东华大学matlab数学实验课件Chapter4

1、第四章 函数和方程4.1 预备知识：零点、极值和最小二乘法4.2 函数零点、极值和最小二乘拟合的MATLAB指令4.3 计算实验：迭代法4.4 建模实验：购房贷款的利率和最佳订货量4.5 习题4.1 预备知识：零点、极值和最小二乘法一元非线性方程的一般形式为f(x)= 0若对于数有f() = 0,则称为方程的解或根，也称为函数f(x)的零点零点；若对于数有f()= 0, f()0则称为单根单根；若有k1, f()= f()= = f(k-1)()= 0， 但f(k)()0,称为k k重根重根；非线性方程（组）求解通常用数值方法数值方法求近似解，常见的有二分法、牛顿法等。 如 果 对 于 包 含

2、x = a的 某 个 邻 域， 有f(a)f(x)（f(a)f(x)）对任意x成立，则称a为f(x)的一个局部极小局部极小( (大大) )值点值点。如果对任意xD，有f(a)f(x)（f(a)f(x)）成立，则称a为f(x)在区域D上的一个全局极全局极小小( (大大) )值点值点。 假设已知经验公式y=f(c,x)（这里c和x均可为向量）, 要求根据一批有误差的数据（xi,yi）, i=0,1,n, 确定参数c。这样的问题称为数据拟合数据拟合。最小二乘法最小二乘法就是求c使得残差平方和最小 Q(c)= 若f关于c是线性函数，问题转化为一个线性方程组Q(c)=0求解，且其解存在唯一；若f关于c是

3、非线性函数，问题转化为一个函数极值问题；达到最小。4.2 函数零点、极值和最小二乘拟合的MATLAB指令多项式 函数极值非线性最小二乘拟合函数零点非线性函数的MATLAB表达y=polyval(p,x) 求得多项式p在x处的值y, 其中x可以是一个或多个点x=roots(p) 求得多项式p的所有复根；p=polyfit(x,y,k) 用k次多项式拟合向量数据(x,y),返回多项式的降幂系数MATLAB中一个多项式用系数降幂排列向量来表示。1、多项式 例2、用2次多项式拟合下列数据. x 0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3 y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.7

4、2 clear; x=0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3; y=0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72; p=polyfit(x,y,2) 例1、求多项式x3 + 2 x2 - 5的根 p=1 2 0 -5; x=roots(p) %求根 y=polyval(p,x) %验证2、非线性函数的MATLAB表达 Fun=Mfun 定义一个函数句柄，这里Mfun是 函数的M文件表达方式Fun=(var)funstr 定义匿名函数，其中var是 变量名，funstr是函数的表达式 fun=inline(funstr,var)定义一个内嵌函数，其中funstr是函数的字符

5、串表达方式,var是变量名字符串； fun=Mfun定义一个函数句柄，Mfun是M函数文件；x=fzero(fun,x0) 返回一元函数fun的一个零点,Fun为函数句柄、内嵌函数或字符串表达式。 x0为标量时,返回函数在x0附近的零点； x0为区间a,b时, 返回在a,b中的一个零点 要求fun在点a和点b处异号,且在a,b内只有一个零点注：若fun在a,b内只有多个零点，则计算结果不可靠。3、函数零点x,f,h=fsolve(Fun, x0) 输入值：x0为迭代初值(若多元，则为向量); Fun为一元或多元函数句柄或内嵌函数返回值：x返回Fun在x0附近的一个零点 f 返回Fun在点x的函

6、数值, 应该接近0; h返回值若大于0,说明计算结果可靠,否则计算结果不可靠。例3、求函数y=xsin(x2-x-1)在(-2, -0.1)内的零点 clear;f=inline(x*sin(x2-x-1),x);fplot(f,-2,-0.1);grid on;从图中发现，在x=-1.6和x=-0.6附近分别有两个零点。三种求解方法： fzero(f,-2,-1.2),fzero(f,-1.2,-0.1) %分区间求解 fzero(f,-1.6),fzero(f,-0.6) %在初值附近找解 x,g,h= fsolve(f,-1.6),x,g,h= fsolve(f,-0.6) %用fsol

7、ve求例4、求方程组在原点附近的一个零点081411014081411014212121211xxxexxxyxeyxxx将x,y合写成向量 f=inline(4*x(1)-x(2)+exp(x(1)/10-1,-x(1)+4*x(2)+x(1)2/8,x); x,f,h=fsolve(f,0 0)多个方程用 括起来，初值、输出结果、表达式均用向量表示多个变量roots(p)：多项式的所有根；fzero(fun,x0)：x0附近或区间内的一个零点， fun为一元函数；fsolve(fun,x0)：以x0为迭代初值的一个零点， fun为一元或多元(用向量表示)函数；比较：min(y) 返回向量y

8、的最小值max(y) 返回向量y的最大值x,f=fminbnd(fun,a,b) x返回一元函数在区间a,b内的一个局部极小值点, f返回局部极小值。fun为函数句柄或内嵌函数。x,f=fminsearch(fun,x0) x返回一元或多元函数在初始值x0 附近的一个局部极小值点，f返回局部极小值。（若多元，x, x0均为向量）4、函数极值 例5 求 在原点附近的极大值。 xyyxyxf45),(44 f=inline(-(5-x(1)4-x(2)4+4*x(1)*x(2),x); x,g=fminsearch(f,0,0)注：用向量表示多元函数，因初值和输出结果都是向量； 求f(x,y)的极

9、大值，等价于求-f(x,y)的极小值；设函数y=f(c,x),其中c为未知参数向量, 有一批有误差的数据. x : x1 x2 xn y : y1 y2 ync=lsqnonlin(Fun,c0)使用迭代法搜索最优参数c，使得误差向量y-f(c,x)(x,y为数据向量)最接近0向量，c0为参数c的近似值，作为迭代初值。c=lsqcurvefit(Fun2,c0,x,y)从外部输入数据，Fun2为二元函数f(c,x)，返回最优参数c。 5、非线性最小二乘拟合例：x 0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72function e=f

10、itf(c)x=0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3;y=0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72;e=y-c(1)*x.2+c(2)*x+c(3);命令窗口： c=lsqnonlin(fitf,0,0,0) fun2=inline(c(1)*x.2+c(2)*x+c(3),c,x); x=0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3;y=0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72; c=lsqcurvefit(fun2,0,0,0,x,y)0850. 16958. 17247. 12xxy4.3 计算实验：迭代法迭迭代法代法是从解的初始近似值x0

11、(简称初值)开始，利用某种迭代格式x k+1 = g (x k )，求得一近似值序列x1, x2, , xk, xk+1, 逐步逼近于所求的解(称为不动点)。最常用的迭代法是牛顿迭代法牛顿迭代法，其迭代格式为：xxfxfxkkkk1()() 1、迭代法例6、求方程 x 2 - 3 x + e x = 2的正根 (要求精度 = 10 -6)解：令f (x) = x 2 - 3 x + e x - 2, f(0)=-1, f(2)= e2 0 当x 2, f (x) 0, f (x) 0 即f (x)单调上升， 所以根在0,2内。先用图解法找初值， fplot(x2-3*x+exp(x)-2,0,

12、2) ,grid 取x0 = 1.5, 迭代格式xxxxexekkkkxkxkk 123223clear;e=1e-6;format long;x1=1.5x0=x1+x1+2*e; %使wile成立while(abs(x0-x1)e) x0=x1; x1=x0-(x02-3*x0+exp(x0)-2)/(2*x0-3+exp(x0)endformat short;线性最小二乘拟合可直接用求解超定线性方程组的方法，计算速度快且唯一。非线性最小二乘拟合的缺点是求解结果依赖于初值的选取，可能会陷于局部极小值而难以求得真解。常常将有些非线性函数拟合问题转化为线性问题求解。 2、线性化拟合例7 、用函

13、数y=aebx 拟合例2的数据 若用非线性拟合：记a=c(1),b=c(2) fun2=inline(c(1)*exp(c(2)*x),c,x); x=0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3;y=0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72; c=lsqcurvefit(fun2,0,0,0,x,y)若用线性拟合： y=aebx 两边取对数：z=lny=lna+bx72. 050. 106. 186. 084. 095. 0logln3 . 02 . 0011115. 02 . 01 . 0111ba即：令c(1)=lna，c(2)=b，则： x=0.1 0.2 0.15

14、 0 -0.2 0.3;z=log(0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72); m=ones(6,1),x;c=mz;a=exp(c(1),b=c(2)解超定方程对于任意正整数对于任意正整数，总会有，总会有trtrttrt111txtrps1xrp1就是说，如果按一年计算多次复利的方式来计算本息之和的话，总要就是说，如果按一年计算多次复利的方式来计算本息之和的话，总要比一年仅计算一次复利的本息之和要大。而且比一年仅计算一次复利的本息之和要大。而且trxrxrtttxtptrptrpe1lim1limx年内，无限次细分计算复利，本息之和为年内，无限次细分计算复利，本息之和为

15、.rxpes 称为称为连续复利公式连续复利公式。这个公式可以用来计算相对时间较长时的本。这个公式可以用来计算相对时间较长时的本息计算。息计算。故总有故总有越大，本息之和也越大。越大，本息之和也越大。其极限为其极限为这表明，在这表明，在次计算复利，则次计算复利，则 ， 年之后应归还本利之和为年之后应归还本利之和为，而按月计算复利，则月利为，而按月计算复利，则月利为年后的本息共年后的本息共 年，计算利息可以采取单利或复利两种方式。若以单利年，计算利息可以采取单利或复利两种方式。若以单利年，年利仍为年，年利仍为，年利率为，年利率为 ，贷款利息问题贷款利息问题企业向银行贷款，到期付息和还本。假设本金为

16、企业向银行贷款，到期付息和还本。假设本金为pr 贷款期限贷款期限xx)1 (rxps；若以复利计算，则；若以复利计算，则x年后的本息共年后的本息共 。 xrps)1 ( 计算，计算，如果贷款期仍为如果贷款期仍为xr12rxxrps12121更一般地，如果将一年均分成更一般地，如果将一年均分成ttxtrps1例例:某企业向银行贷款某企业向银行贷款100万元，年息万元，年息5%，5年后还本付息。年后还本付息。5年年后本息共多少？后本息共多少？125)505. 01 (100s63.127)05. 01 (1005s40.128100505. 0epesrx（万元）。（万元）。(1)若以单利计算，若

17、以单利计算，5后的本息共后的本息共 （万元）；（万元）；（万元）；（万元）；4.4 建模实验：购房贷款的利率和最佳订货量 1、购房贷款的利率不难算出，你向银行总共借了25.2(=36-10.8)万，30年内共要还51.696(=1436*360)万，约为当初借款的两倍。这个案例中贷款年利率是多少呢？例8 、下面是新民晚报2000年3月30日上的一则房产广告：建筑面积总价30%首付70按揭月还款85.9836万10.8万30年1436元解：设xk为第k个月的总欠款额， a为月还款额, r为月利率。xk+1 = (1+r) xk- a那么 xk = (1+r) xk-1- a = (1+r)2 x

18、k-2 (1+r)a a = = (1+r)k x0 a1+(1+r)+(1+r)k-1 = (1+r)k x0 a(1+r)k-1/r根据 k=360 , x0=25.2, a=0.1436(万元), x360=0,得到 25.2(1+r)360 0.1436(1+r)360-1/r=0Xk-1 = (1+r) xk-2- a=(1+r)2 xk-2 a1+(1+r)常识上，r应比当时活期存款月利率略高一些。我们用活期存款月利率0.0198/12 作为迭代初值，用fzero求解 r=fzero(25.2*(1+x)360-(1+x)360-1)/. x*0.1436,0.0198/12); R=12*r得年利率为5.53%2、最佳订货量 汽车工厂为了保证生产的正常运作，配件供应一定要有保障。这些配件要预先从配件供应商那里订货。每次订货需要收取一定量的生产准备费。没用完的配件，要在仓库里储存一段时间，为此要付出储存费。若订货量很小，则需频繁定货，造成生产准备费的增加；反之，若订货量很大，定货周期延长而使生产准备费减少但会造成储存费的增加。如何确定合适的订货量？解：先作一些必要的假设将问题简化1）汽车工厂对配件的日需求量是恒定的，