待定系数法分解因式精编版

1、待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决 应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认 真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。内容综述将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。 然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便 可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定 系数法。本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。要点解析这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进

2、行 因式分解时的方法，步骤，技巧等。例1分解因式1 .':思路1因为.；13八（"以2刊城所以设原式的分解式是-1 -：' 然后展开，利用多项式的恒等,求出m, n,的值。解法1因为- '： 1'所以可设2 十 +-3y2 +x+14yl5= （x-y + 战）（2x + 3+js）.=2x3 + xy3y2 + （2 朋十 m）x + （3 髀一同丿 + 湘if2ifc+n= I比较系数，得7C- : !：由、解得 沽二'：'='把'-=.匚=、代入式也成立。r I 二辺X ：二v :|I思路2前面同思路1，然后给x,

3、y取特殊值，求出 m,n的值。解法2因为I.；."-； I . -；' 所以可设2x3 +xy-3y2 +x+1415= （x-y + 刑）（2x + 3y+ 用）.因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令令二得；工-.|口 c= -9.解、得T "I汀；或J把它们分别代入恒等式检验，得窪二I二二1说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方 程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程 组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。例 2 分解因式:- 一- /思路 本题是关于 x的

4、四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之 积。解设.:- : ' -.=(?十必+ 1)(只十分+ 5)=x4 + (a + (必砒)+(5a+i)x + 5ra+ b= -1v ab + G = 4由恒等式性质有：L5a+b=3由、解得：二八二代入中，式成立。.-1 - - : 说明若设原式='由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式= (x2 +ax + l)(x2 +牀 + *例3在关于x的二次三项式中，当下二1时，其值为o；当：二-J时，其值为o；当:=-时，其值为10 ,求这个二次三项式。思路1先设出关于 x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件

5、求出各项的系数。可 考虑利用恒待式的性质。解法1设关于x的二次三项式为二二：二把已知条件分别代入，得a+ b+ c = 04a + 2b + c-10a - 2,解得t - -6.故所求的二次三项为 2?+4x-6.思路2根据已知=-：时，其值0这一条件可设二次三项式为_ - > 然后再求出a的值。解法2由已知条件知当 二L '时，这个二次三项式的值都为0,故可设这个二次三项式为山1一：二"二把：一代入上式，得'： ：1'：1解得_故所求的二次三项式为- -即:说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。例 4已知多项式 二丄-+ :.1的系数都是整

6、数。若- 是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其 他知识推出这种分解是不可能的。证明：设'1 ；'"亍:'_'丁 宀（m,n,r 都是整数）。比较系数，得W = L因为匸用亠虫- M匸:,是奇数，则:.与d都为奇数，那么mr也是奇数，由奇 数的性质得出 m,r也都是奇数。在式中令.下=1 ,得由；'-是奇数，得一 i ：'是奇数。而 m为奇数，故- *是偶数，所以1 "' 是偶数。这样的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。因此，题

7、中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。例5已知二叭'-能被整除，求证：i ='思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。证明：设» '+ 4r =+ax +Az +展开，比较系数，得a-2c = 0c2 +1tt 2ac= 0ac2 - abc += 0cJbd 由、，得-八二代入、得：” 一$打-厂二 1例6若a是自然数，且 J -J；' ：?.； 一 - 的值是一个质数，求这个质数。思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，

8、即可求a的值。进而解决问题。解：由待定系数法可解得?-4?+15-30 + 27-（a2 3a $（屮 p + 9）.由于a是自然数，且 J 二 ；-；是一个质数,解得f-'i L L2. . L当:二-时，亡1 = 不是质数。当心i时，'卩"是质数。J_'=11 .培优训练A级 1、分解因式3 ? + 5xy-2/ + x + 9厂4二. 2、若多项式 3? + 5xy-2/+z + 9j+?3能被3x-y + 4 整除，则 n=. 3、二次三项式当丿-I时其值为-3，当：-时其值为2，当| 丨时其值为5， 这个二次三项式是 . 4、 m, n是什么数时，多

9、项式"二二:二T :'能被_；：-整除？B级 5、多项式- -' 一'能分解为两个一次因式的积，则k=. 6、若多项式x4 -5? +llx2 +/MX + W能被(兀-1尸整除则机+於=. 7、若多项式 z3 -Sx2 axb当,2时的值均为 o,则当x=时，多项式的值也是0。2 2 8、求证： .丁 丁不能分解为两个一次因式的积。参考答案或提示：(3x+y + 4)(x+2yT)提示：设原式沁：= 3x2 +5xy-2y2 + © + 勁 + (2a - b)y + ab.比较两边系数，得a + 3b = 1* 2a - b = 9ab = -4

10、p =4,由、解得 I:'-：将 L-一代入式成立。原式- 二2、-4。提示：设原式- -/ '比较系数，得3m+ 4 = 18-m = 9n = 4m由、解得代入得汀 I.3、一一1.提示：设二次三项式为.I/：''-':.把已知条件代入，得a +b +c = -3t4a + 2b + c 2, a-b c = 5.k3、= -4fc =亠2解得I所求二次三项式为-丁 4.朋二 _1卫=4,设'- ： Iv- -:'” ：/ I：=x4 卡+(用-24 + 如 +L加 +A)x+h.比较系数，得fb-2 = -5,皿 - 2b + 1

11、= 11, -2k +A = tn.*b = -3t聊=4,解得m = 一 11A当 m=-11 , n=4已知多项式能被?-2i + l 整除。5.-2提示：设原式-:,'=3xa + 2xy-y2 +(用 + 加)x + (n - m)y + mn.比较系数，得> + 张=5tmn = kk = 2,彳用“1,i- = _2 解得I6.-7提示：设原式='.1 '：''-/ +(a-2)i3 + (h-2a + l>a 七-2加砒比较系数，得a2 =扛卜2小= 11,a lb =- -11,解得1'm- _73提示：设原式 十-1)(x-2)(xp)=x3 -(3 + c)x