出 那么那么相互独立相互独立和和若随机变量若随机变量,YX).()()(YDXDYXD 不相互独立不相互独立和和若随机变量若随机变量YX?)( YXD22)()()(YXEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 一、协方差与相关系数的概念及性质一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差协方差 ()( ).Cov(, ),Cov(, )()( ).EXE XYE YXYX YX YEXE XYE Y称为随机变量与的协方差 记为即2. 定义定义.)()(),Cov(的相关系数的相关系数与与称为随机变量称为随机变量而而YXYDXDYXXY )()

14、(),Cov(YEYXEXEYX )()(YEYEXEXE . 0 相互独立相互独立和和若随机变量若随机变量YX)2(3. 说明说明 .) 1 (协方差的相关系数又称为标准和YX 相互独立相互独立和和若随机变量若随机变量YX)3()()(2 )()()(YEYXEXEYDXDYXD ).()(YDXD ),(Cov2)()(YXYDXD 4. 协方差的计算公式协方差的计算公式);()()(),Cov()1(YEXEXYEYX ).,Cov(2)()()()2(YXYDXDYXD 证明证明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YE

15、XEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE )()()()2(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE ).,Cov(2)()(YXYDXD 5. 性质性质);,Cov(),Cov()1(XYYX ;, ),Cov(),Cov()2(为常数为常数baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX .),(),(222121相关系数相关系数的的与与试求试求设设YXNYX解解 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxf由由,21)(21

16、212)(1 xexfxX.,21)(22222)(2 yeyfyY例例1 .)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxfyxYXdd),()(),Cov(21 而而xyeeyxxyxdd)(1212112222121)1(212)(21221 ,1111222 xyt令令,11xu uteutuYXtudd)1(21),Cov(2222122122 teueutudd22222122 tteueutudd212222122,22221 .),Cov(21YX 故有故有 .)()(),Cov( YDXDYXXY于是于是结论结论;,)1(的相关系数的相关系数与与代表了代表了参数

17、参数中中二维正态分布密度函数二维正态分布密度函数YX. )2(相互独立相互独立与与等价于等价于相关系数为零相关系数为零与与二维正态随机变量二维正态随机变量YXYX .23,21),4 , 0(),3 , 1(,22YXZNNYXXY 设设分别服从分别服从已知随机变量已知随机变量?)3(.)2(.)1(为什么为什么是否相互独立是否相互独立与与问问的相关系数的相关系数与与求求的数学期望和方差的数学期望和方差求求ZXZXZ解解.16)(, 0)(, 9)(, 1)()1( YDYEXDXE由由)23()(YXEZE 得得)(21)(31YEXE .31 例例2 )2,3Cov(2)2()3()(YX

18、YDXDZD ),Cov(31)(41)(91YXYDXD )()(31)(41)(91YDXDYDXDXY . 3241 )()(21)(31YDXDXDXY . 033 . 0) )()(),Cov( ZDXDZXXY故故关系数为零由二维正态随机变量相)3(.是相互独立的与ZX)23,Cov(),Cov()2(YXXZX ),Cov(21),Cov(31YXXX 1. 问题的提出问题的提出?,衡量衡量接近的程度又应如何来接近的程度又应如何来最接近最接近可使可使应如何选择应如何选择问问YbaXba )(2bXaYEe 设设.的好坏程度的好坏程度近似表达近似表达可用来衡量可用来衡量则则YbXa

19、e .,的近似程度越好的近似程度越好与与表示表示的值越小的值越小当当YbXae .,达到最小达到最小使使的值的值确定确定eba二、相关系数的意义二、相关系数的意义 ).(2)(2)(2)()(2222YaEXabEXYbEaXEbYE 得得并令它们等于零并令它们等于零求偏导数求偏导数分别关于分别关于将将,bae . 0)(2)(2)(2, 0)(2)(222XaEXYEXbEbeYEXbEaae解得解得,)(),Cov(0XDYXb .)(),Cov()()(0XDYXXEYEa )(2bXaYEe 得得中中代入代入将将,)(,200bXaYEeba )(min2,bXaYEeba ).()1

20、(2YDXY 2. 相关系数的意义相关系数的意义.,系较紧密系较紧密的线性关系联的线性关系联表明表明较小较小较大时较大时当当YXeXY.,线性相关的程度较差线性相关的程度较差较小时较小时当当YXXY.,0不相关不相关YXXY和和称称时时当当 )(200XbaYE 例例3 ?,),cos(,cos,2, 0的相关系数的相关系数和和求求是定数是定数这里这里的均匀分布的均匀分布服从服从设设 aa 解解, 0dcos21)(20 xxE ,21dcos21)(2022 xxE , 0d)(cos21)(20 xaxE ,21d)(cos21)(2022 xaxE ,cos21d)cos(cos21)(20axaxxE 数为数为由以上数据可得相关系由以上数据可得相关系.cosa , 1,0 时时当当a, 1, 时时当当a .存在线性关系存在线性关系, 0,232 时时或或当当aa.不相关不相关与与 , 122