2019年全国II卷理科数学高考真题及标准答案解析

1、2021年普通高等学校招生全国统一测试理科数学本试卷共5页.测试结束后,将本试卷和做题卡一并交回.考前须知：1 .做题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2 .选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3 .请根据题号顺序在做题卡各题目的做题区域内作答,超出做题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上做题无效.4 .作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5 .保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：此题共12小题,每题5分,共60分.在每

2、题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设集合A=x|x2-5x+6>0,B=x|xT<0,贝UAAB=A.(",1)B.(21)C.(3T)D,(3,+8)2.设z=T+2i,那么在复平面内Z对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.A?=(2,3),Ac=(3,t),晶=1,那么/露A.TB.2C.2D.34.2021年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球反面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球反面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥,鹊桥沿着围

3、绕地月拉格朗日12点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为Mi,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:M1M2M1rE7=(Rr)/.i=R'由于“的值很因此在近似计算中小,3:3314,:二532全3a3,那么r的近似值为(1-：)5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是B,平均数6.假设a>b,那么A.ln(a-b)>0B.3a<3b7.C.a3

4、-b3>0D.a>b%3为两个平面,那么all3的充要条件是a内有无数条直线与3平行“内有两条相交直线与3平行8.C.a,3平行于同一条直线2假设抛物线y=2px(p>0)的焦点是椭圆3pa,3垂直于同一平面2y+=1的一个焦点,那么p=PD.极差C.49.卜列函数中,以为周期且在区间2n一)单调递增的是2A.f(x)=cosXf(x)=sin2xC.f(x)=cosxf(x)=sinxJi10.“C(0,-),2sin2a=cos2廿1,贝Usina=A.C.、.322XV22211.设F为双曲线c：f.=1但>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的

5、圆与圆x+y=aab交于P,Q两点.假设PQ=OF,那么C的离心率为A.应B.73C.2D.而12 .设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当XW(0,1时,f(x)=x(x1).假设对任意.8xu(-,m,都有f(x)那么m的取值范围是9A.一二,8,3二、填空题：此题共4小题,每题5分,共20分.13 .我国高铁开展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,那么经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.14 .f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=ea

6、x.假设f(ln2)=8,那么a=._.冗15 .zXABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.假设b=6,a=2c,B=,那么AABC的面积为316 .中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是半正多面体(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体表达了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的外表上,且此正方体的棱长为1.那么该半正多面体共有个面,其棱长为.(此题第一空2分,第二空3分.)三、解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算

7、步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17 .(12分)如图,长方体ABCDABiCiDi的底面ABCD是正方形,点E在菱AAi上,BE±ECi.(1)证实：BE,平面EBiCi；(2)假设AE=AiE,求二面角B£CCi的正弦值.18 .(i2分)ii分制乒乓球比赛,每赢一球得i分,当某局打成i0:i0平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方i0:i0平后,

8、甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(i)求P(X=2)；(2)求事件X=4且甲获胜的概率.19 .i2分数列an和bn满足ai=i,bi=0,4an+=3an-bn+4,4bn由=3bnan4.(i)证实：an+bn是等比数列,an6n是等差数列；(2)求an和bn的通项公式.20 .(12分).x1函数fx=lnx.xT(1)讨论f(x)的单调性,并证实f(x)有且仅有两个零点；(2)设Xo是f(x)的一个零点,证实曲线y=lnx在点A(%,ln%)处的切线也是曲线y=ex的切线.21 .12分点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-1.记M的轨

9、迹为曲线C.2(1)求C的方程,并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.(i)证实：4PQG是直角三角形；(ii)求4PQG面积的最大值.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.22 .选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)在极坐标系中,O为极点,点M(/,4)(P0A0)在曲线C:P=4sin8上,直线1过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当用=；时,求P.及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.23 .

10、选彳4-5：不等式选讲(10分)f(x)=|x-a|x|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集；(2)假设xw(*,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一测试理科数学-参考答案1.A2,C3.C4.D5.A6.C7,B8.D9.A10.B11.A12.B13. 0.9814. W15. 6.316. 26;72-117. 解：(1)由得,BC_L平面ABB1A,BE二平面ABB1A1,故B1cl_BE.又BE_LEC1,所以BE_L平面EB1C1.由(1)知ZBEB1=90,由题设知RtAABERtAAB1E,所以/AEB

11、=45-故AE=AB,AA=2AB.T4以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,|DA|为单位长,建立如下图的空间直角坐标系Diyz,CB=(1,0,0),CE=(1-1,1),那么C(0,1,0),B(1,1,0),Ci(0,1,2),E(1,0,1),CC1=(0,0,2).设平面EBC的法向量为n=(x,v,x),那么CBn=0,nhI,即CEn=0,x=0,x-yz=0,所以可取n=(0,-1,-1).设平面ECCi的法向量为m=(x,y,z),那么yHCC1m=0,2z=0,J1,即?,CEm=0,x-yz=0.所以可取m=(1,1,0).nm1于是cos<n,m>=一一

12、.In|m|2所以,二面角B-EC-C1的正弦值为.218 .解：(1)X=2就是10：10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,那么这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5>0.4+(105)X(1-0.4)=0.5.(2) X=4且甲获胜,就是10：10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为0.5X(104)+(105)>0.40.5>0.4=0.1.1,、19 .解：(1)由题设得4(an4+bn由)=2(an+bn),即an+bn+=(an+bn).21 ,又由于a1+b1

13、=l,所以an+bn)是首项为1,公比为一的等比数列.2由题设得4(an+-bn+)=4(an-bn)+8,即an书bn+=anbn+2.又由于a1)1=l,所以an-bn是首项为1,公差为2的等差数列.1,八,(2)由(1)知,an+bn=Tj,anbn=2n1.2111所以an=-(an+bn)+(an-bn)+n-,222111b=_(anb)_(an-b)=-n+.22220.解：(1)f(x)的定义域为(0,1)U(1,+8).一.一12由于f'(x)=+2A0,所以f(x)在(0,1),(1,+8)单调递增.x(x-1)e1由于f(e)=1<0,e-12e21“二2一

14、心e-3>0,所以f(x)在(1,+8)有唯一零点x1,一、一一1)即f(x)=0.又0<<1,为1x11f(lnx1F=f(x)=0,故f(x)在(0,1)有唯一零点x1e2-1综上,f(x)有且仅有两个零点.1八x,一)在曲线y=e上.x01lnxc(2)由于一=e,故点B(Tnx0,x.1.1x01+1Inx0由题设知f(x0)=0,即Inx0=-,故直线AB的斜率k=-0=-0手=x0-1-Inx0-x0x01x一；x0x0-1x,1、1.1曲线y=e在点B(-1nX0,)处切线的斜率是一,曲线y=lnx在点A(x°,lnx°)处切线的斜率也是一,

15、x0x0x0所以曲线y=lnx在点A(x°,lnx°)处的切线也是曲线y=ex的切线.12221.解：(1)由题设得一,一=-,化简得左+)-=1(|x仔2),所以C为中央在坐标原点,焦x2x-2242点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(i)设直线PQ的斜率为k,那么其方程为y=kx(k.0).y=kx22xyr42得x=±*二=1.12k22,一记u=-=,贝UP(u,uk),Q(u,uk),E(u,0).,12k2kk于是直线QG的斜率为k,方程为y=k(x-u).22y=-(x-u),由,22得.42一22-222(2+k)x-2ukx+ku8=0.uk

16、3-2,2k2设G(Xg,Yg),那么u和Xg是方程的解,故Xg“3k22),由此得Yg2kuk32-uk1从而直线pg的斜率为上三k=u(3k22)k2-u2k2所以PQ_LPG,即4PQG是直角三角形.(ii)由(i)得|PQ|=2uJl+k2,|PG|=2uk,k212k2,所以PQG的面积1S=|PQlIPG|=28k(1k2)k)(12k2)(2k2)-1.2(1.k)21设t=k+,那么由k>0得t或,当且仅当k=1时取等k8t由于s=8在2,+8)单调递减,所以当t=2,12t2k=1时,S取得最大值,最大值为169一一16因此,PQG面积的最大值为一922.解：(1)由于M(P.,为而C上,当“0="3时,"0由得|OP|=|OA|cos=23设Q(P,9)为l上除P的任意一点.在RtAOPQ中,=|OP|=2,经检验,点P(2,)在曲线Pcos|H=2上.所以,i的极坐标方程为Pcosieji=2.(2)设P(P,日),在RtzXOAP中,|OP|=|OA|cos8=4cos6,即P=4cosB.由于