弹性地基板弯曲问题无网格数值的分析

1、弹性地基板弯曲问题无网格数值的分析引言在弹性地基上中厚板的设计计算中，现在已经有了很多相当成熟的 大型计算软件,比如Ansys、FLAC 3D迈达斯、pkpm等。在这些所有的现用的 流行的分析软件当中,几乎是全部采用有限单元法的 Reissner中厚板理论进行 建模分析的。基于有限单元法的中厚板计算确实是占据了现在板结构分析的主 流。无格方法作为一种近几十年才提出的新型的数值方法，已经在很多的领域有 了突飞猛进的发展，正式因为它自身不需要格，很容易构造形函数，能更好的进行 自适应的分析，能够解决好多传统数值方法难以解决的问题。比如无格方法已经 成功的用在了金属成型问题，大变形问题，动态扩展问题

2、，穿透问题，岩土工程，高 速冲击问题等。板理论研究历史与现状最先开始探究弹性平板的是 Euler。他在分析理想薄板的震动时， 将薄板当作了两组相互垂直并且紧拉的线组成的。并把这种设想用在了钟震动的各种分析上。后来这种概念又被Bernoulli用在了板的分析上，并且首次尝试了板的弯曲问题。Navier得到了任何横向荷载下的微分方程他把这个方程用在了 简支矩形板上，提出了正确的边界条件，给出了均布荷载以及集中荷载下的解。这 些解才是矩形板弯曲问题的正确的开始。1850年的一篇重要论文中Kirchhoff 给我们呈现了一个完整的板弯曲理论。而这个理论，是建立在目前所公认的两大 假设之上：(1)本来垂

3、直于中性面的线段，在板弯曲时依然能垂直于中性面并且 保持直线；(2)在横向荷载下发生的小变形中，板的中性面不会受到拉伸；这两 个假设非常接近矩形截面梁弯曲的理论中中截面的平面假设，根据这两个假设Kirchhoff给出了板的应变能的方程,在变分原理下,就得到了我们现在大家看到的板的弯曲方程。Kirchhoff还将他的弯曲理论延伸到了大变形上,大挠度板理论的提出更加丰富了板的弹性理论，这个理论在以后的构造设计中有十分重 要的应用。在Kelvin 与Tait的研究中,发现并且充分解释了为什么挠度比板 厚小得多时Kirchhoff理论是十分精确的。在边界条件上,使用关于静力相当的圣维南原理：可以用剪力

4、分布来代替板边上的弯矩。在近几十年的工程建设当中薄板理论的运用是得益于薄板的使用的，但是该理论真正开始使用却是在二十世纪才开始。另外，工程师们还研究分析了多种荷载以及不同的边界条件下的板，积累了大量的实验数据，形成了可查阅的图表，同时也出现了相关的薄板弯曲的 专项着作。如果得不到问题的精确解的时候，或者是级数解不能够解决实际应用 时,那么就会依赖于近似的分析结果。第2章 MLPG方法介绍引言无格局部Petrov-Galerkin（MLPG）方法和其他的数值方法类似,都 有以下几个主要部分构成。1、插值函数,利用无格近似方案，使用离散节点的近 似函数来逼近待求的 近似场函数，把连续的无限自由度问

5、题转化为离散的有限 自由度问题;2、线性代数方程组，消除求解域内近似函数控制方程的残差。在无 格局部Petrov-Galerkin 方法（MLPG中的消除残差的方式与有限单元法、RKPM EFG等方法有很大的区别。3、线性方程组求解，得到离散的节点值，继而求得求 解域上的近似解。无格近似函数无格近似一般有很多种,在无格局部Petrov-Galerkin 方法（MLPG） 当中经常采用的有再生核质点法（RKPM）径向基函数（RBF）、移动最小二乘法（MLS） 等,本文采用了较为常见的MLS近似函数,所以要在此着重介绍。对于任何一个子域s?都可以得到两个关于节点未知变量的线性代数方程，如果能 够恰

6、当选择子域，得到与未知节点变量个数同样多的线性无关代数方程 ，那么就 可以唯一确定未知的节点变量。这里我们选择 N个子域（N表示节点数）,第I 个子域的中心位于第I个节点上。将所有方程联立,得到MLPG方法求解现弹性 静力问题的系统方程第3章 Pasternak 地基上正弦剪切板的弯曲 13介绍13正弦剪切板理论 13平衡方程和边界条件 14本构关系14四边简支矩形板19数值结果以及讨论 21无量纟冈量21数值算例23结论30第4章MLPG法求解Pasternak 地基上正弦剪切板的弯曲问题.31MLPG方法.31数值结果与讨论34无量纲量.34数值算例35结论46第4章MLPG法求解Past

7、ernak 地基上正弦剪切板的弯曲问题MLPG方法在我们的数值计算之中，在方形板上布点数量为 441个用于面内 位移,中面上挠度和转角的近似计算。表1给出了第三章解析法和本章数值法(MLPG计算结果的对比,由此可以看出,这两者之间有这高度的一致。图 4-1表 示的是不同边界条件下方形板的归一化挠度。果不其然，方形板在四边简支条件 下的挠度峰值最大，四边固定条件下的峰值最小，其余两种情况的峰值介于上述 两者之间。结论经过本文的研究，无格局部Petrov-Galerkin法除了能够求解二阶微分方程的问题，另外也具有求解高阶微分方程的优势，也具有收敛快、稳定性 好、对挠度和内力都具有精度高的特点。M

8、LPG法不需要背景积分格,MLPG法仅需要离散节点信息且计算结果对节点的布置不敏感，所以在计算各种复杂形状和 复杂边界支承板问题时更能体现其优点。本文之中已经先后采用解析法与数值法详细的分析了矩形板在不同荷载条件、边界条件下的挠度、正应力、剪应力。先后给出了方形板中点挠度与长宽比、弹簧系数、剪力参数的关系，以及剪应力与弹簧系数和剪力参数的关系。在对施加不同边界条件下的板进行数值分析并进 行对照之后，可以看出：本文之中采用的MLPG方法,以及在积分中应用的移动最 小二乘近似，能够得出足够精确的结果,MLPG作为一种新型的数值方法，在能够 解决不同边界条件板的弯曲问题的同时，在未来完全可以成为处理高阶剪切变形板的力学 行为的替代工具。中厚板问题MLPG分析的计算程序简洁、通